案例十八——短時傅里葉變換內容概要案例設置目的相關基礎理論情境任務及步驟頻率跳變信號的時頻分析Chirp信號的時頻分析思考題總結報告要求案例設置目的通過實驗初步了解時頻變換的基礎知識和基本方法，建立信號分析的多維度概念，拓展學習視野，了解窗函數類型和窗寬度對時頻分析結果的影響。相關基礎理論一、信號的短時傅里葉變換1．連續(xù)信號的短時傅里葉正變換設給定信號x(t)?L2(R)，其短時傅里葉變換（ShortTimeFourierTransformSTFT）的定義為（18.1）式中g(t)為窗函數，僅在有限的時間范圍內取非零值，如漢明窗、三角窗等，因此稱為STFT。從定義看出，信號x(t)的STFT是先用窗函數對信號進行截取，然后再對截取信號進行CTFT，通過不斷地移動窗函數的中心位置，即可得到不同時刻的傅里葉變換。短時傅里葉變換示意圖如圖18.1所示。相關基礎理論2．離散信號的短時傅里葉變換對式（18.1）中x(t)與g(t)以T為采樣間隔進行離散化分別得到x(n)和g(n)，模擬角頻率變數字角頻率

=

T，積分運算變求和運算，進而得到短時傅里葉變換的離散形式，即（18.2）為了使短時傅里葉變換能用計算機進行計算，類似于DFT，窗口每移動一次都是只計算

k=2πk/M點上的離散值，即（18.3）其中N的大小決定了窗函數沿時間軸移動的間距，N越小，n的取值越多，得到的時頻曲線越密。

相關基礎理論二、信號的短時傅里葉反變換1．連續(xù)信號短時傅里葉反變換連續(xù)信號的短時傅里葉反變換有多種形式，下面重點介紹三種。短時傅里葉變換中無論窗函數g(t)取什么樣的形狀，也不論取非零值的時間長度為多少，都要求：（18.4）1）反變換形式Ⅰ用STFT的一維反變換表示，即對STFT的定義式兩邊求反變換，存在

令u=t，則（18.5）2）反變換形式Ⅱ用STFT的二維反變換表示，即（18.6）相關基礎理論3）反變換形式Ⅲ用g(t)的對偶函數h(t)表示，即（18.7）STFT反變換的三種表示形式是統(tǒng)一的，一維反變換表示中假定了u=t，此時也就包含了時間t的變化過程。2．離散信號的短時傅里葉反變換（18.8）m的求和范圍取決于數據的長度及窗函數移動的步長N。與DFT一樣，對于數字信號的短時傅里葉變換，可以借用FFT高效實現。情境任務及步驟一、頻率跳變信號的時頻分析設信號x(t)是由如下的4段單頻正弦信號依次拼接而成的，容易理解x(t)每隔一段時間就會有一個頻率跳變。設采樣頻率為400Hz，試用短時傅里葉在時頻域印證信號的組成。（18.9）1．頻率跳變信號的生成Fs=400Hz，按照式（18.9）生成分段單頻信號，結果記為x(t)，并圖形顯示x(t)～t的波形。創(chuàng)建圖形窗口，顯示x(t)～t的波形，并通過調用函數axis局部顯示4.5s≤t≤5.5s、9.5s≤t≤10.5s和14.5s≤t≤15.5s范圍的波形，以便觀察頻率跳變點的位置和波形變化。情境任務及步驟2．時頻分析初步1）設定相關參數設定窗型為漢明窗，窗函數長度wn0=60，可調用函數hamming生成wn0點的窗wind0。設置fft的點數Nfft為2的整冪次，且不小于wn0。針對wn0此時的取值，Nfft設置為64。設置窗函數的移動間隔N=20點。時頻分析結果存儲矩陣為TFXT，該矩陣的行數為Nfft，列數CNum根據窗函數移動步進確定。2）邊截取（加窗）邊進行頻譜分析編制循環(huán)實現如下功能。（1）時域信號加窗截取。第i次加窗截取的結果為x(t)的第i段與wind0相乘的結果，比如可用類似如下語句tempxt=xt((i-1)*N+1:i*N).*wind0情境任務及步驟（2）局部信號頻譜分析并存儲。對tempxt進行Nfft點FFT，并將結果存入TFXT中。3）時頻分析結果顯示（1）調用函數meshgrid為三維畫圖生成x和y方向的坐標矩陣。（2）三維顯示時頻分析結果，要求如下：創(chuàng)建新的圖形窗口，并自上而下分成兩個子圖。調用函數mesh在上子圖中畫出TFXT的幅度圖。調用函數contour在下子圖中畫出TFXT的幅度圖。對照式（18.9）分析上述幅度圖中階躍點的位置是否正確，并記入情境任務總結報告。情境任務及步驟3．研究窗函數類型、窗函數長度對短時傅里葉變換的影響將上述“設定相關參數”環(huán)節(jié)的窗函數分別改為hann、blackman、rectwin，其他參數不變，重新執(zhí)行“邊截?。哟埃┻呥M行頻譜分析”，并將每次時頻分析的結果保存在TFXThan、TFXTbla、TFXTrec中，用hamming窗時的結果保存為TFXTham。創(chuàng)建新的圖形窗口，并分成兩行兩列4個子圖形窗口，分別顯示四種窗函數下的幅度高度圖（contour）。對照式（18.9）分析各種窗函數下時頻分析階躍點的位置的清晰度或準確度，并記入情境任務總結報告。情境任務及步驟4．研究窗函數長度對短時傅里葉變換的影響將前述“時頻分析初步”中“設定相關參數”內的窗函數改為hamming、hann、blackman、rectwin中任意一種，wn0的值分別設置為30、60、100和200，重新執(zhí)行“邊截取（加窗）邊進行頻譜分析”，并將每次時頻分析的結果保存在TFXT30、TFXT60、TFXT100和TFXT200中。創(chuàng)建新的圖形窗口，并分成兩行兩列4個子圖形窗口，分別顯示四種窗函數下的幅度高度圖（contour）。對照式（18.9）分析同窗函數下不同窗寬度情況下時頻分析階躍點的位置的清晰度或準確度，并記入情境任務總結報告。情境任務及步驟二、Chirp信號的時頻分析設信號x(t)是一個線性掃頻（Chirp）信號，具體定義為（18.10）試仿照情境一在不同的窗函數、不同窗長度、不同窗口移動步進下用短時傅里葉在時頻域印證信號的組成，窗函數、窗長度和窗口移動步進的選擇均不少于3種。思考題（1）通過查閱資料，了解信號時寬和帶寬的含義和測不準原理是什么？（2）在做短時傅里葉變換時，窗口的長度和類型對于時頻分析有哪些影響？（3）短時傅里葉變換的優(yōu)缺點是什么？總結報告要求（1）情境任務總