平行線分線段成比例定理6/26/2025復(fù)習(xí)1、平行線等分線段成比例定理三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.6/26/2025l2l3l1l3ll

2、推論平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.ABCDEl2ABCDEl1ll

6/26/2025例1如圖,△ABC中,DE//BC,DF//AC,AE=4,EC=2,BC=8.求BF和CF的長.FACB分析:運用平行線分線段成比例定理的推論分別列出比例式求解.解∵DE//BC∵DF//ACDE6/26/2025例2如圖,△ABC中,DE//BC,EF//CD.

求證:AD是AB和AF的比例中項.FEBACD分析:分別在△ABC及△ADC中運用平行線分線段成比例定理的推論證明∴AD2=AB

AF,即AD是AB和AF的比例中項6/26/2025如圖，有一塊形狀為直角梯形的草地，周邊均為水泥直道，兩個拐角A、B處均為直角，草地中間另有一條水泥直道EF垂直于AB，垂足為E.已知AE長a米，EB長b米，DF長c米.求CF.ABCDabc?EF6/26/2025例3、用平行于三角形一邊且和其它兩邊相交的直線截三角形,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.FEBACD已知:如圖,DE//BC,DE分別交AB、AC于點D、EDE//BCEF//ABDE=BF6/26/2025練習(xí):三角形內(nèi)角平分線分對邊成兩線段,這兩線段和相鄰的兩邊成比例.ECBDA3421已知：AD是△ABC中∠A的平分線，求證：證明：作CE//DA交BA的延長線于E.由平行線分線段成比例定理知∵CE//DA，∴∠１＝∠４，∠２＝∠３．又∵∠１＝∠２（已知），∴∠３＝∠４，∴AC=AE.F6/26/2025如圖,直線l1,l2被三個平行平面,,所截,直線l1與它們的交點分別為A,B,C,直線l2分別為D,E,F探究6/26/2025一、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.（核心要能純熟地找出對應(yīng)線段）小結(jié)二、要熟悉該定理的幾個基本圖形ABCDEFABCDEF6/26/2025三、注意該定理在三角形中的應(yīng)用6/26/2025作業(yè)1、已知AB、CD為梯形ABCD的底，對角線AC、BD的交點為O，且AB=8，CD=6,BD=15，求OB、OD的長。2、如圖，在△ABC中，作平行于BC的直線交AB于D，交AC于E，如果BE和CD相交于O，AO和DE相交于F，AO的延長線和BC交于G。證明：（1）（2）BG=GC6/26/20254、如圖，梯形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，EF∥AD，假設(shè)EF作上下平行移動，3、如圖，A、B兩點間隔一個湖泊，因而A、B兩點間的距離無法直接測量，請你設(shè)計一個間接測量AB長度的方案，并說明所設(shè)計方案的合理性。6/26/20251.3相似三角形的鑒定及性質(zhì)第一講相似三角形的鑒定及有關(guān)性質(zhì)相似三角形的定義對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似的系數(shù)).復(fù)習(xí)回想BACA

C

B

6/26/2025鑒定兩個三角形相似的簡樸辦法(1)兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似;(2)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似;(3)三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似.BACA

C

B

如何

證明？6/26/2025EBACD∠A=∠A△ADE∽△ABCDE//BC∠ADE=∠B∠AED=∠C在△ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點，且DE∥BC，則在△ABC中有：6/26/2025∠EAD=∠CAB∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACBEF//DBED//BCFBDE為

ED=FBAECBDF作EF//DB交CB延長線于F△ADE∽△ABC6/26/2025預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.AECBDEBACD6/26/2025鑒定定理1對于任意兩個三角形,如果一種三角形的兩個角與另一種三角形的兩個角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似.簡述:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似6/26/2025CBA已知,如圖,在△ABC和△A

B

C

中,∠A=∠A,

∠B=∠B,求證:△ABC∽△A

B

C

A

B

C

DE6/26/2025證明:在△ABC的邊AB(或AB的延長線)上,截取AD=A’B’,過點D作DE//BC,交AC于點E.由預(yù)備定理得:△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B,∠B=∠B

∴∠ADE=∠B∵∠A=∠A,AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△A

B

C∽△ABCA

B

C

CBADE6/26/2025例1如圖,在△ABC,AB=AC,D是AC邊上一點,BD=BC.求證:BC2=AC

CD分析:碰到線段的比例問題能夠考慮三角形的相似證明:∵△ABC是等腰三角形∴∠A=180-2∠C∵△BCD是等腰三角形∴∠DBC=180-2∠C∴∠DBC=∠A又∵∠C為公共角∴△ABC∽△BDC即BC2=AC

CDBCDA6/26/2025如圖,圓內(nèi)接△ABC角平分線CD延長后交圓于一點E.分析:碰到線段的比例問題能夠考慮三角形的相似根據(jù)線段所在三角形考慮證△EBD∽△ECB練一練DEABC證明：由已知條件，可得∠ACE=∠BCE?！摺螦CE與∠ABE是同弧上的圓周角，∴∠ACE=∠ABE∴∠BCE=∠ABE。又∵∠BED=∠CEB?！唷鱁BD∽△ECB∴6/26/2025鑒定定理2對于任意兩個三角形,如果一種三角形的兩邊和另一種三角形的兩邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似.簡述:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似6/26/2025A

B

C

CBADE已知:如圖,在△ABC和△A

B

C中,∠A=∠A,求證:△ABC∽△A

B

C

△ADE≌△A

B

C

?DE//BC△ABC∽△ADE6/26/2025CBADE已知:如圖△ABC中,點D、E分別在AB、AC上，且求證：DE//BCE

證明:作DE//BC,交AC于E∴AE=AE

因此E與點E重疊即DE與DE重疊,因此DE//BC采用了“同一法”的間接證明引理

如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.6/26/2025當(dāng)一種命題的條件和結(jié)論所指的概念唯一存在時，若直接證明有困難，就不妨改為去證它的逆否命題，然后根據(jù)唯一性的原理斷言命題為真，這種解題辦法叫做同一法用同一法解題普通有三個環(huán)節(jié)①先作出一種符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；②根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重疊的；

③從而闡明已知圖形符合結(jié)論．6/26/2025例如圖,在△ABC內(nèi)任取一點D,連接AD和BD.點E在△ABC外,∠EBC=∠ABD,∠ECB=∠DAB.

求證:△DBE∽△ABC.BACDE分析:好容易得出∠ABC=∠DBE只需要再證明即證只要證明△ABD∽△CBE6/26/2025鑒定定理3對于任意兩個三角形,如果一種三角形的三條邊和另一種三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似.簡述:三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似6/26/2025A

B

C

CBA已知:如圖,在△ABC和△A

B

C中求證:△ABC∽△A’B’C’證明:

在△ABC的邊AB(或延長線)上截取AD=A

B,過點D作DE//BC,交AC于點E.DE△ADE∽△ABC∵AD=A

B

∴△ADE≌△A

B

C

∴△ABC∽△A

B

C

6/26/2025例如圖,已知D、E、F分別是△ABC三邊、BC、CA、AB的中點.求證：△DEF∽△ABCFDEBAC證明:∵線段EF、FD、DE都是△ABC的中位線∴△DEF∽△ABC6/26/2025直角三角形相似的鑒定定理如果一種直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一種三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似.(1)如果兩個直角三角形有一種銳角對應(yīng)相等,那么它們相似;(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例,那么它們相似.6/26/2025例如圖，已知AD、BE分別是△