案例四——濾波可以卷出來內(nèi)容概要案例設(shè)置目的相關(guān)基礎(chǔ)理論情境任務(wù)及步驟線性卷積的編程實(shí)現(xiàn)卷積運(yùn)算竟是濾波確定系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)思考題總結(jié)報(bào)告要求案例設(shè)置目的通過編制線性卷積算法程序，進(jìn)一步理解線性卷積的原理；通過對(duì)一噪聲污染的正弦波用線性卷積實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)平均，從感官上理解線性卷積的作用及濾波的概念；通過測(cè)試代碼執(zhí)行時(shí)間，建立代碼效率概念；通過單位脈沖響應(yīng)的求解，理解系統(tǒng)的時(shí)域描述方式。相關(guān)基礎(chǔ)理論輸入序列x(n)和線性時(shí)不變系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的線性卷積運(yùn)算定義為當(dāng)h(n)為M+1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，且h(n)僅在0≤n≤M有非零值時(shí)，則h(n)描述了一FIR（FiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。此時(shí)式（4.1）改寫為或者

當(dāng)x(n)也為有限長(zhǎng)序列，且僅在n1≤n≤n2有非零值時(shí)，n1≥0，則使乘積h(m)·x(n-m)取非零值的n必定在如下范圍：即

相關(guān)基礎(chǔ)理論由式（4.4）容易推導(dǎo)出輸出序列的長(zhǎng)度L=n2+M-n1+1.若n1=0,n2=N，x(n)和h(n)卷積的結(jié)果y可用一個(gè)1×L的矩陣來描述，其中L=N+M+1，而計(jì)算過程可以寫成如下兩個(gè)矩陣的乘積，單位脈沖響應(yīng)h(n)各系數(shù)構(gòu)成的左側(cè)矩陣是1×(M+1)維，根據(jù)輸入x(n)構(gòu)造的右側(cè)矩陣是(M+1)×L維，且右側(cè)矩陣第一行補(bǔ)M個(gè)零。

相關(guān)基礎(chǔ)理論若x(n)是n1≠0的因果序列，同樣也可以用式（4.5）進(jìn)行計(jì)算，只是前n1項(xiàng)為0而已。將式（4.5）中由輸入x(n)構(gòu)造的矩陣的每一行看成一個(gè)向量，h(n)各系數(shù)構(gòu)成的矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則式（4.5）的運(yùn)算可以看出是如下排列的有(N+1)項(xiàng)的(M+1)個(gè)行向量的和，這種方法也稱為對(duì)位相乘相加法。

相關(guān)基礎(chǔ)理論當(dāng)h(n)為無限長(zhǎng)序列時(shí)，系統(tǒng)可選擇用差分方程描述，即（4.6）式（4.6）也常等價(jià)為（4.7）其中x(n)和y(n)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出；bk和ak分別表示輸入和已有輸出對(duì)當(dāng)前輸出的貢獻(xiàn)權(quán)重，它們?nèi)≈档淖兓瘺Q定不同的系統(tǒng)，因此差分方程描述的系統(tǒng)也可以用權(quán)重矩陣或系數(shù)矩陣表示，b=[b0,

b1,

…,

bM]，a=[a0,

a1,

…,

aN]，其中a0

1，當(dāng)b和a為常數(shù)時(shí)系統(tǒng)稱為線性常系數(shù)差分方程；有時(shí)將N或N與M的較大者稱為差分方程的階數(shù)。式（4.1）也可以看成是差分方程，此時(shí)有b0=h(0),b1=h(1),…,bM=h(M),a0=1,an=0,n=1,2,…,N。情境任務(wù)及步驟一、線性卷積的編程實(shí)現(xiàn)

1．根據(jù)線性卷積原理編制自定義函數(shù)實(shí)現(xiàn)線性卷積要求函數(shù)名為個(gè)人姓名的首字母+學(xué)號(hào)后兩位+conv；輸入?yún)?shù)為hn,M,xn,n1,n2；輸出參數(shù)為yn和ny，其中hn代表序列h(n),xn代表序列x(n)，yn表示輸出序列y(n)，ny表示輸出序列yn各樣點(diǎn)值對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)n。編制子函數(shù)除注意使用關(guān)鍵詞function外，非常重要的是要編制成單獨(dú)的m文件。2．對(duì)編制程序進(jìn)行初檢取h(n)=R4(n)，x(n)=R4(n)進(jìn)行函數(shù)驗(yàn)證。建議編制單獨(dú)的m文件，在m文件中調(diào)用自己編制的程序，而不是在命令窗口中執(zhí)行。程序調(diào)試中注意斷點(diǎn)設(shè)置、單步運(yùn)行、進(jìn)入函數(shù)內(nèi)部、中間變量值觀察等功能的使用。3．對(duì)編制程序進(jìn)行再檢在命令窗口調(diào)用自己編制的卷積計(jì)算程序進(jìn)行驗(yàn)證，輸入序列h(n)=R4(n)，x(n)=R4(n-5)計(jì)算結(jié)果與手動(dòng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并畫圖顯示計(jì)算結(jié)果，要求圖中對(duì)橫坐標(biāo)進(jìn)行標(biāo)注。情境任務(wù)及步驟二、卷積運(yùn)算竟是濾波1．產(chǎn)生純凈信號(hào)生成信號(hào)x(t)=sin(2

200

t)，時(shí)間長(zhǎng)度取5s，采樣率Fs=8000Hz，并聽其音觀其形。2．生成噪聲調(diào)用函數(shù)wgn生成長(zhǎng)度與x(t)相同的

10dBW的高斯白噪聲信號(hào)，記為noise，并聽其音觀其形。3．引狼入室用噪聲信號(hào)noise對(duì)x(t)進(jìn)行干擾，得到noisyx=noise+x(t)，并聽其音觀其形。情境任務(wù)及步驟二、卷積運(yùn)算竟是濾波4．去噪效果比較（1）取h(n)=R4(n)/4，調(diào)用自定義函數(shù)計(jì)算h(n)與noisyx的卷積，結(jié)果用filteredx1表示，并聽其音觀其形，用三幅圖分別顯示x(t)、noisyx和filteredx1，顯示長(zhǎng)度為x(t)的20個(gè)周期。（2）取h(n)=R4(n)/4，調(diào)用MATLAB函數(shù)conv，計(jì)算h(n)與noisyx的卷積，結(jié)果用filte-

redx2表示，并收聽效果。（3）取h(n)=R4(n)/4，調(diào)用MATLAB函數(shù)filter，對(duì)noisyx進(jìn)行濾波，用filteredx3表示，并收聽效果。（4）在每個(gè)函數(shù)調(diào)用語句之前加語句tic，之后加語句toc，以比較各個(gè)子函數(shù)執(zhí)行時(shí)間。（5）在一幅圖中用三種顏色重疊顯示filteredx1、filteredx2、filteredx3，并進(jìn)行比較。MATLAB的支持圖形重疊顯示的函數(shù)

為holdon，通過Help文件學(xué)習(xí)函數(shù)的調(diào)用語法。情境任務(wù)及步驟三、確定系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)MATLAB提供了函數(shù)impz用于確定濾波器的脈沖響應(yīng)，要求用該函數(shù)確定如下兩個(gè)差分方程描述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。（1）已知一差分方程描述的系統(tǒng)，，設(shè)入

，借助impz函數(shù)計(jì)算差分方程的輸出，要求輸出點(diǎn)數(shù)不少于20點(diǎn)。（2）已知一差分方程描述的系統(tǒng)，設(shè)入

，借助impz函數(shù)計(jì)算差分方程的輸出，要求輸出點(diǎn)數(shù)不少于20點(diǎn)。（3）根據(jù)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的定義，推導(dǎo)上述兩系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，再與impz輸出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。思考題（1）在自定義卷積函數(shù)中能否通過在x(n)的前后補(bǔ)適當(dāng)數(shù)量的0，以簡(jiǎn)化程序的結(jié)構(gòu)？（2）通過查詢Help文件，學(xué)習(xí)conv或卷積運(yùn)算還有哪些應(yīng)用？（3）能否用filter函數(shù)求解差分方程描述系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)呢？

總結(jié)報(bào)告要求（1）情境任務(wù)總結(jié)報(bào)告中原理部分要簡(jiǎn)要描述卷積計(jì)算的原理和流程，書寫情境任務(wù)時(shí)可適當(dāng)進(jìn)行歸納和總結(jié)，但至少要列出【情境任務(wù)及步驟】相關(guān)內(nèi)容的各級(jí)標(biāo)題。（2）