數(shù)學(xué)七年級升八年級暑假預(yù)習(xí)專題訓(xùn)練專題三多邊形及其內(nèi)角和【專題導(dǎo)航】目錄【考點(diǎn)一多邊形】............................................2【考點(diǎn)二多邊形的內(nèi)角】.......................................3【考點(diǎn)三多邊形外角】.........................................7【聚焦考點(diǎn)1】定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形.2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線．3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)詮釋：（1）正多邊形必須滿足兩個條件（1）各邊相等，各角相等。（2）過多邊形一個頂點(diǎn)有（n-3）條對角線。N邊形共有n(n?3)2（3）過n邊形一個頂點(diǎn)把n邊形分成(n-2)個三角形?！镜淅饰?】關(guān)于正多邊形的概念，下列說法正確的是（）A．各邊相等的多邊形是正多邊形B．各角相等的多邊形是正多邊形C．各邊相等或各角相等的多邊形是正多邊形D．各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形【典例1-2】若一個多邊形的對角線共有14條，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．6 B．7 C．10 D．14針對訓(xùn)練1【變式1-1】下列平面圖形中，屬于八邊形的是（）A． B． C． D．【變式1-2】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使如圖所示的五邊形木架不變形，至少要釘上（）根木條．A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-3】若一個正多邊形每一個外角都相等，且一個內(nèi)角的度數(shù)是140°，則這個多邊形是（）A．正七邊形 B．正八邊形 C．正九邊形 D．正十邊形【能力提升1】多邊形【提升1-2】（1）如圖，要使四邊形木架（由四根木條釘成）不變形，可以再釘上幾根木條．請在圖①中畫出你想到的方法（至少畫兩種），至少要釘幾根木條？（2）五邊形呢？請在圖②中畫出你想到的方法（至少畫兩種），至少要釘幾根木條？（3））由以上探究猜想，要使n邊形的木架不變形，至少要釘上幾根木條？【聚焦考點(diǎn)2】n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°【典例剖析2】多邊形的內(nèi)角和【典例2-1】（1）正八邊形的每個內(nèi)角是每個外角的m倍，求m的值；（2）一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．【典例2-2】在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過程如下：【問題再現(xiàn)】：（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，∠A＝40°，則∠BPC＝110°；【問題解決】：（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2＝100°，求∠BPC的度數(shù)；【問題推廣】：（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB＝82°，直接寫出∠PBH＝°；【拓展提升】：（4）在四邊形BCDE中，EB∥CD，點(diǎn)F在射線DE上運(yùn)動（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點(diǎn)Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接寫出∠Q和α，β之間的數(shù)量關(guān)系．【典例2-3】將三角形紙片ABC沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在A′處．【感知】如果點(diǎn)A′落在邊AB上，這時圖①中的∠1變?yōu)?°，那么∠A′與∠2之間的關(guān)系是；【探究】如果點(diǎn)A′落在四邊形BCDE的內(nèi)部（如圖①），那么∠A′與∠1、∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【拓展】如果點(diǎn)A′落在四邊形BCDE的外部（如圖②），那么請直接寫出∠A′與∠1、∠2之間存在數(shù)量關(guān)系．針對訓(xùn)練2【變式2-1】如圖，已知四邊形紙片ABCD的邊AB∥CD，E是邊CD上任意一點(diǎn)，沿BE折疊△BCE，點(diǎn)C落在點(diǎn)F的位置．（1）如圖①，點(diǎn)F落在四邊形ABED的內(nèi)部，探索∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，點(diǎn)F落在邊CD的上方，設(shè)BF與CD交于點(diǎn)N，直接寫出∠FED，∠ABF，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，不需要說明理由．【變式2-2】閱讀小明和小紅的對話，解決下列問題．?（1）這個“多加的銳角”是30?度．（2）小明求的是幾邊形內(nèi)角和？（3）若這是個正多邊形，則這個正多邊形的一個內(nèi)角是多少度？【變式2-3】如圖1，四邊形ABCD中，∠PAD，∠QCD是四邊形ABCD的外角．（1）若∠B＝40°，∠ADC＝120°，則∠PAD+∠QCD＝160°；（2）如圖2，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，AE與CF相交于點(diǎn)M，若∠ADC＝∠B+90°，求∠AMC的度數(shù)；（3）如圖3，AE平分外角∠PAD，CF平分外角∠QCD，若∠ADC＝∠B，判斷AE與CF的位置關(guān)系，并說明理由．【能力提升2】多邊形的內(nèi)角和【提升2-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線分別與CD、AB相交于點(diǎn)E、F．（1）若∠A＝∠C＝90°，試說明DF∥BE．（2）若DF∥BE，則結(jié)論“∠A＝∠C＝90°”一定成立嗎？說明你的理由．【提升2-2】已知，如圖，AD與BC交于點(diǎn)O．（1）如圖1，判斷∠A+∠B與∠C+∠D的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠B＝∠C+∠D，并證明你的結(jié)論．（2）如圖2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度數(shù)為540°．（3）如圖3，若CF平分∠BCD，DE平分∠ADC，CF與DE交于點(diǎn)M，∠E+∠F＝50°，請直接寫出∠A+∠B＝100°．【提升2-3】直線在同一平面內(nèi)有平行和相交兩種位置關(guān)系，線段首尾連接可以變換出很多不同的圖形，這些不同的角又有很多不同關(guān)系，今天我們就來探究一下這些奇妙的圖形吧!【問題探究】（1）①如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD內(nèi)部，∠B＝55°，∠D＝30°，則∠BPD＝85°；②如圖2，若AB∥CD，將點(diǎn)P在AB，CD外部，則∠BPD，∠B，∠D之間數(shù)量關(guān)系：∠BFD+∠D＝∠B（不需證明）；③如圖3，寫出∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD（不需證明）．【變式拓展】（2）如圖4，五角星ABCDE，請直接寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．（3）如圖5，將五角星ABCDE去掉一個角后，∠B+∠C+∠D+∠E+∠P+∠Q是多少？請證明你的結(jié)論．【聚焦考點(diǎn)3】n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°（與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)）?！镜淅饰?】多邊形的外角和【典例3-1】一個多邊形的外角和與它的內(nèi)角和的比是2：9，求這個多邊形的邊數(shù)．【典例3-2】如圖，淇淇從點(diǎn)A出發(fā)，前進(jìn)10米后向右轉(zhuǎn)20°，再前進(jìn)10米后又向右轉(zhuǎn)20°，這樣一直下去，直到他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A為止，他所走的路徑構(gòu)成了一個多邊形．（1）求淇淇一共走了多少米？（2）求這個多邊形的內(nèi)角和．針對訓(xùn)練3【變式3-1】閱讀佳佳與明明的對話，解決下列問題：（1）“多邊形內(nèi)角和為2020°”，為什么不可能？（2）明明求的是幾邊形的內(nèi)角和？（3）多加的那個外角為多少度？【變式3-2】（1）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個多邊形是幾邊形？（2）小明求得一個多邊形的內(nèi)角和為1180°，小強(qiáng)很快發(fā)現(xiàn)小明所得的度數(shù)有誤，后來小明復(fù)查時發(fā)現(xiàn)他重復(fù)加了一個內(nèi)角，你能求出這個多邊形的邊數(shù)以及他重復(fù)加的那個角的度數(shù)是多少嗎？【能力提升3】多邊形的外角和【提升3-1】利用圖形這一直觀性語言，在一定程度上可以降低我們認(rèn)識和理解抽象邏輯推理的難度；利用圖形建構(gòu)幾何直觀，可以輕松實(shí)現(xiàn)空間形式和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．讓我們在如下的問題解決中體驗(yàn)一下吧!【模塊探究】如圖1，求證：∠BOC＝∠A+∠B+∠C【直觀應(yīng)用】（1）應(yīng)用上述結(jié)論，若圖2中，∠EOF＝α，則∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的度數(shù)之和等于2α（直接給出結(jié)論，不必說明理由）（2）應(yīng)用上述結(jié)論，求圖3所示的五角星中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度數(shù)之和是多少？證明你的結(jié)論；【類比聯(lián)系】如圖4，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F、∠G的度數(shù)之和是多少？證明你的結(jié)論．【提升3-2】（1）問題發(fā)現(xiàn)：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”聯(lián)想到四邊形的外角．如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2＝∠A+∠D；（2）知識應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝220°，求∠E的度數(shù)；（3）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且，，求∠P的度數(shù)．【提升3-3】如圖，AB⊥CD，垂足為O，點(diǎn)P、Q分別在射線OC、OA上運(yùn)動（點(diǎn)P、Q都不與點(diǎn)O重合），QE是∠AQP的平