數(shù)學(xué)第14章統(tǒng)計14．4用樣本估計總體14.4.1用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)01自主學(xué)習(xí)02講練互動03當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04鞏固提升學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.會求樣本的平均數(shù)，并能用樣本平均數(shù)估計總體均值．2.會求樣本的眾數(shù)和中位數(shù)．3.會應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的統(tǒng)計實(shí)際問題．?dāng)?shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的求解及應(yīng)用．算術(shù)平均數(shù)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn自主學(xué)習(xí)2．眾數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)：一般地，我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的______；眾數(shù)是一種刻畫數(shù)據(jù)__________的度量值．中位數(shù)：一般地，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，那么排在________的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，那么，排在正中間的__________________即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．眾數(shù)集中趨勢正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)1．中位數(shù)一定是樣本數(shù)據(jù)中的一個數(shù)嗎？提示：不一定．一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，如果有奇數(shù)個數(shù)據(jù)，處于中間位置的數(shù)是中位數(shù)；如果有偶數(shù)個數(shù)據(jù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)．2．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以有幾個？中位數(shù)是否也具有相同的結(jié)論？提示：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個，中位數(shù)只有唯一一個．1．判斷正誤(對的打“√”，錯的打“×”)(1)平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化．(

)(2)一組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)不大于中位數(shù)，而另一半則不小于中位數(shù)，中位數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的中心的情況．中位數(shù)不受極端值的影響．(

)(3)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的大小只與這組數(shù)據(jù)中的部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)．(

)(4)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(

)(5)一個樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的．(

)(6)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變．(

)√√√√××2．已知一組數(shù)據(jù)為－3，5，7，x，11，且這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，那么該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(

)A．7

B．5C．6 D．11解析：由這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5，可知x＝5.把這組數(shù)據(jù)由小到大排列為－3，5，5，7，11，則可知中位數(shù)為5.√√4．10名工人生產(chǎn)同一零件的件數(shù)是5，8，4，10，7，6，8，8，5，9，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(

)A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>b>c D．c>a>b解析：平均數(shù)為7，中位數(shù)為7.5，眾數(shù)為8，故c>b>a.√5．(2020·高考江蘇卷)已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3－a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是__________．

答案：2探究點(diǎn)1平均數(shù)的計算與應(yīng)用某校在一次學(xué)生身體素質(zhì)調(diào)查中，在甲、乙兩班中隨機(jī)抽取10名男生檢測100m短跑，測得成績?nèi)缦?單位：s)：

求甲、乙兩班10名同學(xué)的平均成績，試估計甲、乙兩班男生的短跑水平．甲15.114.814.114.615.314.814.914.715.214.5乙15.015.014.214.516.115.214.814.915.115.2講練互動【解】

兩組數(shù)據(jù)均在14.5附近波動，均減14.5后得兩組新數(shù)據(jù)：0．6

0.3－0.4

0.1

0.8

0.3

0.4

0.20．7

0；0.5

0.5－0.3

0

1.6

0.7

0.30．4

0.6

0.7為了了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液．每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.探究點(diǎn)2眾數(shù)與中位數(shù)的計算

某工廠人員及月工資構(gòu)成如下：

(1)指出這個表格中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；(2)這個表格中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎？為什么？人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學(xué)徒合計月工資(元)22000250022002000100029700人數(shù)16510123合計22000150001100020000100069000【解】

(1)由表格可知，眾數(shù)為2000元．把23個數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，排在中間的數(shù)應(yīng)是第12個數(shù)，其值為2200，故中位數(shù)為2200元．平均數(shù)為(22000＋15000＋11000＋20000＋1000)÷23＝69000÷23＝3000(元).(2)雖然月工資的平均數(shù)為3000元，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平．如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．在實(shí)際應(yīng)用中，如果同時知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策．

某公司銷售部有銷售人員15人，銷售部為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下：

(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)；(2)假設(shè)銷售部負(fù)責(zé)人把每位銷售人員的月銷售額定為320件，你認(rèn)為是否合理，為什么？如不合理，請你制定一個較為合理的銷售定額．銷售量(件)1800510250210150120人數(shù)113532(2)不合理．因?yàn)?5人中有13人的銷售額不到320件，320件雖是所給一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，它卻不能很好地反映銷售人員的一般水平．銷售額定為210件合適些，因?yàn)?10件既是中位數(shù)，又是眾數(shù)，且是大部分人能達(dá)到的定額．1．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，x1，x2，x3的平均數(shù)是8，那么x1，x2，x3的平均數(shù)是(

)A．8

B．10C．12 D．14√當(dāng)堂達(dá)標(biāo)√3．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班．其中甲班有40人，乙班50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是________分．4．高一年級甲、乙兩班各50名同學(xué)，在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中