高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省卓越縣中聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期5月份檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）.A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，故．故選：B.2.已知一組樣本數(shù)據(jù)7，9，5，8，4，a的極差為5，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，極差為，符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，極差為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，極差為，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍是．故選：A.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】易知的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，則對任意均成立，，即解得．故選：D.4.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值 D.有最大值【答案】C【解析】設(shè)，由，則，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最小值，無最大值．故選：C5.設(shè)A為橢圓上一點(diǎn)，，則當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)樵跈E圓上，所以，則，將代入，得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值．故選：C.6.已知為第一象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，又因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，故．故選：D7.已知正三棱柱的表面積為，則其體積的最大值為（）.A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，則其表面積，整理得，則該正三棱柱的體積，將V看作關(guān)于a的函數(shù)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，則該正三棱柱的體積的最大值為．故選：A.8.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且的值為1，2，3的可能性相同，則是奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記事件A為“為奇數(shù)”，事件為“為奇數(shù)”，是奇數(shù)的概率為．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則仍然為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若或3，則為奇數(shù)，從而，即，即，整理可得．又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以．故是奇數(shù)的概率為．故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為，且，剔除一個(gè)偏離回歸直線較遠(yuǎn)的異常點(diǎn)后，得到的新回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，則（）A變量x，y負(fù)相關(guān)B.剔除異常點(diǎn)后；樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大C.新回歸直線經(jīng)過點(diǎn)D.新回歸直線的斜率是【答案】ABD【解析】對于A，由回歸直線的斜率為，可知變量x，y負(fù)相關(guān)，故A正確；對于B，剔除異常點(diǎn)后，擬合精度變好，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，故B正確；對于C，因?yàn)樵貧w直線方程為，且，所以，則剔除異常點(diǎn)后，，，故新回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)樾禄貧w直線經(jīng)過點(diǎn)和，所以新回歸直線的斜率為，故D正確．10.在中，，，，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ACD【解析】對于A，設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，的重心為G，由，，得，，由，得，則，，A正確；對于B，由，，得，，在中，由余弦定理得，解得，則，因此，B錯(cuò)誤；對于C，，C正確；對于D，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，而，則，D正確.故選：ACD11.波蘭表達(dá)式（Polishnotation）是一種特殊的數(shù)學(xué)式表示方法，可以用于邏輯、算術(shù)和代數(shù)的表示，波蘭表達(dá)式的基本結(jié)構(gòu)為“運(yùn)算符操作數(shù)1操作數(shù)2”，運(yùn)算時(shí)從左到右讀取表達(dá)式，遇到運(yùn)算符時(shí)，將其與接下來的兩個(gè)操作數(shù)結(jié)合．如：波蘭表達(dá)式“”的運(yùn)算過程為：先將“”轉(zhuǎn)化為：“”，再以“”為運(yùn)算符，“”和“5”為操作數(shù)，即得“”；波蘭表達(dá)式“”中，“”表示冪運(yùn)算，該式的運(yùn)算過程為：先將“”轉(zhuǎn)化為“”，將“”轉(zhuǎn)化為“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根據(jù)上述內(nèi)容，下列說法正確的是（）附：．A.波蘭表達(dá)式“”的值為108B.若波蘭表達(dá)式“”的值大于6，則x的取值范圍是C.若波蘭表達(dá)式“”表示的函數(shù)無極值，且，則D.若波蘭表達(dá)式“”的值為，則x的所有取值之和大于4【答案】BD【解析】對于A，波蘭表達(dá)式“”，即，故A錯(cuò)誤；對于B，波蘭表達(dá)式“”的值大于6，等價(jià)于，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且為其零點(diǎn)，所以所求x的取值范圍是，故B正確；對于C，波蘭表達(dá)式“”表示的函數(shù)為，則，又函數(shù)無極值，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，故，則，，故C錯(cuò)誤；對于D，波蘭表達(dá)式“”的值為等價(jià)于，易知滿足該等式，令，則，易知有唯一解，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，由零點(diǎn)存在定理知，方程必存在另外一解，且，所以x的所有取值之和大于4，故D正確．故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且的兩頂點(diǎn)之間的距離為4．則的方程為__________．【答案】【解析】由題可得，故，因?yàn)榈囊粭l漸近線方程為，所以，即，故的方程為．故答案為：．13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若，，則__________．【答案】30【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由，，可得，所以，則，解得．故答案為：30.14.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由可得，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，方程兩邊同乘，得，等價(jià)于，變形可得．設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，且當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于0，由知，只需滿足或，所以a的取值范圍是．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（，），圓:．（1）若圖象的兩條相鄰的對稱軸均與圓相切，求，的值；（2）若，且的圖象與x軸的交點(diǎn)中恰有兩個(gè)在圓的內(nèi)部，求的取值范圍．解：（1）由題可知，圖象的兩條相鄰的對稱軸間的距離為，由題可知圓的直徑為3，所以，解得．因?yàn)閳A心的坐標(biāo)為，所以圖象的其中一條對稱軸的方程為，所以，解得，因?yàn)?，所以．?）由題可知，的零點(diǎn)滿足，即．因?yàn)閳A上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，所以原題等價(jià)于有且僅有2個(gè)不同的k值滿足，整理得，故只能取0，1兩個(gè)值，所以，解得的取值范圍是．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題可知，又，，平面，故平面，又平面，故．由題可知，，則，因，所以，所以．又，所以，即．又，平面MCD，故平面MCD．（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面ABCD的夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，又，故曲線在點(diǎn)處切線方程為．（2）證明：方法一：由題可得，設(shè)，則，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，于是，則，單調(diào)遞增．故單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，故，綜上，命題得證．方法二：由題可得，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，且．因?yàn)?，所以，所以，故?8.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱20件，每箱產(chǎn)品在交付用戶之前都要從中隨機(jī)抽出件進(jìn)行檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)出不合格品，則將該不合格品更換為合格品，假設(shè)每箱產(chǎn)品中均恰有2件不合格品．（1）若，求檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品時(shí)恰好抽到1件不合格品的概率；（2）若檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品時(shí)至少抽到1件不合格品的概率大于0.5，求m的最小值；（3）已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2m元；若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付150元的賠償費(fèi)用，要使一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值最小，m應(yīng)取何值？解：（1）設(shè)事件“檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品時(shí)恰好抽到1件不合格品”為A，則．（2）設(shè)事件“檢驗(yàn)一箱產(chǎn)品時(shí)至少抽到1件不合格品”為B，則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以m的最小值為6．（3）每箱產(chǎn)品隨機(jī)抽出m件進(jìn)行檢驗(yàn)，設(shè)抽到的不合格品的件數(shù)為X，依題意，X服從超幾何分布，則．設(shè)一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和為Y元，則，所以．函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，要使的值最小，應(yīng)?。?9.記拋物線的焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作斜率為1的直線l，l與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，直線與E交于另一點(diǎn)，取的中點(diǎn)，以此類推，記直線的斜率為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）證明：是遞減數(shù)列；（3）記的面積為，證明：．（1）解：如圖所示，聯(lián)立，解得或，故.又，所以，，故直線，聯(lián)立，解得或，故.（2）證明：聯(lián)立，解得點(diǎn)，所以，，所以.又因?yàn)椋?，于是，即，故是遞增數(shù)列.又由，可知是遞減數(shù)列，于是是遞減數(shù)列.（3）證明：由（2）得，當(dāng)時(shí)，，，利用割補(bǔ)法，知.而，故.而，故；又，故，由累乘法可知，而，故.故.綜上，.安徽省卓越縣中聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期5月份檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題；本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）.A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，故．故選：B.2.已知一組樣本數(shù)據(jù)7，9，5，8，4，a的極差為5，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，極差為，符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，極差為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是，最小的數(shù)是，極差為，不符合題意；綜上所述，a的取值范圍是．故選：A.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】易知的定義域?yàn)椋沂瞧婧瘮?shù)，則對任意均成立，，即解得．故選：D.4.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.有最小值2 B.有最大值2 C.有最小值 D.有最大值【答案】C【解析】設(shè)，由，則，所以，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最小值，無最大值．故選：C5.設(shè)A為橢圓上一點(diǎn)，，則當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)樵跈E圓上，所以，則，將代入，得，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值．故選：C.6.已知為第一象限角，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，又因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，所以，故．故選：D7.已知正三棱柱的表面積為，則其體積的最大值為（）.A.2 B. C.4 D.【答案】A【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，則其表面積，整理得，則該正三棱柱的體積，將V看作關(guān)于a的函數(shù)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，則該正三棱柱的體積的最大值為．故選：A.8.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，且的值為1，2，3的可能性相同，則是奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記事件A為“為奇數(shù)”，事件為“為奇數(shù)”，是奇數(shù)的概率為．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則仍然為奇數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若或3，則為奇數(shù)，從而，即，即，整理可得．又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，所以．故是奇數(shù)的概率為．故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為，且，剔除一個(gè)偏離回歸直線較遠(yuǎn)的異常點(diǎn)后，得到的新回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，則（）A變量x，y負(fù)相關(guān)B.剔除異常點(diǎn)后；樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大C.新回歸直線經(jīng)過點(diǎn)D.新回歸直線的斜率是【答案】ABD【解析】對于A，由回歸直線的斜率為，可知變量x，y負(fù)相關(guān)，故A正確；對于B，剔除異常點(diǎn)后，擬合精度變好，故樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，故B正確；對于C，因?yàn)樵貧w直線方程為，且，所以，則剔除異常點(diǎn)后，，，故新回歸直線經(jīng)過點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)樾禄貧w直線經(jīng)過點(diǎn)和，所以新回歸直線的斜率為，故D正確．10.在中，，，，則（）A. B.C.的面積為 D.【答案】ACD【解析】對于A，設(shè)AC，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，的重心為G，由，，得，，由，得，則，，A正確；對于B，由，，得，，在中，由余弦定理得，解得，則，因此，B錯(cuò)誤；對于C，，C正確；對于D，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，而，則，D正確.故選：ACD11.波蘭表達(dá)式（Polishnotation）是一種特殊的數(shù)學(xué)式表示方法，可以用于邏輯、算術(shù)和代數(shù)的表示，波蘭表達(dá)式的基本結(jié)構(gòu)為“運(yùn)算符操作數(shù)1操作數(shù)2”，運(yùn)算時(shí)從左到右讀取表達(dá)式，遇到運(yùn)算符時(shí)，將其與接下來的兩個(gè)操作數(shù)結(jié)合．如：波蘭表達(dá)式“”的運(yùn)算過程為：先將“”轉(zhuǎn)化為：“”，再以“”為運(yùn)算符，“”和“5”為操作數(shù)，即得“”；波蘭表達(dá)式“”中，“”表示冪運(yùn)算，該式的運(yùn)算過程為：先將“”轉(zhuǎn)化為“”，將“”轉(zhuǎn)化為“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根據(jù)上述內(nèi)容，下列說法正確的是（）附：．A.波蘭表達(dá)式“”的值為108B.若波蘭表達(dá)式“”的值大于6，則x的取值范圍是C.若波蘭表達(dá)式“”表示的函數(shù)無極值，且，則D.若波蘭表達(dá)式“”的值為，則x的所有取值之和大于4【答案】BD【解析】對于A，波蘭表達(dá)式“”，即，故A錯(cuò)誤；對于B，波蘭表達(dá)式“”的值大于6，等價(jià)于，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且為其零點(diǎn)，所以所求x的取值范圍是，故B正確；對于C，波蘭表達(dá)式“”表示的函數(shù)為，則，又函數(shù)無極值，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，故，則，，故C錯(cuò)誤；對于D，波蘭表達(dá)式“”的值為等價(jià)于，易知滿足該等式，令，則，易知有唯一解，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，由零點(diǎn)存在定理知，方程必存在另外一解，且，所以x的所有取值之和大于4，故D正確．故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線（，）的一條漸近線方程為，且的兩頂點(diǎn)之間的距離為4．則的方程為__________．【答案】【解析】由題可得，故，因?yàn)榈囊粭l漸近線方程為，所以，即，故的方程為．故答案為：．13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若，，則__________．【答案】30【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再由，，可得，所以，則，解得．故答案為：30.14.已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由可得，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，方程兩邊同乘，得，等價(jià)于，變形可得．設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于0，由知，只需滿足或，所以a的取值范圍是．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（，），圓:．（1）若圖象的兩條相鄰的對稱軸均與圓相切，求，的值；（2）若，且的圖象與x軸的交點(diǎn)中恰有兩個(gè)在圓的內(nèi)部，求的取值范圍．解：（1）由題可知，圖象的兩條相鄰的對稱軸間的距離為，由題可知圓的直徑為3，所以，解得．因?yàn)閳A心的坐標(biāo)為，所以圖象的其中一條對稱軸的方程為，所以，解得，因?yàn)?，所以．?）由題可知，的零點(diǎn)滿足，即．因?yàn)閳A上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，所以原題等價(jià)于有且僅有2個(gè)不同的k值滿足，整理得，故只能取0，1兩個(gè)值，所以，解得的取值范圍是．16.如圖，在直四棱柱中，，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題可知，又，，平面，故平面，又平面，故．由題可知，，則，因，所以，所以．又，所以，即．又，平面MCD，故平面MCD．（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，則．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面ABCD的夾角的余弦值為．17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，又，故曲線在點(diǎn)處切線方程為．（2）證明：方法一：由題可得，設(shè)，則，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，于是，則，單調(diào)遞增．故單調(diào)遞增，而，故當(dāng)時(shí)，，在單