第四章系統(tǒng)的時(shí)域分析（TheAnalysisfortheTimeDomainofSystem

）第一節(jié)：概述（Overview）幻燈片2第二節(jié)：

二階系統(tǒng)分析幻燈片4（TheAnalysisofTheSecondSystem）第三節(jié)：調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)

幻燈片19（TheStabilityandAlgebraicCriterionofAdjustmentSystem

）第四章系統(tǒng)的時(shí)域分析TheAnalysisfortheTimeDomainofSystem

第一節(jié)

概述Overview一、

時(shí)域分析法二、

瞬態(tài)響應(yīng)(transientresponse)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(steadyresponse)非齊次微分方程式的解應(yīng)包括兩部分：其中，是對(duì)應(yīng)于次微分方程式:的通解，它描述了系統(tǒng)在輸入為零時(shí)的自由運(yùn)動(dòng)，（比如是非周期，還是振蕩；是衰減還是漸擴(kuò)，）稱為系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。c2(t)為非齊次微分方程的特解，它是系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)。如果輸入信號(hào)是階躍函數(shù)，并且系統(tǒng)在此輸入作用下能達(dá)到穩(wěn)態(tài)此時(shí)系統(tǒng)的輸出就是c2(t)，所以也稱c2(t)為在輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，系統(tǒng)受到輸入作用后，它對(duì)輸入的響應(yīng)可描述為：系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)=瞬態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

第二節(jié)

二階系統(tǒng)分析

TheAnalysisofTheSecondOrderSystem

一、

二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)，其一般形式為：其傳遞函數(shù)為：

為了便于分析，在分析二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性時(shí)，首先考慮傳遞函數(shù)分子部分等于常數(shù)的情況，即：式中—二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩頻率

—二階系統(tǒng)的阻尼比

—放大系數(shù)特征方程式(characteristicequation)為:

方程的特征根(characteristicroot)為：下面就的四種取值情況進(jìn)行討論。一、

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)(unitstepresponse)1、

無阻尼(Non-damping)情況（=0）

=0時(shí)為

即特征方程的兩個(gè)根位于虛軸(imaginaryaxis)上。

其傳遞函數(shù)為

:當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)：

無阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：

２、

欠阻尼（Underdamping）情況（0<<1）0<<1時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程式的兩個(gè)根為共軛復(fù)根，即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)時(shí)，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：式中或

整個(gè)響應(yīng)特性曲線包含在一對(duì)包絡(luò)線之內(nèi)，包絡(luò)線的方程為:２、

臨界阻尼(Critical-damping)情況()

時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)：得：２、

過阻尼((Over-damping))情況（）時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)：取的拉普拉斯反變換，得過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)曲線:它是一條單調(diào)的非周期曲線，由單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：和兩條衰減的指數(shù)曲線組成。、的方程分別為：三、二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)(PerformanceIndexintheTimeDomain)

1．超調(diào)量（overshoot）MP

：超調(diào)量是隨著阻尼比

的增大而減小的。

圖4-6二階系統(tǒng)超調(diào)量（Mp）、衰減率(

)、衰減指數(shù)(m)與阻尼比()的關(guān)系

3.衰減率(decrement)衰減率

的計(jì)算公式:欠阻尼二階系統(tǒng)的衰減率

只與阻尼比

有關(guān)系，見圖4-6中。衰減率

隨

的增大而增大。

衰減指數(shù)m:

（4-26）衰減指數(shù)m也是阻尼比

的單值函數(shù)。m值隨

的增大而增大。m、

和

三種參數(shù)之間的關(guān)系為

另外，超調(diào)量Mp與衰減率

之間也存在著一定的關(guān)系，即

或

表4-2二階系統(tǒng)

、Mp、m和

值的對(duì)應(yīng)關(guān)系

ψ00.300.450.60.750.90.950.9730.9800.9980.99981Mp10.8370.7420.6320.50.3160.2240.1630.1410.0440.0140m00.0570.0950.1460.2210.3660.4770.5770.6231.01.33

ζ00.0570.0950.1440.2160.3440.4300.5000.5290.7070.8

1

在一般的熱工自動(dòng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中，通常選擇衰減率

=0.75

0.9。4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts調(diào)節(jié)時(shí)間ts應(yīng)滿足：

其中Δ是穩(wěn)態(tài)值的5%（或2%），即Δ=0.05c(

)[或Δ=0.02c(

)]。

（采用5%誤差帶）

（采用2%誤差帶）

第三節(jié)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)TheStabilityandalgebraicCriterionofAdjustmentSystem

一、

調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及穩(wěn)定條件下面分析調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的微分方程式所對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。對(duì)應(yīng)的齊次方程為它的特征方程式（即令傳遞函數(shù)的分母等于零）為：設(shè)特征方程式的n個(gè)根為S1，S2，…，Sn，則描述系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的通解為：式中，Ai是常數(shù)。下面介紹兩種代數(shù)判據(jù)：勞斯判據(jù)和古爾維茨判據(jù)。二、勞斯判據(jù)(RouthCriterion)

1、

勞斯判據(jù)已知系統(tǒng)的特征方程式為

系統(tǒng)穩(wěn)定的必要（但不是充分）條件是：特征方程式（4-43）的各項(xiàng)系數(shù)全都是正值。如果滿足這一必要條件，就可利用下述勞斯方法判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯判據(jù)敘述如下：特征方程式的所有根全部位于復(fù)平面左半平面（即系統(tǒng)穩(wěn)定）的必要和充分條件是該方程式的全部系數(shù)都是正值，而且由該方程式作出的勞斯陣列第一列的系數(shù)都是正值。如果第一列系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)值，那么系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。第一列系數(shù)正、負(fù)符號(hào)改變的次數(shù)，就是特征方程式位于復(fù)平面右半平面的根（即正根）的個(gè)數(shù)。例4-2

系統(tǒng)的特征方程：

試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。解：勞斯陣列為：因?yàn)榈谝涣邢禂?shù)有兩次變號(hào)，故該特征方程有兩個(gè)正實(shí)部根。

2、勞斯判據(jù)的特殊情況應(yīng)用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，在勞斯陣列中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)某一行的第一個(gè)系數(shù)為零或某一行系數(shù)全都為零的情況。這時(shí)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的或臨界穩(wěn)定的。（1）如果某一行的第一個(gè)系數(shù)為零，而這一行的其它各系數(shù)不全都是零，要確定根的性質(zhì)，可以用一個(gè)很小的正數(shù)

代替這第一個(gè)零系數(shù)，然后按一般步驟繼續(xù)進(jìn)行。

例4-3已知系統(tǒng)特征方程式為

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及在虛軸右邊根的個(gè)數(shù)。解：勞斯陣列為：當(dāng)

0時(shí)，第三行的第一個(gè)數(shù)

為正；第四行第一列系數(shù)為當(dāng)

0，該數(shù)趨于+

，第五行第一列系數(shù)為，當(dāng)

0，該數(shù)為-3。上述陣列第一列變號(hào)兩次，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，特征方程式有兩個(gè)根在虛軸右邊。

如果零(

)上面的系數(shù)與零(

)下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表明有一對(duì)虛根存在。

（2）如果在最后一行之前就出現(xiàn)某一行的系數(shù)全都為零，表明特征方程中有一些大小相等、但位置相反的根，比如大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根；一對(duì)共軛虛根；或?qū)ΨQ于實(shí)軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。這時(shí)，可用全零行上一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，對(duì)輔助多項(xiàng)式求導(dǎo)（對(duì)S），然后把輔助多項(xiàng)式求導(dǎo)后的系數(shù)代替全零行，以后按一般步驟完成勞斯陣列。此輔助多項(xiàng)式等于零時(shí)求出的根，就是特征方程式中幾個(gè)對(duì)稱于原點(diǎn)的根。例4-4已知系統(tǒng)特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)特征方程正根的個(gè)數(shù)。解：勞斯陣列為由于出現(xiàn)全零行，故用行系數(shù)構(gòu)成輔助多項(xiàng)式求輔助多項(xiàng)式F(s)對(duì)S的導(dǎo)數(shù)，得用上述方程的系數(shù)替換原來表中的零行，然后再按正常規(guī)則計(jì)算下去。得到:()此勞斯陣列中的第一列都是正值，說明特征方程式?jīng)]有正根（在虛軸右邊沒有根），而由輔助方程式，即得出:和

這就是系統(tǒng)特征方程式的兩對(duì)虛根，因此系統(tǒng)邊界穩(wěn)定。三、古爾維茨判據(jù)(HurwitzCriterion)

已知調(diào)節(jié)系統(tǒng)的特征方程式為

則古爾維茨判據(jù)敘述如下：調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件是特征方程的各項(xiàng)系數(shù)為正（即不缺項(xiàng)，不為負(fù)），且古爾維茨行列式

K（K=1，2，…，n）全部為正。各階古爾維茨行列式為：

式中，下標(biāo)大于n的系數(shù)，都以零代替。注意n階古爾維茨行列式的主對(duì)角線元素為a1、a2、…、an，而小于n階的各階古爾維茨行列式，是n階古爾維茨行列式中對(duì)角線上所有的子行列式。已經(jīng)證明，當(dāng)n階系統(tǒng)的特征方程式系數(shù)全為正值時(shí)，應(yīng)用古爾維茨判據(jù)并不需要計(jì)算n個(gè)行列式，只要檢驗(yàn)

n-1，n-2，2，1是否大于零就夠了。這使計(jì)算工作量減少很多。

例4-6

對(duì)于四階系統(tǒng)，其特征方程式為

用古爾維茨判據(jù)求系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。解：據(jù)古爾維茨判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

a4>0，a3>0，a2>0，a1>0，a0>0

即特征方程所有系數(shù)為正，且需

3>0。這里，4的表達(dá)式是此題只需計(jì)算到

3就行了，不需再計(jì)算4。根據(jù)古爾維茨判據(jù)，可寫出二、三、四階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件：n=2：a0>0，a1>0，a2>0n=4：a0>0，a1>0，a2>0，a3>0，a4>0，n=3：a0>0，