內(nèi)蒙古通遼2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類一．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）1．（2023?通遼）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實(shí)數(shù)根x1x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝，x1x2＝．（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．二．分式方程的應(yīng)用（共1小題）2．（2023?通遼）某搬運(yùn)公司計劃購買A，B兩種型號的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺A型機(jī)器比每臺B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？（2）每臺A型機(jī)器售價1.5萬元，每臺B型機(jī)器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機(jī)器共30臺，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）3．（2023?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作PD⊥x軸，垂足為D，連接PC．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線PD交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)E′落在y軸上時，請直接寫出四邊形PECE'的周長．4．（2022?通遼）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為y＝x﹣3．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．5．（2021?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．四．四邊形綜合題（共1小題）6．（2022?通遼）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；（2）將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，求的值為多少；（3）AB＝8，AG＝AD，將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時，請直接寫出DG的長度．五．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）7．（2021?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動點(diǎn)，連接OP，過點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數(shù)．六．幾何變換綜合題（共1小題）8．（2021?通遼）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；（2）將△MON繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時，若OA＝4，OM＝3，請直接寫出線段AM的長．七．解直角三角形（共1小題）9．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長度及陰影部分面積．八．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）10．（2022?通遼）某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，≈1.7）．九．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）11．（2023?通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）?12．（2021?通遼）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測量其寬度，小明在南岸邊B處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達(dá)C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）一十．扇形統(tǒng)計圖（共1小題）13．（2023?通遼）黨的十八大以來，習(xí)近平總書記對推動全民閱讀、建設(shè)書香中國高度重視，多次作出重要指示．××中學(xué)在第28個“世界讀書日”到來之際，對全校2000名學(xué)生閱讀課外書的情況進(jìn)行了解，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，形成了如下調(diào)查報告（不完整）：調(diào)查方式抽樣調(diào)查調(diào)查對象xx中學(xué)部分學(xué)生平均每周閱讀課外書的時間大約是（只能單選，每項(xiàng)含最小值，不含最大值）A.8小時以上B.6﹣8小時C.4﹣6小時D.0﹣4小時請解答下列問題：（1）求參與本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)；（2）求圖2中扇形A所占百分比；（3）估計該校2000名學(xué)生中，平均每周閱讀課外書的時間在“6﹣8小時”人數(shù)；（4）在學(xué)生眾多閱讀書籍中，學(xué)校推薦閱讀書目為四大名著：《三國演義》《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》（分別記為甲、乙、丙、?。?，現(xiàn)從這4部名著中選擇2部為課外必讀書籍，請用列表法或畫樹狀圖法中任意一種方法，求《西游記》被選中的概率．一十一．列表法與樹狀圖法（共2小題）14．（2022?通遼）如圖，一個圓環(huán)被4條線段分成4個區(qū)域，現(xiàn)有2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一個，將這兩個吉祥物放在任意兩個區(qū)域內(nèi)：（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在區(qū)域①的概率；（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相鄰的兩個區(qū)域的概率．（用樹狀圖或列表法表示）15．（2021?通遼）如圖，甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤均被分成3個面積相等的扇形，每個扇形中都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤（當(dāng)指針指在邊界線上時視為無效，需重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，把甲、乙兩個轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)笖?shù)字分別記為x，y．請用樹狀圖或列表法求點(diǎn)（x，y）落在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)的概率．

內(nèi)蒙古通遼2021-2023三年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-03解答題（提升題）知識點(diǎn)分類參考答案與試題解析一．根與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）1．（2023?通遼）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實(shí)數(shù)根x1x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m+n＝1，mn＝﹣1．則m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；（3）提升：已知實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0且s≠t，求的值．【答案】（1）﹣，﹣；（2）；（3）±．【解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個根為x1，x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；故答案為：﹣，﹣；（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩根分別為m，n，∴m+n＝﹣，mn＝﹣，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；（3）∵實(shí)數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴s+t＝﹣，st＝﹣，∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，∴t﹣s＝±，∴＝＝＝±．二．分式方程的應(yīng)用（共1小題）2．（2023?通遼）某搬運(yùn)公司計劃購買A，B兩種型號的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺A型機(jī)器比每臺B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．（1）求每臺A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？（2）每臺A型機(jī)器售價1.5萬元，每臺B型機(jī)器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機(jī)器共30臺，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．【答案】（1）每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸；（2）購買A型機(jī)器人12臺，B型機(jī)器人18臺時，購買總金額最低是54萬元．【解答】解：（1）設(shè)每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，則每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當(dāng)x＝90時，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每臺A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物90噸，每臺B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸；（2）設(shè)購買A型機(jī)器人m臺，購買總金額為w萬元，由題意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝12時，w最小，此時w＝﹣0.5×12+60＝54，∴購買A型機(jī)器人12臺，B型機(jī)器人18臺時，購買總金額最低是54萬元．三．二次函數(shù)綜合題（共3小題）3．（2023?通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4）．（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；（2）P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作PD⊥x軸，垂足為D，連接PC．①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且tan∠CPD＝2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②直線PD交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線PC的對稱點(diǎn)E′落在y軸上時，請直接寫出四邊形PECE'的周長．【答案】（1）．（2）①P（﹣．②或．【解答】解：（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），∴，解得，∴拋物線的解析式為．答：拋物線的解析式為．（2）①設(shè)P（x，），如圖，過點(diǎn)C作CE⊥PD于E，∴∠PEC＝∠CED＝90°，∵C（0，﹣4），∴OC＝4，∵PD⊥x軸，∴∠PDO＝90°，∵∠DOC＝90°，∴四邊形DOCE是矩形，∴DE＝OC＝4，OD＝CE＝﹣x，∴＝，∵，∴，∴（舍去），∴＝，∴P（﹣．②設(shè)P（m，），對于，當(dāng)y＝0時，，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），∵OC＝4，∴，當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時，如圖，過點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，則四邊形DEFO是矩形，∴EF＝OD＝﹣m，∵點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于PC對稱，∴∠ECP＝∠E′CP，CE＝CE′，∵PE∥y軸，∴∠EPC＝∠PCE′，∴PE＝CE，∴PE＝CE′，∴四邊形PECE′是菱形，∵EF∥OA，∴△CEF∽△CBO，∴，∴，∴，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣4，∴，∴＝，∵，PE＝CE，∴，解得（舍去），∴，∴四邊形PECE′的周長C＝4CE＝4×＝，當(dāng)點(diǎn)P在第二象限時，如圖，同理可得，解得（舍去），∴，∴四邊形PECE′的周長C＝4CE＝4×＝，綜上，四邊形PECE′的周長為或．4．（2022?通遼）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BC方程為y＝x﹣3．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)Q是拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）（，）或（，）或（，）或（，）；（3）Q（，﹣）．【解答】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，則x＝3，∴B（3，0），將B、C兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+4x﹣3；（2）令y＝0，則﹣x2+4x﹣3＝0，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3，∵S△PBC＝S△ABC，∴S△PBC＝，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P（t，﹣t2+4t﹣3），則Q（t，t﹣3），∴PQ＝|﹣t2+3t|，∴＝×3×|﹣t2+3t|，解得t＝或t＝，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）或（，）或（，）；（3）過點(diǎn)B作BE⊥BC交CQ于點(diǎn)E，過E點(diǎn)作EF⊥x軸交于F，∵OB＝OC，∴∠OCB＝45°，∵∠ACQ＝45°，∴∠BCQ＝∠OCA，∵OA＝1，∴tan∠OCA＝，∴tan∠BCE＝＝，∵BC＝3，∴BE＝，∵∠OBC＝45°，∴∠EBF＝45°，∴EF＝BF＝1，∴E（4，﹣1），設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，聯(lián)立方程組，解得（舍）或，∴Q（，﹣）．5．（2021?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形周長最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的周長；（3）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）P（1，2），3+；（3）Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），∵△PBC的周長為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時，△PBC的周長最?。鐖D1，點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸l對稱，連接AC交l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．∵AP＝BP，∴△PBC周長的最小值是AC+BC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝3，BC＝．∴△PBC周長的最小值是：3+．拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+c，將A（3，0），C（0，3）代入，得：，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，∴P（1，2）；（3）存在．設(shè)P（1，t），Q（m，n）∵A（3，0），C（0，3），則AC2＝32+32＝18，AP2＝（1﹣3）2+t2＝t2+4，PC2＝12+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，∵四邊形ACPQ是菱形，∴分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線，①當(dāng)以AP為對角線時，則CP＝CA，如圖2，∴t2﹣6t+10＝18，解得：t＝3±，∴P1（1，3﹣），P2（1，3+），∵四邊形ACPQ是菱形，∴AP與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點(diǎn)重合，當(dāng)P1（1，3﹣）時，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝﹣，∴Q1（4，﹣），當(dāng)P2（1，3+）時，∴＝，＝，解得：m＝4，n＝，∴Q2（4，），②以AC為對角線時，則PC＝AP，如圖3，∴t2﹣6t+10＝t2+4，解得：t＝1，∴P3（1，1），∵四邊形APCQ是菱形，∴AC與PQ互相垂直平分，即AC與CQ中點(diǎn)重合，∴＝，＝，解得：m＝2，n＝2，∴Q3（2，2），③當(dāng)以CP為對角線時，則AP＝AC，如圖4，∴t2+4＝18，解得：t＝±，∴P4（1，），P5（1，﹣），∵四邊形ACQP是菱形，∴AQ與CP互相垂直平分，即AQ與CP的中點(diǎn)重合，∴＝，＝，解得：m＝﹣2，n＝3，∴Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣），綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1（4，﹣），Q2（4，），Q3（2，2），Q4（﹣2，3+），Q5（﹣2，3﹣）．四．四邊形綜合題（共1小題）6．（2022?通遼）已知點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，正方形AFEG與正方形ABCD有公共點(diǎn)A．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在AD上，F(xiàn)在AB上，求的值為多少；（2）將正方形AFEG繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，求的值為多少；（3）AB＝8，AG＝AD，將正方形AFEG繞A逆時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時，請直接寫出DG的長度．【答案】（1）＝2；（2）＝；（3）4﹣4或4+4．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°，∴，GE∥CD，∴，∴CE＝DG，∴＝＝2；（2）連接AE，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠CAE＝∠DAG＝α，在Rt△AEG和Rt△ACD中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴，∴△ADG∽△ACE，∴＝，∴＝；（3）①如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG＝CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，∵AG＝AD，∴AG＝AD＝8，∵四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，∵C，G，E三點(diǎn)共線．∴CG＝＝＝8，∴CE＝CG﹣EG＝8﹣8，∴DG＝CE＝4﹣4；②如圖：由（2）知△ADG∽△ACE，∴，∴DG＝CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝8，AC＝＝16，∵AG＝AD，∴AG＝AD＝8，∵四邊形AFEG是正方形，∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝8，∵C，G，E三點(diǎn)共線．∴∠AGC＝90°∴CG＝＝＝8，∴CE＝CG+EG＝8+8，∴DG＝CE＝4+4．綜上，當(dāng)C，G，E三點(diǎn)共線時，DG的長度為4﹣4或4+4．五．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）7．（2021?通遼）如圖，AB是⊙O的直徑，過點(diǎn)A作⊙O的切線AC，點(diǎn)P是射線AC上的動點(diǎn)，連接OP，過點(diǎn)B作BD∥OP，交⊙O于點(diǎn)D，連接PD．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）當(dāng)四邊形POBD是平行四邊形時，求∠APO的度數(shù)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）45°．【解答】（1）證明：連接OD，∵PA切⊙O于A，∴PA⊥AB，即∠PAO＝90°，∵OP∥BD，∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，∵OD＝OB，∴∠BDO＝∠DBO，∴∠DOP＝∠AOP，在△AOP和△DOP中，∴△AOP≌△DOP（SAS），∴∠PDO＝∠PAO，∵∠PAO＝90°，∴∠PDO＝90°，即OD⊥PD，∵OD過O，∴PD是⊙O的切線；（2）解：由（1）知：△AOP≌△DOP，∴PA＝PD，∵四邊形POBD是平行四邊形，∴PD＝OB，∵OB＝OA，∴PA＝OA，∴∠APO＝∠AOP，∵∠PAO＝90°，∴∠APO＝∠AOP＝45°．六．幾何變換綜合題（共1小題）8．（2021?通遼）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形（OA＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM＝BN；（2）將△MON繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在AB邊上時，求證：AM2+BM2＝2OM2；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時，若OA＝4，OM＝3，請直接寫出線段AM的長．【答案】（1）見證明過程；（2①）見證明過程；②或．【解答】（1）證明：如圖1，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB+∠AON＝∠MON+∠AON，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM＝BN；（2）①證明：如圖2，連接BN，∵∠AOB＝∠MON＝90°，∴∠AOB﹣∠BOM＝∠MON﹣∠BOM，即∠AOM＝∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA＝OB，OM＝ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO＝∠NBO＝45°，AM＝BN，∴∠MBN＝90°，∴MB2+BN2＝MN2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2＝2ON2，∴AM2+BM2＝2OM2；②解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在線段AM上時，連接BN，設(shè)BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x﹣3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，如圖4，當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時，連接BN，設(shè)BN＝x，由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM＝BN且AM⊥BN，在Rt△ABN中，AN2+BN2＝AB2，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA＝4，OM＝3，∴MN＝3，AB＝4，∴（x+3）2+x2＝（4）2，解得：x＝，∴AM＝BN＝，綜上所述，線段AM的長為或．七．解直角三角形（共1小題）9．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊OA上且CD＝AC，延長CD交OB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC長度及陰影部分面積．【答案】（1）詳見解答；（2）AC＝3，陰影部分的面積為．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，∵∠AOB＝90°，∴∠A+∠ABO＝90°，又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，即OD⊥EC，∵OD是半徑，∴EC是⊙O的切線；（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，設(shè)OD＝4x，則OC＝5x，∴CD＝＝3x＝AC，在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，OB2+OA2＝AB2，即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，解得x＝1或x＝﹣1（舍去），∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，∴△COD∽△CEO，∴＝，即＝，∴EC＝，∴S陰影部分＝S△COE﹣S扇形＝××4﹣＝﹣4π＝，答：AC＝3，陰影部分的面積為．八．解直角三角形的應(yīng)用（共1小題）10．（2022?通遼）某型號飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AB的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，≈1.7）．【答案】10.2m．【解答】解：如圖，過點(diǎn)C、D分別作BE的平行線交BA的延長線于點(diǎn)M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的長約為10.2m．九．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）11．（2023?通遼）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）?【答案】B處距離燈塔P約有148海里．【解答】解：如圖：由題意得：PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APC中，AP＝100海里，∴PC＝AP?sin72°≈100×0.95＝95（海里），在Rt△BCP中，BP＝≈≈148（海里），∴B處距離燈塔P約有148海里．12．（2021?通遼）如圖，一段河流自西向東，河岸筆直，且兩岸平行．為測量其寬度，小明在南岸邊B處測得對岸邊A處一棵大樹位于北偏東60°方向，他以1.5m/s的速度沿著河岸向東步行40s后到達(dá)C處，此時測得大樹位于北偏東45°方向，試計算此段河面的寬度（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【答案】此段河面的寬度約82m．【解答】解：如圖，作AD⊥BC于D．由題意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的寬度約82m．一十．扇形統(tǒng)計圖（共1小題）13