6.5平面向量復(fù)習(xí)課(人教A版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章)深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校許書(shū)華一、教學(xué)目標(biāo)1.理清本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò),使學(xué)生能夠綱舉目張;2.對(duì)本章核心內(nèi)容重點(diǎn)復(fù)習(xí)并達(dá)到綜合運(yùn)用的能力.二、教學(xué)重難點(diǎn)：通過(guò)一題多解讓學(xué)生達(dá)到核心內(nèi)容的融會(huì)貫通.三、教學(xué)過(guò)程1.理清脈絡(luò),綱舉目張【活動(dòng)預(yù)設(shè)】布置學(xué)生課前編制本章網(wǎng)絡(luò)知識(shí)圖，教師收集批閱并課中展示學(xué)生成果.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生弄清本章的知識(shí)體系，公式之間的聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)本章有個(gè)宏觀把握。2.抓住核心,突破重點(diǎn)A．3 B．2 C． D．2【活動(dòng)預(yù)設(shè)】先由學(xué)生獨(dú)立思考，再由老師引導(dǎo)學(xué)生從特值法、坐標(biāo)法、等和線法，找到解決問(wèn)題的突破口，最后由老師展示解答過(guò)程，強(qiáng)調(diào)解題的關(guān)鍵點(diǎn)?！窘夥?】特值法【小結(jié)】特值法，特立獨(dú)行！【答案】A【解析】由題意，畫(huà)出右圖．設(shè)與切于點(diǎn)，連接．為軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)坐標(biāo)為．∵切于點(diǎn)．∴⊥．∵在上．兩式相加得：【小結(jié)】解析法，用數(shù)據(jù)說(shuō)話！【小結(jié)】等和線法，等你來(lái)和一把！【知識(shí)拓廣1】等和線的概念及其性質(zhì)1.等和線：平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP,OPOAOB,R，若點(diǎn)P的直線上，則k平行的直線稱(chēng)為等和線.2.等和線性質(zhì)①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k1；②當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，k0,1；在Ok；④當(dāng)?shù)群途€過(guò)O點(diǎn)時(shí)，k0；⑤若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則它們定值k1,k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比；3.等和線性質(zhì)應(yīng)用背景:在平面向量基本定理的表達(dá)式中，若需研究?jī)上禂?shù)的和時(shí)，可以用等值線法.4.跟蹤練習(xí)：給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3).如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的eq\x\to(AB)上運(yùn)動(dòng)．若，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))常規(guī)解法：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).設(shè)∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，則C(cosα，sinα)由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以當(dāng)α＝eq\f(π,3)時(shí)，x＋y取最大值2等和線法：連AB,平移AB并使此線與圓弧相切,此時(shí)切點(diǎn)為圓弧中點(diǎn)E,連AE、BE,易知OAEB為平行四邊形,此時(shí)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)),x＋y有最大值2.【設(shè)計(jì)意圖】解法1：特值法，四兩撥千斤，化難為易！解法2：解析法，用數(shù)據(jù)說(shuō)話，降低思維量！解法3：等和線法，在移動(dòng)中聯(lián)通彼岸！通過(guò)一題多解,融會(huì)貫通平面向量最值問(wèn)題的解題技巧,并拓寬學(xué)生的知識(shí)面。A.B.C.D.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】先由學(xué)生獨(dú)立思考完成該題，小組之間可以互相討論，再由老師引導(dǎo)學(xué)生從坐標(biāo)法、基底法、定義法、極化恒等式法，找到解決問(wèn)題的突破口，最后由老師展示解答過(guò)程，強(qiáng)調(diào)解題的關(guān)鍵點(diǎn)?！拘〗Y(jié)】本題由于是在等邊三角形中的問(wèn)題，可以考慮用坐標(biāo)法解決.把所求的向量?jī)?nèi)積轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)形式，進(jìn)一步求出最小值.【解法2】(基底轉(zhuǎn)換法)【小結(jié)】基底表示法是解決向量問(wèn)題的一利器！【解法3】定義法【小結(jié)】利用定義結(jié)合余弦定理.【解法4】極化恒等式法（1）【解法5】極化恒等式法（2）利用性質(zhì)：“在平行四邊形中對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和”得：【知識(shí)拓廣2】極化恒等式及其幾何意義3.跟蹤練習(xí)(2021·深外三模)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(M，N不與A，C重合)，且滿足|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，則eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))的取值范圍為_(kāi)_______．常規(guī)解法不妨設(shè)點(diǎn)M靠近點(diǎn)A，點(diǎn)N靠近點(diǎn)C，以等腰直角三角形ABC的直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，線段AC的方程為x＋y－2＝0(0≤x≤2)．設(shè)M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由題意可知0<a<1)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝(a,2－a)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝(a＋1,1－a)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,2)，∵0<a<1，∴由二次函數(shù)的知識(shí)可得eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).極化恒等式法：取MN的中點(diǎn)P,則eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝BP2－PM2＝BP2－,可得eq\o(BM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).【設(shè)計(jì)意圖】解法1：構(gòu)造直角坐標(biāo)系，典型又直接.在有垂直的條件下建立坐標(biāo)系是首選方法.解法3：利用了余弦定理和“在平行四邊形中對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和”體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.【活動(dòng)預(yù)設(shè)】【小結(jié)】?jī)山呛驼星蠼?！【解?】（三角函數(shù)法2）【小結(jié)】.兩角和余弦求角！【解法3】余弦定理法：【小結(jié)】巧設(shè)變量求余弦！【解法4】正弦定理法：【小結(jié)】巧設(shè)變量求正弦！【小結(jié)】巧用面積求角度！.【解法6】面積法：利用余弦定理求出【小結(jié)】角度轉(zhuǎn)化求正弦！【設(shè)計(jì)意圖】在解題中加深對(duì)正、余弦定理的理解，形成解題的基本思路：從角的視角、或從邊的視角、或從面私的視角尋找方法,然后利用正、余弦定理的相關(guān)知識(shí)解題.解法1和解法2：從不同的角度用了兩角和的正切和余弦求值，角度不同方法統(tǒng)一：解法3和解法4：利用了利用余弦和正弦來(lái)求解，是解決此類(lèi)問(wèn)題的通法！解法5：以面積為中間紐帶，求出角度的正弦！解法6：利用平面幾何轉(zhuǎn)化求角，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，值得嘗試！3.隨堂演練,學(xué)以致用【活動(dòng)預(yù)設(shè)】引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問(wèn)題,通過(guò)一題多解達(dá)到融會(huì)貫通的效果?！窘夥?】（定義法）如圖：【小結(jié)】建立坐標(biāo)系，內(nèi)積數(shù)量化.【小結(jié)】小題小做，提速神器.【設(shè)計(jì)意圖】解法1：從定義出發(fā)，直接在直角三角形求夾角的余弦，利用直角三角形中余弦的定義，化簡(jiǎn)求出最后結(jié)果.解法3：利用數(shù)量積的計(jì)算公式，內(nèi)積數(shù)量化，簡(jiǎn)化思維過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.（適合有垂直的條件的習(xí)題）解法4：充分利用填空題的特點(diǎn)，小題小做，以特殊代替一般，讓動(dòng)點(diǎn)P具體化，是解決選擇填空題常用的方法.本題四種解法包括了求向量?jī)?nèi)積常用的幾種方法和特值法，方法多元化，能舉一反三，起到事半功倍的效果，與其跳進(jìn)題海不能自拔，不如仔細(xì)研究這樣一題收獲豐厚.練習(xí)24.△ABC中，A＝eq\f(,3)，a＝2，求2b＋c的最大值．解1：由正弦定理可得2b＋c＝eq\f(4\r(3),3)(2sinB＋sinC)＝eq\f(4\r(3),3)[2sin(C＋eq\f(,3))＋sinC]＝eq\f(4\r(3),3)(2sinC＋eq\r(3)cosC)＝eq\f(4\r(21),3)sin(C＋φ)．故2b＋c的最大值為eq\f(4\r(21),3)．解2：eq\f(4,(c＋2b)2)＝eq\f(b2＋c2－bc,(c＋2b)2)＝eq\f(1＋(\f(c,b))2－\f(c,b),(\f(c,b)＋2)2)．令eq\f(c,b)＝t，t＞0，f(t)＝eq\f(t2－t＋1,(t＋2)2)＝eq\f((t＋2)2－5(t＋2)＋7,(t＋2)2)＝eq\f(7,(t＋2)2)－eq\f(5,t＋2)＋1，所以eq\f(1,t＋2)＝eq\f(5,14)，即t＝eq\f(4,5)時(shí)，eq\f(4,(c＋2b)2)取得最小值eq\f(3,28)，所以2b＋c此時(shí)取得最大值eq\f(4\r(21),3)．歸納小結(jié),文化滲透【活動(dòng)預(yù)設(shè)】學(xué)生討論歸納,關(guān)注本章注意點(diǎn)?！驹O(shè)計(jì)意圖】（1）梳理本節(jié)課對(duì)于平面向量的認(rèn)知,讓學(xué)生感受到在知識(shí)、方法和數(shù)學(xué)思想上的收獲；（2）進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，鼓勵(lì)學(xué)生積極攀登知識(shí)高峰，進(jìn)一步體會(huì)學(xué)習(xí)向量的必要性.四、課外作業(yè)【解法1】幾何法【小結(jié)】幾何法，以形助數(shù)，不攻自破！【小結(jié)】解析法,“數(shù)點(diǎn)”江山！【解法3】等量代換法【小結(jié)】等量代換法，一代勝一代！【反思】解法1：幾何法，利用向量三角形法則，“減”掉難點(diǎn)！解法2：解析法，用數(shù)據(jù)稀釋難點(diǎn)，讓問(wèn)題來(lái)得再難一點(diǎn)吧！解法3：等量代換法，當(dāng)換則換，不換則亂！【小結(jié)】等腰梯形適合建立坐標(biāo)系，內(nèi)積數(shù)量化之典例.AABHCDEFG【小結(jié)】數(shù)形結(jié)合顯神威！【設(shè)計(jì)意圖】方法1：在向量運(yùn)算中常用平面向量基本定理，即在平面內(nèi)選一組適當(dāng)?shù)南蛄浚ū仨毑还簿€）作為基向量，根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為基向量數(shù)量積，結(jié)合向量的數(shù)量積定義表示要運(yùn)算的向量,充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用；方法2：本解法通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)具體的圖形性質(zhì)用坐標(biāo)表示向量，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)式進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的解題策略；方法3：從平面幾何性質(zhì)出發(fā)，利用三角形表示欲求向量的模及夾角，幾何條件與三角代數(shù)結(jié)合是本方法的關(guān)鍵.３.已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，且a＝2，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___．解3：由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，整理可得a2＝b2＋c2－bc，由余弦定理得cosA＝eq\f(1,2)，所以A＝eq\f(,3)．因?yàn)閍＝2，所以A在以BC為弦，以eq\f(2\r(3),3)為半徑的圓上，所以