高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期4月質(zhì)檢考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，所以．故選：B.2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，因?yàn)?，所以，解得，故選:C.3.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，則．故選：D.4.已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對于A項(xiàng)，若，則或．對于B，C，D項(xiàng)，顯然成立，故選:A.5.2025年春節(jié)，國產(chǎn)電影《哪吒之魔童鬧?！坊鸨槿?，更是于2月18日登頂全球動畫榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)打算去蚌埠固鎮(zhèn)、天津陳塘關(guān)、南陽西峽縣三個哪吒故里旅游打卡，每位同學(xué)只去一個地方，每個地方至少去1人，則不同的安排方法有（）A.120種 B.150種 C.180種 D.300種【答案】B【解析】將五位同學(xué)分成三組，各組人數(shù)分別為1,1,3或1,2,2．當(dāng)各組人數(shù)為1,1,3時(shí)，共有種安排方法；當(dāng)各組人數(shù)為1,2,2時(shí)，共有種安排方法，所以不同的安排方法有種．故選:B.6.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若為等比數(shù)列，則（）A.64 B.32 C.16 D.8【答案】A【解析】為等比數(shù)列，的首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，第三項(xiàng)，的公比為當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)也符合，．故選：A.7.已知是雙曲線上的任意一點(diǎn)，過作的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，由題意，設(shè)，則，即．因?yàn)闈u近線方程為，所以，因?yàn)?，所?故選：D.8.已知函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為（）A.-e B.-1 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，而，故，又在定義域上單調(diào)遞增，則，于是．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對的得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得零分．9.一組樣本數(shù)據(jù)如下：47，48，49，50，50，51，52，53，則（）A.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50 B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為50C.該組數(shù)據(jù)的方差為3 D.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為51.5【答案】AB【解析】對于A，平均數(shù)為，A正確；對于B，中位數(shù)為，B正確；對于C，方差為，C錯誤；對于D，由，得第80百分位數(shù)為52，D錯誤.故選：AB10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.可以為 D.周長的最小值是11【答案】ABD【解析】設(shè)直線AB的解析式為，聯(lián)立，消去得，．由拋物線定義知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故A正確；設(shè)點(diǎn)到直線AB的距離為，則，，即，解得或（負(fù)值舍去），則．故B正確；，故C錯誤；由拋物線的定義知，的最小值是點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，的最小值為6，又周長的最小值是11，故D正確．故選：ABD.11.由函數(shù)相加后得到的函數(shù)，具有優(yōu)美的圖象和性質(zhì)，稱為“優(yōu)生成函數(shù)”．已知，其優(yōu)生成函數(shù)記為，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.在區(qū)間上先增后減C.的值域?yàn)?D.在區(qū)間上有11個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】易知“優(yōu)生成函數(shù)”為，因?yàn)?，所以關(guān)于直線對稱，故A正確；顯然，所以是函數(shù)的周期，所以在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間上的單調(diào)性相同，設(shè)，則，求導(dǎo)得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；由關(guān)于對稱及是函數(shù)的周期知，只需考查時(shí)的值域，因?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；易知在區(qū)間上，零點(diǎn)分別為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則圓的半徑為________.【答案】【解析】因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，從而，解得，則圓的方程為，故圓的半徑為．故答案為：13.在棱長為2的正方體中，是的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】【解析】如圖，為的中點(diǎn)，平面，平面平面平面正方體的棱長為2，，，的外接圓半徑為所求問題等價(jià)于求以為半徑的底面圓，高為的圓柱的外接球表面積．設(shè)圓柱的外接球半徑為，則三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：14.已知函數(shù)，若過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與的圖象交于另外的點(diǎn)和，且四邊形ABCD為正方形，則這兩條直線的斜率之和為________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，不妨設(shè)直線AC的方程為，由，得，解得或或，則，同理可得，由，得，即，即，即，令，則這兩條直線的斜率之和為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求周長的最大值．解：（1）由正弦定理及，得，，，．（2）設(shè)的外接圓半徑為，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，周長的最大值為9．16.如圖，在四棱錐中，，，，底面，是上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的正弦值．（1）證明：在四棱錐中，，，則，，在中，，則，即，于是，由平面，平面，得，又平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，而平面，則，又，因此是二面角的平面角，在中，，則，由是的中點(diǎn)，得，于是，所以平面與平面的夾角的正弦值為.17.已知橢圓的短軸長為，且離心率為．（1）求的方程；（2）若分別是左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線BQ與交于另一點(diǎn)，直線AM與交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得，，解得橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則．設(shè)，則，，直線BQ的方程為．點(diǎn)在直線BQ上，，點(diǎn)是直線上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，，解得點(diǎn)在橢圓上，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．18.某籃球運(yùn)動員進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練結(jié)果，第一次投籃命中的概率為．若前一次投籃命中，那么下次投籃命中的概率為；若前一次投籃未命中，那么下次投籃命中的概率為．（1）求該運(yùn)動員第二次投籃命中的概率；（2）記該運(yùn)動員前兩次投籃命中的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)第次投籃命中的概率為，求證：．（1）解：設(shè)事件“第次投籃命中”，則“第次投籃未命中”，，易知與是互斥事件，所以由全概率公式得該運(yùn)動員第二次投籃命中的概率為．（2）解：由題意得，，的所有取值為0,1,2，,所以的分布列為012所以．（3）證明：由題意得，；當(dāng)時(shí)，即，變形為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，于是，即，所以．19.已知曲線在點(diǎn)處切線方程為，其中為常數(shù)．（1）①求的值；②證明：只有一個零點(diǎn)．（2）若函數(shù)，且存在正實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）①由題意得，，則，解得．易得，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得．②由①知，，記，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以由零點(diǎn)存在定理知，存在唯一零點(diǎn)，使得，故函數(shù)只有一個零點(diǎn)．（2）因?yàn)榇嬖谡龑?shí)數(shù)，使得成立，所以存在正實(shí)數(shù)，使得成立，即存在正實(shí)數(shù)，使得成立．令，則，由（1）②知，有唯一解在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以．由，得，即，即，亦即．易得在上單調(diào)遞增，由，得，所以，即，所以，故，即的取值范圍為.安徽省A10聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期4月質(zhì)檢考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，所以．故選：B.2.已知向量，若，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，因?yàn)?，所以，解得，故選:C.3.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，則．故選：D.4.已知是兩個不重合的平面，是兩條不同的直線，則下列命題中錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】A【解析】對于A項(xiàng)，若，則或．對于B，C，D項(xiàng)，顯然成立，故選:A.5.2025年春節(jié)，國產(chǎn)電影《哪吒之魔童鬧海》火遍全球，更是于2月18日登頂全球動畫榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)打算去蚌埠固鎮(zhèn)、天津陳塘關(guān)、南陽西峽縣三個哪吒故里旅游打卡，每位同學(xué)只去一個地方，每個地方至少去1人，則不同的安排方法有（）A.120種 B.150種 C.180種 D.300種【答案】B【解析】將五位同學(xué)分成三組，各組人數(shù)分別為1,1,3或1,2,2．當(dāng)各組人數(shù)為1,1,3時(shí)，共有種安排方法；當(dāng)各組人數(shù)為1,2,2時(shí)，共有種安排方法，所以不同的安排方法有種．故選:B.6.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若為等比數(shù)列，則（）A.64 B.32 C.16 D.8【答案】A【解析】為等比數(shù)列，的首項(xiàng)為，第二項(xiàng)為，第三項(xiàng)，的公比為當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)也符合，．故選：A.7.已知是雙曲線上的任意一點(diǎn)，過作的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，由題意，設(shè)，則，即．因?yàn)闈u近線方程為，所以，因?yàn)椋?故選：D.8.已知函數(shù)和，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為（）A.-e B.-1 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，而，故，又在定義域上單調(diào)遞增，則，于是．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求．全部選對的得6分，不分選對的得部分分，有選錯的得零分．9.一組樣本數(shù)據(jù)如下：47，48，49，50，50，51，52，53，則（）A.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為50 B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為50C.該組數(shù)據(jù)的方差為3 D.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為51.5【答案】AB【解析】對于A，平均數(shù)為，A正確；對于B，中位數(shù)為，B正確；對于C，方差為，C錯誤；對于D，由，得第80百分位數(shù)為52，D錯誤.故選：AB10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.可以為 D.周長的最小值是11【答案】ABD【解析】設(shè)直線AB的解析式為，聯(lián)立，消去得，．由拋物線定義知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故A正確；設(shè)點(diǎn)到直線AB的距離為，則，，即，解得或（負(fù)值舍去），則．故B正確；，故C錯誤；由拋物線的定義知，的最小值是點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，的最小值為6，又周長的最小值是11，故D正確．故選：ABD.11.由函數(shù)相加后得到的函數(shù)，具有優(yōu)美的圖象和性質(zhì)，稱為“優(yōu)生成函數(shù)”．已知，其優(yōu)生成函數(shù)記為，則（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.在區(qū)間上先增后減C.的值域?yàn)?D.在區(qū)間上有11個零點(diǎn)【答案】ACD【解析】易知“優(yōu)生成函數(shù)”為，因?yàn)?，所以關(guān)于直線對稱，故A正確；顯然，所以是函數(shù)的周期，所以在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間上的單調(diào)性相同，設(shè)，則，求導(dǎo)得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B錯誤；由關(guān)于對稱及是函數(shù)的周期知，只需考查時(shí)的值域，因?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；易知在區(qū)間上，零點(diǎn)分別為，故D正確．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則圓的半徑為________.【答案】【解析】因?yàn)閳A上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，從而，解得，則圓的方程為，故圓的半徑為．故答案為：13.在棱長為2的正方體中，是的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積為________．【答案】【解析】如圖，為的中點(diǎn)，平面，平面平面平面正方體的棱長為2，，，的外接圓半徑為所求問題等價(jià)于求以為半徑的底面圓，高為的圓柱的外接球表面積．設(shè)圓柱的外接球半徑為，則三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：14.已知函數(shù)，若過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與的圖象交于另外的點(diǎn)和，且四邊形ABCD為正方形，則這兩條直線的斜率之和為________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，不妨設(shè)直線AC的方程為，由，得，解得或或，則，同理可得，由，得，即，即，即，令，則這兩條直線的斜率之和為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗(yàn)算步驟．15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求周長的最大值．解：（1）由正弦定理及，得，，，．（2）設(shè)的外接圓半徑為，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，，周長的最大值為9．16.如圖，在四棱錐中，，，，底面，是上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，求平面與平面的夾角的正弦值．（1）證明：在四棱錐中，，，則，，在中，，則，即，于是，由平面，平面，得，又平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，而平面，則，又，因此是二面角的平面角，在中，，則，由是的中點(diǎn)，得，于是，所以平面與平面的夾角的正弦值為.17.已知橢圓的短軸長為，且離心率為．（1）求的方程；（2）若分別是左、右頂點(diǎn)，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線BQ與交于另一點(diǎn)，直線AM與交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得，，解得橢圓的方程為．（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得，則．設(shè)，則，，直線BQ的方程為．點(diǎn)在直線BQ上，，