§5.3平面向量的平行與垂直及平面向量的應用考綱解讀考點內容解讀要求五年高考統(tǒng)計?？碱}型預測熱度201320142015201620171.平面向量的平行與垂直1.平面向量平行與垂直的判斷2.平面向量平行與垂直關系的應用B填空題解答題★★☆2.平面向量的綜合應用1.與解三角形相結合2.與函數、不等式相結合B填空題解答題★★☆分析解讀平面向量的平行與垂直是平面向量中的重要內容,一般與三角函數、解三角形等知識交匯考查.五年高考考點一平面向量的平行與垂直1.(2017課標全國Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=.

答案72.(2016課標全國Ⅱ,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,2),且a∥b,則m=.

答案63.(2016山東,13,5分)已知向量a=(1,1),b=(6,4).若a⊥(ta+b),則實數t的值為.

答案54.(2016課標全國Ⅰ,13,5分)設向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,則x=.

答案25.(2014湖北,11,5分)設向量a=(3,3),b=(1,1).若(a+λb)⊥(aλb),則實數λ=.

答案±3考點二平面向量的綜合應用1.(2017浙江,15,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|ab|的最小值是,最大值是.

答案4;252.(2015福建改編,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若點P是△ABC所在平面內的一點,且AP=AB|AB|+4AC|AC|答案133.(2013福建理改編,7,5分)在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(4,2),則該四邊形的面積為.

答案54.(2014陜西,18,12分)在直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),點P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.(1)若PA+PB+PC=0,求|OP|;(2)設OP=mAB+nAC(m,n∈R),用x,y表示mn,并求mn的最大值.解析(1)解法一:∵PA+PB+PC=0,且PA+PB+PC=(1x,1y)+(2x,3y)+(3x,2y)=(63x,63y),∴6-3即OP=(2,2),故|OP|=22.解法二:∵PA+PB+PC=0,即(OAOP)+(OBOP)+(OCOP)=0,∴OP=13(OA+OB+OC∴|OP|=22.(2)∵OP=mAB+nAC,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴x兩式相減得,mn=yx,令yx=t,由圖知,當直線y=x+t過點B(2,3)時,t取得最大值1,故mn的最大值為1.三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎題組考點一平面向量的平行與垂直1.(2017江蘇南京學情檢測,6)設向量a=(1,4),b=(1,x),c=a+3b.若a∥c,則實數x的值是.

答案42.(2017江蘇徐州沛縣中學質檢,11)已知向量a=(x1,2),b=(4,y),若a⊥b,則16x+4y的最小值為.

答案83.(2017江蘇無錫期末,7)已知向量a=(2,1),b=(1,1),若ab與ma+b垂直,則m的值為.

答案14.(2018江蘇淮安、宿遷高三(上)期中)設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a,3b),n=(sinB,cosA),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)若|n|=64,求cosC的值解析(1)∵m⊥n,∴m·n=asinB3bcosA=0,∴sinAsinB3sinBcosA=0,又sinB≠0,∴tanA=3,∵A∈(0,π),∴A=π3(2)∵|n|=sin2B∴sin2B+122=解得sin2B=18∵B∈(0,π),∴sinB=24當B為銳角時,cosB=1-sincosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB=12×144+32×2當B為鈍角時,cosB=144cosC=cos(A+B)=cosAcosB+sinAsinB=12×-144+32×2綜上,cosC的值為6-1485.(2018江蘇無錫高三期中)已知a=(3,1),b=(1,2),c=(1,1).(1)求a與b的夾角的大小;(2)若c∥(a+kb),求k的值.解析(1)設a與b的夾角為α,因為cosα=a·b|a|·|b|=-即a與b的夾角為3π(2)a+kb=(3+k,12k).因為c∥(a+kb),所以12k+3k=0,解得k=43考點二平面向量的綜合應用6.(蘇教必4,二,5,變式)在△ABC中,有如下命題,其中正確的是.

①ABAC=BC;②AB+BC+CA=0;③若(AB+AC)·(ABAC)=0,則△ABC為等腰三角形;④若AB·BC>0,則△ABC為銳角三角形.答案②③7.(蘇教必4,二,5,變式)如圖,△ABC是邊長為23的等邊三角形,P是以C為圓心,1為半徑的圓上的任意一點,則(AP·BP)min=.

答案18.(蘇教必4,二,5,變式)如圖所示,點O為△ABC的外心,以OA、OB為鄰邊作平行四邊形,第四個頂點為D,再以OC、OD為鄰邊作平行四邊形,它的第四個頂點為H.(1)若OA=a,OB=b,OC=c,OH=h,用a、b、c表示h;(2)證明AH⊥CB;(3)若△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,外接圓的半徑為R,用R表示|h|.解析(1)由向量加法的平行四邊形法則可得OD=OA+OB=a+b,OH=OC+OD=c+a+b,∴h=a+b+c.(2)證明:∵點O是△ABC的外心,∴|OA|=|OB|=|OC|,即|a|=|b|=|c|.而AH=OHOA=ha=b+c,CB=OBOC=bc,∴AH·CB=(b+c)·(bc)=|b|2|c|2=0.∴AH⊥CB.(3)在△ABC中,O是外心,∠BAC=60°,∠ABC=45°,∴∠BOC=120°,∠AOC=90°.于是∠AOB=150°.|h|2=h·h=(a+b+c)·(a+b+c)=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c=3R2+2|a||b|cos150°+2|a||c|cos90°+2|b||c|cos120°=3R23R2R2=(23)R2.∴|h|=6-29.(2017江蘇鎮(zhèn)江一模,15)已知向量m=(cosα,1),n=(2,sinα),其中α∈0,π2,且m(1)求cos2α的值;(2)若sin(αβ)=1010,且β∈0,π2,解析(1)由m⊥n得,2cosαsinα=0,sinα=2cosα,代入cos2α+sin2α=1,得5cos2α=1,因為α∈0,所以cosα=55則cos2α=2cos2α1=2×5521=(2)由(1)可得sinα=255,由α∈0,π2,β∈0,π因為sin(αβ)=1010,所以cos(αβ)=3所以sinβ=sin[α(αβ)]=sinαcos(αβ)cosαsin(αβ)=255×3101055因為β∈0,π2,所以B組2016—2018年模擬·提升題組(滿分:20分時間:10分鐘)一、填空題(每小題5分,共5分)1.(2017江蘇南京、鹽城二模,11)在△ABC中,∠BAC=120°,AB=4.若點D在邊BC上,且BD=2DC,AD=273,則AC的長為答案3二、解答題(共15分)2.(2018江蘇臺東安豐高級中學月考)平面直角坐標系xOy中,已知向量AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(2,3),且AD∥BC.(1)若M(1,1),N(y+1,2),y∈[0,2],求MN·BC的范圍;(2)若AC⊥BD,求四邊形ABCD的面積.解析(1)AD=AB+BC+CD=(x+4,y2),BC=(x,y),因為AD∥BC,所以(x+4)y(y2)x=0.即x+2y=0.MN·BC=(x+1)y=(2y+1)y=2y2+y=2y-142+所以MN·BC的取值范圍是-6(2)AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x2,y3),因為AC⊥BD,所以(x+6)(x2)+(y+1)(y3)=0,即x2+y2+4x2y15=0,由x解得x=2,當x=2,y=-1時S四邊形ABCD=12當x=-6,y=3時S四邊形ABCD=12綜上,四邊形ABCD的面積為16.C組2016—2018年模擬·方法題組方法平面向量與三角函數綜合問題的解決方法(2017江蘇南京模擬,16)已知向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),α∈0,(1)若ab=25,0,求(2)若t=1,且a·b=1,求tan2α+解析(1)因為向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),且ab=25,0,所以cosαsinα=15由cosαsinα=15得(cosαsinα)2=1即12sinαcosα=125,從而2sinαcosα=24