專題七角的平分線的性質【專題導航】目錄【考點一角的平分線的性質】......................................1【考點二尺規(guī)作圖】.............................................14【考點三角平分線性質的綜合應用】................................20【聚焦考點1】1.角平分線的作法a.以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點N、M；b.分別以點M、N為圓心，大于12c.畫射線OP,OP即為所求角平分線。角平分線的性質角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線的判定角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。【典例剖析1】【典例1-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD是鈍角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若BC＝3，，△BCD的面積．（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結論；（2）求對角線AC的長．【典例1-2】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，△ABC的面積是84cm2，AB＝15cm，AC＝13cm，求DE的長．【典例1-3】如圖，在△ABC中，點D在邊BC的延長線上，∠ACB＝106°，∠ABC的平分線BE與外角∠CAF的平分線AD交于點E，過點E作EH⊥BD，垂足為H．（1）求∠AEB的度數(shù)．（2）若∠CEH＝∠AEB，AB+BD＝16，AC＝6，且S△ACE＝12，求△ABD的面積．針對訓練1【變式1-1】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E為BC的中點，且AE平分∠BAD．（1）求證：DE平分∠ADC；（2）求證：AB+CD＝AD．【變式1-2】如圖，點P在∠AOB的平分線上，PC⊥OA于點C，∠AOB＝30°，點D在邊OB上，且OD＝DP＝2．求線段CP的長．【變式1-3】如圖，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M為BC邊上的一點，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求證：（1）AM⊥DM；（2）M為BC的中點．【能力提升1】角平分線的性質【提升1-1】如圖①，在平面直角坐標系中，A（a，0），C（b，2），且滿足（a+2）2＝0，過C作CB⊥x軸于B．（1）求三角形ABC的面積；（2）如圖②，若過B作BD∥AC交y軸于D，且AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度數(shù)；（3）在x軸上是否存在點P，使得三角形ACP和三角形ABC的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【提升1-2】如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．（1）求證：OP平分∠AOB；（2）若MN＝8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長度之和．【提升1-3】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一動點，ME⊥BC，E為垂足，∠AME的平分線交直線AB于點F．（1）如圖1，點M為邊AC上一點，則BD、MF的位置關系是平行，并證明；（2）如圖2，點M為邊CA延長線上一點，則BD、MF的位置關系是垂直，并證明；（3）如圖3，點M為邊AC延長線上一點，補全圖形，并直接寫出BD、MF的位置關系是垂直．【聚焦考點2】尺規(guī)作圖1．尺規(guī)作圖的定義:在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．2．五種基本作圖1）作一條線段等于已知線段；2）作一個角等于已知角；3）作一個角的平分線；4）作一條線段的垂直平分線；5）過一點作已知直線的垂線．3．根據(jù)基本作圖作三角形1）已知三角形的三邊，求作三角形；2）已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；3）已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；4）已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形；5）已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形4.作圖題的一般步驟（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）證明；（6）討論．其中步驟（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡.二、尺規(guī)作圖的方法尺規(guī)作圖的關鍵1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題．【典例剖析2】【典例2-1】如圖，是尺規(guī)作圖中“畫一個角等于已知角”的示意圖，該作法運用了“全等三角形的對應角相等”這一性質，則判定圖中兩三角形全等的條件是A． B． C． D．【典例2-2】如圖，中，，，要求用圓規(guī)和直尺作圖，把它分成兩個三角形，其中一個三角形是等腰三角形．其作法錯誤的是A． B． C． D．針對訓練2【變式2-1】觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說明的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【變式2-2】如圖，在中，，利用尺規(guī)在，上分別截取，，使；分別以D，E為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點F；作射線交于點H．若，P為上一動點，則的最小值是（）A． B．2 C．1 D．無法確定【能力提升2】【提升2-1】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點D作DF⊥AC于點F，連接EF交AD于點G．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）中所作的圖形中，求證：AD⊥EF．【提升2-2】如圖，∠ACB=90°，AC=BC，AB為水平邊，D為AB邊上一點．（1）只用圓規(guī)在B的正上方作一點E，使BE=AD（說明作法，不需要證明）；（2）在（1）的條件下，連接DE，若AC=，AD=3，求DE的長度．【聚焦考點3】角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數(shù)學語言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．數(shù)學語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP三角形的內心三角形三條角平分線的交點?！镜淅饰?】【典例3-1】如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別取點M、N，連接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB．(1)求證：OP平分∠AOB；(2)若MN=8，且△PMN與△OMN的面積分別是16和24，求線段OM與ON的長度之和．【典例3-2】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°．(1)如圖1，當點A，C，D在同一條直線上時，求證：AE=BD，AE⊥BD；(2)如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時，（1）中結論是否仍然成立，為什么；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG的大小固定嗎？若是，求出∠AFG的度數(shù)；若不是，請說明理由．針對訓練3【變式3-1】如圖，△ABC中，點D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點E，過點E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面積．【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之間），DF⊥BC，已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，試求△DFC的周長．【能力提升3】【提升3-1】如圖所示，BD平分∠ABC，CD平分∠ECA，∠BDC＝40°．（1）求證：點D