第

3

章

圓*3.3

垂徑定理圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心.說說圓的對稱性.描述圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條

弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.(1)在探索圓的軸對稱性的過程中，若沿兩條直徑折疊可以是哪些位置關(guān)系呢?

斜交，垂直DAO=BO,CO=DO,AC=BC,AD=BD垂直是特殊情況，你能得出哪些等量關(guān)系?(2)

若把AB向下平移到任意位置，變成非直徑的弦，觀察一下，還有與剛才類似的結(jié)論嗎?AE=BE,AC=BC,AD=BD猜想：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所

對的弧.你能寫出已知求

證，并證明嗎?活

動

：在圓紙片上畫出圖形，并沿CD折疊，實(shí)驗后提出猜想.直徑，并且CDLAB,

垂足為E.求證：AE=BE,AC=BC,AD=BD.證明：連接OA,OB,

則OA=OB.在Rt△OAE和Rt△OBE中，∵OA=OB

,OE=OE,∴Rt△OAE≌Rt△OBE求證：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。已知：如圖，AB

是⊙O

的一條弦，CD是⊙O

的一條∴AE=BE,

AO0

∴AC=BC.∵

∠AOD=180°∴4AOD=∠BOD..該證明用了圓的

什么性質(zhì)?求證：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。已知：如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的一條直徑，并且CDLAB,

垂足為M.求證：AE=BE,AC=BC,AD=BD

.若只證明AE=BE,還有什么方法?猜想得以證明，命題是真命題，我們把真命題叫做_

定

理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。垂徑定理的推理格式CD是直徑CDLABD由下列各圖，能否得到AE=BE

的結(jié)論?為什么?不可以可以兩個條件缺一不可.A③平分弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊垂直定理還可表達(dá)為：

一條直線若滿足①過圓心②垂直于弦oBBD如果將“垂直定理”中的條件②垂直于弦與結(jié)論③平分弦互換，得到的結(jié)論仍然成立嗎?上述猜想的條件和結(jié)論是什么?請將文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，寫出已知和求證.得到的結(jié)論仍然成立：

平

分

弦

(

不

是

直

徑

的

直徑垂直于弦，并且平分弦所對應(yīng)的弧.③平分弦④平分弦所對的優(yōu)弧⑤平分弦所對的劣?、龠^圓心②垂直于弦AE=BE.求證：CD⊥AB,AC=BC,

AD=BD.你能寫出證明過程嗎?用SSS證明Rt△OAE≌Rt△OBE求證：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對應(yīng)的弧.已知：

如

圖

，AB是⊙O的

一

條弦(不是直徑),

CD是◎O的一條直徑，AB

與CD交于點(diǎn)E,并且∵OE⊥CD,品CF=CD=×600=300(m).在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理得OC2=CF2+QFe,即R2=3002+(R-90)2.解這個方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.例1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中CD,點(diǎn)O是CD所在圓的圓心),其中CD=600m,E為CD上的一點(diǎn)，且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m.

求這段彎路的半徑.解：連接OC.設(shè)彎路的半徑為R(R-90)m.m,

則OF=0如弓形CED.弓形的高：從圓心向弦作垂線，垂線被弦和弧所截的線段的

長，稱為弓形的高.如EF.弦心距：圓心到弦的垂線段的長度稱為這條弦的弦心距.如OF.弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形.大圓的弦AB交小圓于C,D兩點(diǎn).求證：AC=BD.問：

(1)證明兩條線相等，最習(xí)慣用什么方法?(2)在此用三角形全等怎么

證明?(3)用垂徑定理怎么證明?例2.已知：如圖，在以0為圓心的兩個同心圓中，則AE=BE

,

CE=DE,所以AE-CE=BE-DE,即AC=BD.

添半徑和過圓心作弦

的垂線段是兩條常用

的輔助線.大圓的弦AB交小圓于C,D兩點(diǎn).求證：AC=BD.解：過點(diǎn)O作OE⊥AB,

連接OA,OB,OC,OD.例2.已知：如圖，在以0為圓心的兩個同心圓中，1.已知在◎0中，弦AB=8,O到AB的距離等于3,求⊙O的半徑.半徑為5變式訓(xùn)練：(

1

)

如

圖

(

1

)

,

AB是兩個以0為圓心的同心圓中大圓的直徑，AB交小圓于C

、D兩點(diǎn)，求證：AC=BD.證明：∵

AB是兩個以0為圓心的同心圓中大圓的直徑，AB

交小圓于C、D

兩點(diǎn)，∴OA=OB

,

OC=OD,∴OA-OC=OB-OD,

∴AC=BD.圖(1)解：過點(diǎn)O

作OE⊥AB,

連接OA,OB,OC,OD.則AE=BE,

CE=DE,所以AE-CE=BE-DE,即AC=BD.

變式訓(xùn)練：(2)把圖中直徑AB向下平移，變成非直徑的弦AB,

如圖(2),是否仍有AC=BD?圖(2)解：過點(diǎn)O

作OE⊥AB,

連接OA,OB,

則AE=BE.又OC=OD,OE=OE,OE⊥AB,

所以Rt△OEC≌

Rt△OED.所以CE=DE,所以AE-CE=BE-DE,即AC=BD.變式訓(xùn)練：(3)在圖(2)中連接OC,OD,

將小圓隱去，設(shè)

OC=OD,求證：AC=BD.圖(2)OP=5cm,PA=4cm,

求⊙0的半徑r及∠OPB的正弦值.2.已知AB為◎O的弦，P

為AB上的一點(diǎn)，AB=10cm,半徑r為7

cm3.在半徑為6

cm

的圓中，已知互相垂直的弦，其中一條被另一條分為3

cm和7

cm

兩段，則圓心到兩弦

的距離之和等于多少?2+√

11

N4.已知⊙O的半徑為15

cm,弦PQ//MN且PQ=18cm,MN=24cm,求以兩平行弦為底的梯形的面積.P梯形面積為63

cm20.M梯形面積為441

cm2N1.垂徑定理是說一條直線如果具備：

(1)過圓心；(2)垂直于弦，則它有以下性質(zhì)：

(1)平分弦；

(2)平分弦所對的劣弧；

(3)平分弦所對的優(yōu)弧.2.如果這條直線具備其中兩個性質(zhì)能否得出第三個

呢?請同學(xué)們課后探索.3.利用垂徑定理進(jìn)行計算時，

一般情況下要作出圓