限時(shí)練習(xí)：90min完成時(shí)間：月日天氣：作業(yè)08二項(xiàng)分布、超幾何分布及正態(tài)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計(jì)算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．兩點(diǎn)分布X01P1－pp這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱p＝P(X＝1)為成功概率．超幾何分布列一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(m,M)C\o\al(n－m,N－M),C\o\al(n,N))正態(tài)分布正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為1；(5)當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；(6)當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974.一、單選題1．已知隨機(jī)變量，且，則（

）A．0.04 B．0.48 C．0.5 D．0.96【答案】D【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【詳解】由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，所以．故選：D2．已知隨機(jī)變量分別服從二項(xiàng)分布，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)分布的期望、方差公式計(jì)算比較即可.【詳解】依題意，，，而，因此，AB錯(cuò)誤，C正確；又，D錯(cuò)誤.故選：C3．已知隨機(jī)變量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二項(xiàng)分布的性質(zhì)，算出，從而可解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以．故選：C4．已知隨機(jī)變量，若，，則（

）A．15 B． C． D．【答案】A【分析】由隨機(jī)變量的期望和方差公式解方程組計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以，所以．故選：A．5．已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率約為，和.若某校高一年級(jí)名學(xué)生的某次考試成績(jī)服從正態(tài)分布，則此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（

）A．780人 B．763人 C．655人 D．546人【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求出，即可估計(jì)人數(shù).【詳解】依題意，所以，，則，，所以，所以此次考試成績(jī)?cè)趨^(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（人）.故選：C二、多選題6．已知隨機(jī)變量，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由二項(xiàng)分布的期望公式可得A正確；方差公式可得B錯(cuò)誤；由二項(xiàng)分布的概率公式可求C錯(cuò)誤；由期望公式可得D正確.【詳解】A：因?yàn)殡S機(jī)變量，且，所以，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，故D正確；故選：AD.7．袋子中有2個(gè)黑球，1個(gè)白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次，每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，記4次取球的總分?jǐn)?shù)為，則（

）A． B．C．的期望 D．的方差【答案】ABCD【分析】求出一次摸到黑球的概率，根據(jù)題意可得隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，再根據(jù)二項(xiàng)分布列及期望公式、方差公式求解即可.【詳解】從袋子中有放回的取球4次，則每次取球互不影響，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一個(gè)球，取到白球記0分，黑球記1分，故4次取球的總分?jǐn)?shù)相當(dāng)于抽到黑球的總個(gè)數(shù)，又每次摸到黑球的概率為，因?yàn)槭怯蟹呕氐厝?次球，所以，故A正確；，故B正確；根據(jù)二項(xiàng)分布期望公式得，故C正確；根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式得，故D正確.故選：ABCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～，，且有，.8．某企業(yè)使用新技術(shù)對(duì)某款芯片制造工藝進(jìn)行改進(jìn).部分芯片由智能檢測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行篩選，其中部分次品芯片會(huì)被淘汰，篩選后的芯片及未經(jīng)篩選的芯片進(jìn)入流水線由工人進(jìn)行抽樣檢驗(yàn).記表示事件“某芯片通過智能檢測(cè)系統(tǒng)篩選”，表示事件“某芯片經(jīng)人工抽檢后合格”.改進(jìn)生產(chǎn)工藝后，該款芯片的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取個(gè)，這個(gè)芯片中恰有個(gè)的質(zhì)量指標(biāo)位于區(qū)間，則下列說法正確的是（

）（若，）A．B．C．D．取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53【答案】ACD【分析】直接利用題意判斷A；利用條件概率、全概率公式等進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷B；利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷C；設(shè)，由函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意，故A正確；對(duì)于B，由，則，又，于是，即，因此，即，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時(shí)，的估計(jì)值為53，故D正確.故選：ACD.三、填空題9．一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)抽取一件，并有放回地抽取次，用表示抽到二等品的件數(shù)，則.【答案】【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，，所以.故答案為：0.8410．已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為.參考數(shù)據(jù)：若，則【答案】0.84/【分析】根據(jù)題意確定，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性結(jié)合已知區(qū)間的概率，即可求得答案.【詳解】由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84.故答案為：0.84.四、解答題11．甲乙兩人進(jìn)行象棋比賽，約定誰(shuí)先贏3局誰(shuí)就直接獲勝，并結(jié)束比賽.假設(shè)每局甲贏的概率為，和棋的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)記為3局比賽中甲贏的局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值(2)求乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；(3)求比賽6局結(jié)束，且甲贏得比賽的概率【答案】(1)分布列見解析，(2)(3)【分析】（1）依題意甲每局贏的概率為，甲不贏的概率為，則，利用二項(xiàng)分布的概率公式得到分布列，從而求出期望；（2）分乙前局全勝和前局只有一局不勝兩種情況討論，利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求解即可；（3）依題意局中前局甲只贏局且至少平一局，第六局甲贏，利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式求解即可．【詳解】（1）由題知甲每局贏的概率為，甲不贏的概率為，則，的可能取值為，，，，所以，，，，則的分布列為：0123所以（或）；（2）由題知乙每局贏的概率為，乙不贏的概率為，因?yàn)橐以?局以內(nèi)（含4局）贏得比賽，則分兩種情況：乙前3局全勝和前3局只有一局不勝，第四局乙勝，所以乙在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（3）由題知比賽局結(jié)束，且甲贏得比賽，應(yīng)要滿足：前局甲只贏局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲贏，又每局甲贏的概率為，和棋的概率為，乙贏的概率為，故所求概率為．12．為促進(jìn)物資流通，改善出行條件，駐某縣扶貧工作組引入資金新建了一條從該縣到市區(qū)的快速道路．該縣脫貧后，工作組為了解該快速道路的交通通行狀況，調(diào)查了行經(jīng)該道路的各種類別的機(jī)動(dòng)車共1000輛，對(duì)行車速度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)試根據(jù)頻率分布直方圖，求的值以及樣本中的這1000輛機(jī)動(dòng)車的平均車速（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(2)設(shè)該公路上機(jī)動(dòng)車的行車速度服從正態(tài)分布，其中分別取自該調(diào)查樣本中機(jī)動(dòng)車的平均車速和車速的方差（經(jīng)計(jì)算）．（i）請(qǐng)估計(jì)該公路上10000輛機(jī)動(dòng)車中車速不低于85千米/時(shí)的車輛數(shù)（精確到個(gè)位）；（ii）現(xiàn)從經(jīng)過該公路的機(jī)動(dòng)車中隨機(jī)抽取10輛，設(shè)車速低于85千米/時(shí)的車輛數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．附注：若，，，.【答案】(1)0.020，70.5千米時(shí)(2)（i）1587輛；（ii）8.4135【分析】（1）由頻率分布直方圖各矩形面積為1可列式求解，然后由平均數(shù)公式運(yùn)算即可；（2）（i）由題可得，則，從而可算得相應(yīng)速度區(qū)間的概率即可；（ii）由題算得，從而由二項(xiàng)分布均值公式即可求解.【詳解】（1）由，解得.千米時(shí)．（2）由（1）及題設(shè)知：，則，（i），輛機(jī)動(dòng)車中車速不低于85千米/時(shí)的車輛數(shù)輛．（ii）由（i）知：車速低于85千米/時(shí)的概率為，故，．1．有30件產(chǎn)品，其中有10件次品，從中不放回地抽取10件產(chǎn)品，最可能抽到的次品數(shù)是.【答案】【分析】由超幾何分布計(jì)算何時(shí)概率最大可得對(duì)應(yīng)的次品數(shù).【詳解】由題意，有30件產(chǎn)品，其中有10件次品，從中不放回地抽取10件產(chǎn)品，則抽出的次品數(shù)服從超幾何分布，設(shè)最可能抽到的次品數(shù)，則，整理得到：，故，故最可能抽到的次品數(shù)是.故答案為：.2．我們將服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論：若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量可以由正態(tài)隨機(jī)變量來近似地替代，且正態(tài)隨機(jī)變量的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量的期望和方差相同.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時(shí)這個(gè)結(jié)論是成立的，法國(guó)數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個(gè)結(jié)論對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，因此人們把這個(gè)結(jié)論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（

）（附：若，則，A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865【答案】B【分析】正態(tài)隨機(jī)變量的均值方差可由二項(xiàng)分布的均值方差公式來近似，根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)運(yùn)算即可得解.【詳解】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，設(shè)硬幣正面向上的次數(shù)為，則.由題意，且，因?yàn)椋?，所以利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為.故選：B.3．小明上學(xué)有時(shí)坐公交車，有時(shí)騎自行車，他各記錄了10次坐公交車和騎自行車所花的時(shí)間，10次坐公交車所花的時(shí)間分別為7，11，8，12，8，13，6，13，7，15（單位：min），10次騎自行車所花時(shí)間的均值為，方差為1.已知坐公交車所花時(shí)間與騎自行車所花時(shí)間都服從正態(tài)分布，用樣本均值和樣本方差估計(jì)X，Y分布中的參數(shù)，并利用信息技術(shù)工具畫出和的分布密度曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點(diǎn)之前到校，否則就遲到，則下列判斷正確的是（

）A．坐公交車所花時(shí)間的均值為10，標(biāo)準(zhǔn)差為3B．若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，則有以上的可能性會(huì)遲到C．若小明早上7：42出發(fā)，則應(yīng)選擇騎自行車D．若小明早上7：47出發(fā)，則應(yīng)選擇坐公交車【答案】ACD【分析】由均值與標(biāo)準(zhǔn)差公式求解即可判斷A選項(xiàng)；由圖象結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷B、C、D.【詳解】對(duì)于A，坐公交車所花時(shí)間的均值為，方差，標(biāo)準(zhǔn)差為3，故A正確；由題意知，，,對(duì)于B，若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，有以上的可能性會(huì)超過10min，即8點(diǎn)之后到校會(huì)遲到，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，由題中的圖可知，應(yīng)選擇在給定的時(shí)間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，所以小明早上7：42出發(fā)，有18min可用，則應(yīng)選擇騎自行車，故C正確；小明早上7：47出發(fā)，有13min可用，則應(yīng)選擇坐公交車，故D正確；故選：ACD.4．大小、質(zhì)量相同的6個(gè)球，其中有4個(gè)黑球，2個(gè)白球.(1)若從袋中任取3球，設(shè)3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，求的分布列和期望(2)若從袋中有放回的抽取2次，每次取1球，在至少取得一個(gè)白球的情況下，取得兩個(gè)白球的概率為？【答案】(1)分布列見詳解，(2)【分析】（1）由題意可知：的可能取值為1，2，3，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；（2）記“至少取得一個(gè)白球”為事件A，“取得兩個(gè)白球”為事件B，求，，結(jié)合條件概率公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可知：的可能取值為1，2，3，則有：，所以的分布列為123的期望為.（2）有放回的抽取1次，取到黑球的概率為，取到白球的概率為，記“至少取得一個(gè)白球”為事件A，“取得兩個(gè)白球”為事件B，則，，可得，所以在至少取得一個(gè)白球的情況下，取得兩個(gè)白球的概率為.5．某市為了傳承發(fā)展中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學(xué)生進(jìn)行了一次文化知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽，競(jìng)賽類勵(lì)規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學(xué)生獲三等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎(jiǎng)，得分在內(nèi)的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，其他學(xué)生不得獎(jiǎng)，為了解學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，并以此為樣本繪制了樣本頻率分布直方圖，如圖所示.

若該市所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：(1)若該市共有10000名學(xué)生參加了競(jìng)賽，試估計(jì)參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；(2)若從所有參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生數(shù)大于隨機(jī)取3名學(xué)生進(jìn)行訪談，設(shè)其中競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望.附參考數(shù)據(jù)，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】(1)1587；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）由樣本頻率分布直方圖得，求解樣本平均數(shù)的估計(jì)值，即可得正泰分布的均值，按照正態(tài)分布的性質(zhì)求解參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)；（2）由樣本估計(jì)總體可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布確定概率分布列與數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（1）解：由樣本頻率分布直方圖得，樣本平均數(shù)的估計(jì)值：，則所有參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布，因?yàn)?，所以，故參賽學(xué)生中成績(jī)超過79分的學(xué)生數(shù)為人.（2）解：由，得，即從所有參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生競(jìng)賽成績(jī)?cè)?4分以上的概率為，所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以期望為.1．某中學(xué)招聘教師分筆試和面試兩個(gè)環(huán)節(jié)，主考官要求應(yīng)聘者從筆試備選題和面試備選題中分別隨機(jī)抽取各10道題，并獨(dú)立完成所抽取的20道題，每道題答對(duì)得10分，答錯(cuò)扣1分.甲答對(duì)筆試每道題的概率為，答對(duì)面試每道題的概率為，且每道題答對(duì)與否互不影響.則甲得分的概率最大.【答案】112【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算即可.【詳解】設(shè)應(yīng)聘者答對(duì)筆試和面試備選題分別道的概率最大，易知，所以，即，易知時(shí)，最大，所以得分的概率最大.故答案為：1122．全國(guó)新高考數(shù)學(xué)推行8道單選，4道多選的政策.單選題每題5分，選錯(cuò)不得分，多選題每題完全選對(duì)5分，部分選對(duì)2分，不選得0分.現(xiàn)有小李和小周參與一場(chǎng)新高考數(shù)學(xué)題，小李的試卷正常，而小周的試卷選擇題是被打亂的，所以他12題均認(rèn)為是單選題來做.假設(shè)兩人選對(duì)一個(gè)單選題的概率都是，且已知這四個(gè)多選題都只有兩個(gè)正確答案.(1)記小周選擇題最終得分為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.(2)假設(shè)小李遇到四個(gè)多選題時(shí)，每個(gè)題他只能判斷有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，且小李也只會(huì)再選1個(gè)選項(xiàng)，假設(shè)他選對(duì)剩下1個(gè)選項(xiàng)的概率是，請(qǐng)你幫小李制定回答4個(gè)多選題的策略，使得分最高.【答案】(1)分布列見解析，(2)答案見解析【分析】（1）由題意得到小周做對(duì)單選題與多選題的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，然后設(shè)他單選題與多選題分別對(duì)了個(gè)，由此結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式、乘法公式以及期望公式即可得解；（2）若他不選其他選項(xiàng)肯定能得兩分，如果繼續(xù)選其它選項(xiàng)的話，那么這個(gè)題的得分期望是，故只需比較這兩個(gè)數(shù)的大小即可.【詳解】（1）由題意，對(duì)于單選題，小周每個(gè)單選題做對(duì)的概率為，對(duì)于多選題，小周每個(gè)多選題做對(duì)的概率為，設(shè)小周做對(duì)單選題的個(gè)數(shù)為，做對(duì)多選題的個(gè)數(shù)為，則，，所以，，而小周選擇題最終得分為，所以.設(shè)小周單選題與多選題分別對(duì)了個(gè)，則，所以的分布列為，（2）由題意他能判斷一個(gè)選項(xiàng)正確，先把這個(gè)正確選項(xiàng)選上，如果他不繼續(xù)選其他選項(xiàng)肯定能得兩分，如果他繼續(xù)選其它選項(xiàng)的話，設(shè)此時(shí)他的最終得分為，則的所有可能取值為0，5，則的分布列為：05那么這個(gè)題的得分期望是，所以我們只需要比較2和的大小關(guān)系即可，令，解得，此時(shí)四個(gè)多選題全部選兩個(gè)選項(xiàng)得分要高，反之，若，此時(shí)四個(gè)多選只選他確定的那個(gè)選項(xiàng)得分最高.3．已知上學(xué)期間，甲每天之前到校的概率為，(1)設(shè)為事件“在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在之前到校的天數(shù)恰為天”，求事件發(fā)生的概率；(2)已知乙每天之前到校的概率為，且甲、乙兩位同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立..①在上學(xué)期間隨機(jī)選擇兩天，記為甲之前到校的天數(shù)，記為乙之前到校的天數(shù)，，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②在上學(xué)期間隨機(jī)選擇天，若在這天中，甲之前到校的天數(shù)多于乙，則記，否則記，分別比較，的大小和，的大小，直接寫出結(jié)論.【答案】(1)；(2)①分布列見解析；；②，【分析】（1）先判斷在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在之前到校的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求解即可；（2）①先由題求出的所有取值，然后求出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，即可求解；②隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，由兩點(diǎn)分布的計(jì)算公式即可求得方差.【詳解】（1）依題意，在上學(xué)期間隨機(jī)選擇三天，甲在之前到校的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，故；（2）①由題意，，所以，，，，，，所以的分布列為：所以；②由題意知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí),，，所以.1．（2022·全國(guó)·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】/．【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：?．（2021·全國(guó)·高考真題）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】D【分析】由正態(tài)分布密度曲線的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.3．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對(duì)于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項(xiàng)B知，所以所求的概率為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.4．（天津·高考真題）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（Ⅰ）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；(Ⅱ)由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機(jī)變量的分布列為：0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.(