高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖南八校2025屆高三第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，，解得，，結(jié)合得，即．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋裕摬繛椋蔬x：A3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以成立，當(dāng)時(shí)，若與相交，則與異面，不能推導(dǎo)出，所以“”是“”充分不必要條件．故選：A．4.已知一組數(shù)據(jù)為，1，3，4，5，7，10，11，若為這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)，則的展開式中的系數(shù)為（）A.280 B. C.560 D.【答案】D【解析】由，得，則展開式中含的項(xiàng)為，所以所求的系數(shù)為.故選：D5.已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，雙曲線的離心率為，所以則雙曲線的漸近線方程為．故選：B．6.如圖，高為的圓錐形容器里裝了一定量的水，下列容器內(nèi)水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時(shí)，有，整理得．因?yàn)?，，，，則D選項(xiàng)更接近．故選：D．7.已知數(shù)列滿足，某同學(xué)將其前20項(xiàng)中某一項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫錯(cuò)，得其前20項(xiàng)和為372，則寫錯(cuò)之前這個(gè)數(shù)為（）A. B. C.100 D.【答案】B【解析】，則其前20項(xiàng)和．設(shè)寫錯(cuò)項(xiàng)為，則，解得，，故寫錯(cuò)之前這個(gè)數(shù)為．故選：B．8.已知函數(shù)，若對(duì)任意，有，則正整數(shù)的最小值為（參考值：）（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由，知都不為零，所以在和上都沒有零點(diǎn)．由于，故在上有零點(diǎn)，二者結(jié)合，可知，而在和上分別取固定的符號(hào)，且符號(hào)相反．所以，得，故，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立；當(dāng)時(shí)，需滿足，即，解得，所以正整數(shù)的最小值為2．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量滿足，，則（）A.與的夾角為 B.與的夾角為C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A,B，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以，得，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故，故D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上僅有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋郧?，所以，故的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)和的最小正周期均為，所以的最小正周期為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?；函?shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?所以函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，解得，在區(qū)間上有2個(gè)解，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．11.平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)，滿足到點(diǎn)的距離的倒數(shù)和為定值，即，則下列說法正確的是（）A.對(duì)于不同的值，曲線總是關(guān)于軸對(duì)稱B.當(dāng)時(shí)，曲線經(jīng)過原點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，軸上存在4個(gè)不同的點(diǎn)在曲線上【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，可知為線段的中點(diǎn)，又動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，，可得，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，將原點(diǎn)代入，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，可得．因?yàn)椋?，解得，，令，則，由對(duì)勾函數(shù)可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，，可得，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在軸上的點(diǎn)為，由題意得，因?yàn)榍€圖象關(guān)于軸對(duì)稱，不妨考慮的情形，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，故時(shí)，軸上有2個(gè)點(diǎn)，所以軸上存在4個(gè)不同的點(diǎn)在曲線上，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，則，又，所以，所以．故答案為：4.13如圖所示，兩直角三角形共斜邊，且，設(shè)，則______．【答案】【解析】，由題意可得，，，，因?yàn)閯t兩式平方相加可得，即，所以．故答案為：.14.已知數(shù)集，，現(xiàn)隨機(jī)從和中各抽取3個(gè)不同的數(shù)分別構(gòu)成最大的三位數(shù)和，則事件“”的概率為______．【答案】【解析】可分為兩類：中有7時(shí)和中無7時(shí)，由題意可得：（中有7），（中無7）．若中含7，則；若中無7的情況下：，此時(shí)；所以．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，所對(duì)的邊分別為．（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）由正弦定理得，即．由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，則，整理可得，則，由，解得，則，由，則，由正弦定理可得，則，所以的面積為．16.如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，由，得，由，得，所以，所以，即，由平面平面平面，平面平面，得平面，又平面，所以，又平面，所以平面，且平面，所以．（2）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，，，則令，則，平面的一個(gè)法向量為，由題可知，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足．（1）求橢圓的方程；（2）在直線上取一點(diǎn)，連接交橢圓于兩點(diǎn)、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，且滿足，則，由題意知，得，故橢圓的方程為．（2）若直線的斜率不存在，則該直線與橢圓相離，不合乎題意，由題意可知，直線不與軸重合，依題意，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立消得，則，可得①，②，由，，，，整理得③，由①③得，代入②，解得，直線的方程為或，若直線的方程為，則點(diǎn)；若直線的方程為，則點(diǎn).綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為或．18.已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線平行于直線，求的值以及函數(shù)的最小值；（2）證明：對(duì)一切的，都有；（3）當(dāng)時(shí)，若曲線與曲線存在兩交點(diǎn)，記直線的斜率為，證明：．（1）解：由題意，，所以，所以，法1：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．法2：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以函數(shù)的最小值為4；（2）證明：先證，則．設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，則，所以；同理，當(dāng)，則也成立；所以，則．（3）證明：設(shè)，其中，由（2）知，則，取，得，，所以①，將和相減，得，，所以代入①，所以，即．19.經(jīng)典比特只能處于“0”態(tài)或“1”態(tài)，而量子計(jì)算機(jī)的量子比特可同時(shí)處于“0”或“1”的疊加態(tài)，某臺(tái)量子計(jì)算機(jī)以序號(hào)的粒子自旋狀態(tài)為量子比特，每個(gè)粒子的自旋狀態(tài)等可能的處于“0”態(tài)（下旋狀態(tài)）或“1”態(tài)（上旋狀態(tài)），現(xiàn)記序號(hào)為奇數(shù)的粒子中，處于“0”態(tài)的個(gè)數(shù)為，序號(hào)為偶數(shù)的粒子中，處于“1”態(tài)的個(gè)數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變是的分布列和期望；（2）在這個(gè)粒子中，求事件“”的概率；（3）在這個(gè)粒子中，令隨機(jī)變量，證明：．（參考公式：）（1）解：隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以隨機(jī)變量的期望為；（2）解：（或）；（3）證明：令，則可取，故可取，當(dāng)取時(shí)，，故，從而，整理，得，，又因，所以，又，根據(jù)，可得．可得．由（2）知，所以．安徽省皖南八校2025屆高三第三次大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，，解得，，結(jié)合得，即．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)與互為共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋裕摬繛椋蔬x：A3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以成立，當(dāng)時(shí)，若與相交，則與異面，不能推導(dǎo)出，所以“”是“”充分不必要條件．故選：A．4.已知一組數(shù)據(jù)為，1，3，4，5，7，10，11，若為這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)，則的展開式中的系數(shù)為（）A.280 B. C.560 D.【答案】D【解析】由，得，則展開式中含的項(xiàng)為，所以所求的系數(shù)為.故選：D5.已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，雙曲線的離心率為，所以則雙曲線的漸近線方程為．故選：B．6.如圖，高為的圓錐形容器里裝了一定量的水，下列容器內(nèi)水的體積最接近容器容積一半的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)到水面的距離為，圓錐的底面半徑為，則水面半徑為．當(dāng)水的體積等于容器容積的一半時(shí)，有，整理得．因?yàn)?，，，，則D選項(xiàng)更接近．故選：D．7.已知數(shù)列滿足，某同學(xué)將其前20項(xiàng)中某一項(xiàng)正負(fù)號(hào)寫錯(cuò)，得其前20項(xiàng)和為372，則寫錯(cuò)之前這個(gè)數(shù)為（）A. B. C.100 D.【答案】B【解析】，則其前20項(xiàng)和．設(shè)寫錯(cuò)項(xiàng)為，則，解得，，故寫錯(cuò)之前這個(gè)數(shù)為．故選：B．8.已知函數(shù)，若對(duì)任意，有，則正整數(shù)的最小值為（參考值：）（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由，知都不為零，所以在和上都沒有零點(diǎn)．由于，故在上有零點(diǎn)，二者結(jié)合，可知，而在和上分別取固定的符號(hào)，且符號(hào)相反．所以，得，故，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立；當(dāng)時(shí)，需滿足，即，解得，所以正整數(shù)的最小值為2．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知向量滿足，，則（）A.與的夾角為 B.與的夾角為C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A,B，設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，所以，得，所以，，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故，故D正確．故選：ACD．10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上僅有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以且，所以，故的定義域?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)和的最小正周期均為，所以的最小正周期為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?；函?shù)在區(qū)間上均單調(diào)遞減，且值域?yàn)?所以函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，解得，在區(qū)間上有2個(gè)解，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．11.平面直角坐標(biāo)系中，曲線上任一點(diǎn)，滿足到點(diǎn)的距離的倒數(shù)和為定值，即，則下列說法正確的是（）A.對(duì)于不同的值，曲線總是關(guān)于軸對(duì)稱B.當(dāng)時(shí)，曲線經(jīng)過原點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，軸上存在4個(gè)不同的點(diǎn)在曲線上【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，可知為線段的中點(diǎn)，又動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，則，，可得，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，將原點(diǎn)代入，得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，可得．因?yàn)?，即，解得，，令，則，由對(duì)勾函數(shù)可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，，可得，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在軸上的點(diǎn)為，由題意得，因?yàn)榍€圖象關(guān)于軸對(duì)稱，不妨考慮的情形，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，當(dāng)時(shí)，方程化為，解得，故時(shí)，軸上有2個(gè)點(diǎn)，所以軸上存在4個(gè)不同的點(diǎn)在曲線上，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】4【解析】因?yàn)?，則，又，所以，所以．故答案為：4.13如圖所示，兩直角三角形共斜邊，且，設(shè)，則______．【答案】【解析】，由題意可得，，，，因?yàn)閯t兩式平方相加可得，即，所以．故答案為：.14.已知數(shù)集，，現(xiàn)隨機(jī)從和中各抽取3個(gè)不同的數(shù)分別構(gòu)成最大的三位數(shù)和，則事件“”的概率為______．【答案】【解析】可分為兩類：中有7時(shí)和中無7時(shí)，由題意可得：（中有7），（中無7）．若中含7，則；若中無7的情況下：，此時(shí)；所以．故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，所對(duì)的邊分別為．（1）求；（2）若，求的面積．解：（1）由正弦定理得，即．由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）由三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，則，整理可得，則，由，解得，則，由，則，由正弦定理可得，則，所以的面積為．16.如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折至，得四棱錐，且平面平面，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，由，得，由，得，所以，所以，即，由平面平面平面，平面平面，得平面，又平面，所以，又平面，所以平面，且平面，所以．（2）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面一個(gè)法向量為，，，則令，則，平面的一個(gè)法向量為，由題可知，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為．17.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足．（1）求橢圓的方程；（2）在直線上取一點(diǎn)，連接交橢圓于兩點(diǎn)、，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)闉闄E圓上一點(diǎn)，且滿足，則，由題意知，得，故橢圓的方程為．（2）若直線的斜率不存在，則該直線與橢圓相離，不合乎題意，由題意可知，直線不與軸重合，依題意，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)、，聯(lián)立消得