最短路徑問題（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，則下列圖形正確的是（）A． B．C． D．2．如圖，是正方形的一條對稱軸，點(diǎn)是直線的上的一個動點(diǎn)，當(dāng)最小時，（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作邊的垂線，是上任意一點(diǎn)，，．則的周長的最小值為（

）A． B． C． D．4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是10．AB的垂直平分線ED分別交AC，AB邊于E、D兩點(diǎn)，若點(diǎn)F為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段ED上一動點(diǎn)，則△PBF周長的最小值為（

）A．5 B．7 C．10 D．145．如圖，在等邊三角形中，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，點(diǎn)的位置在（

）A．點(diǎn)處 B．點(diǎn)處C．的中點(diǎn)處 D．三條高的交點(diǎn)處6．如圖所示，有三條道路圍成，其中，一個人從處出發(fā)沿著行走了，到達(dá)處，恰為的平分線，則此時這個人到的最短距離為（）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，，BD是的角平分線，點(diǎn)P，點(diǎn)N分別是BD，AC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)M在BC上，且，則的最小值為（

）A．3 B． C．3.5 D．8．如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時，∠PCD=_____．A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題9．如圖，Rt△ABC中，∠C＝，AC＝6，BC＝8，AB＝10，EF垂直平分AB，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△APC周長的最小值為_____．10．如圖，在△ABC中，AB＝BC，AC＝2cm，，邊BC的垂直平分線為l，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是l上的動點(diǎn)，則△PCD的周長的最小值是______．11．如圖，在邊長為6，面積為的等邊△ABC中，N為線段AB上的任意一點(diǎn)，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M是AD上的動點(diǎn)，連結(jié)BM、MN，則BM+MN的最小值是________．12．如圖，在等邊三角形ABC中，BC邊上的中線AD＝5，E是AD上的一個動點(diǎn)，F(xiàn)是邊AB上的一個動點(diǎn)，在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動的過程中，EB+EF的最小值是________．13．如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是邊OA和OB上的動點(diǎn)，且M、P、N不共線，若∠AOB＝30°，OP＝8cm，則△PMN周長的最小值是__________．14．如圖，在中，，，點(diǎn)，分別在，上運(yùn)動，連結(jié)、，則的最小值為________．15．如圖，在中，，，，垂直平分，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則周長的最小值是__________．16．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△APC周長的最小值為_____．17．如圖，等腰的底邊的長是，面積是，腰的垂直平分線交于點(diǎn)N，垂足為M，若D為邊上的一動點(diǎn)，P為上的一動點(diǎn)，求的最小值_________．18．如圖，在等邊中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)．如果，，那么的最小值是．19．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值是___．20．如圖，在△ABC中，AB=3cm，AC=5cm，AB⊥AC，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)則△ABP周長的最小值是_____．三、解答題21．在圖中直線n上作出點(diǎn)C，使的值最小．（不寫作法，保留作圖痕跡）22．平面上有四個點(diǎn)A、B、C、D，按照以下要求作圖（保留作圖痕跡）：(1)連接并延長至E，使；(2)作射線；(3)在直線上確定點(diǎn)G，使得最短．23．已知，M，N是x軸上兩動點(diǎn)（M在N左邊），，請?jiān)趚軸上畫出當(dāng)?shù)闹底钚r，M，N兩點(diǎn)的位置．24．（1）如圖①，點(diǎn)在直線兩側(cè)，請你在直線上畫出一點(diǎn)，使得的值最小，簡述畫法、畫出圖形；（2）如圖②，點(diǎn)在直線同側(cè)，請你在直線上畫出一點(diǎn)，使得的值最小，簡述畫法并畫出示意圖.25．如圖，在銳角中，，，平分，分別是和上的動點(diǎn)，求的最小值并說明理由.26．如圖，在長度為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)在圖中畫出與△ABC關(guān)于直線l成軸對稱的△A'B'C′；(2)直接寫出△A'B'C′的面積為；(3)在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最?。畢⒖即鸢?．B【分析】作A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B與l的交點(diǎn)為P，此時PA+PB最?。猓骸唿c(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，∴作A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'，連接A'B與l的交點(diǎn)為P，由對稱性可知AP＝A'P，此時PA+PB最小，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了對稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短，理解兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】這是一個很明顯將軍飲馬模型的最短路問題，根據(jù)模型先找D關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)對稱點(diǎn)與A重合，然后連接AC與對稱軸的交點(diǎn)P，滿足PC+PD的值最小，此時可以知道，∠PCD=45°解：∵是正方形的一條對稱軸，∴D關(guān)于直線MN對稱的點(diǎn)為A，連接AC交MN于P點(diǎn)，此時PM+PN的值最小，∵△ACD為等腰直角三角形，∴∠PCD=45°.【點(diǎn)撥】本題主要考查將軍飲馬模型的最短路問題，利用模型找到滿足PM+PN的值最小時，P的位置是本題的關(guān)鍵3．D【分析】連接BE，依據(jù)是AB的垂直平分線，可得AE=BE，進(jìn)而得到AE+CE=BE+CE，依據(jù)BE+CE≥BC，可知當(dāng)B，E，C在同一直線上時，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，故△AEC的周長最小值等于AC+BC．解：如圖，連接BE，∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，l⊥AB，∴l(xiāng)是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴AE+CE=BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴當(dāng)B，E，C在同一直線上時，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，∴△AEC的周長最小值等于AC+BC=5+8=13．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短距離問題，利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】如圖，連接AF，AP．利用三角形的面積公式求出AF，求出PB+PF的最小值即可解決問題．解：如圖，連接AF，AP．∵AC＝AB，CF＝BF＝BC＝2，∴AF⊥BC，∵S△ABC＝?BC?AF＝10，BC＝4，∴AF＝5，∵DE垂直平分線段AB，∴PA＝PB，∴△PBF的周長＝PB+PF+BF＝PA+PF+2，∵PA+PF≥AF，∴PA+PF的最小值為5，∴△PBF的周長的最小值為7．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱-最短問題，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用線段長垂直平分線的性質(zhì)解決問題．5．D【分析】連接BP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD是BC的垂直平分線，根據(jù)三角形的周長公式、兩點(diǎn)之間線段最短解答即可．解：連接BP，∵△ABC是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，∴AD是BC的垂直平分線，∴PB=PC，當(dāng)PC+PE的長最小時，即PB+PE最小則此時點(diǎn)B、P、E在同一直線上，又∵BE為中線，△ABC是等邊三角形∴點(diǎn)P為△ABC的三條中線的交點(diǎn)，也就是△ABC的三條高的交點(diǎn)．故選：D【點(diǎn)撥】本題考查的是等邊三角形的重心的概念和性質(zhì)，熟記等邊三角形的重心的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】據(jù)角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，知此人此時到AB的最短距離即D到AB的距離，而D到AB的距離等于CD，而CD=BC-BD即得答案．解：如下圖，過D作DE⊥AB于E，則此時此人到AB的最短距離即是DE的長．∵AD平分∠CAB，AC⊥BC∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線性質(zhì)定理和“垂線段最短”．其關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等得出CD等于D到AB的距離．7．A【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)，，在同一直線上，且時，的最小值等于垂線段的長，利用含角的直角三角形的性質(zhì)，即可得到的最小值．解：如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，，，當(dāng)，，在同一直線上，且時，的最小值等于垂線段的長，此時，△中，，，的最小值為3，故選擇A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短路線問題，30°直角三角形性質(zhì)，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．8．B【分析】根據(jù)當(dāng)PC+PD最小時，作出D點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)，連接AC即可得出∠PCD的度數(shù)．解：∵當(dāng)PC+PD最小時，作出D點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)，連接AC，AC為正方形對角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．故選B．【點(diǎn)撥】此題考查軸對稱求最短路線問題，根據(jù)已知得出D點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．14【分析】由圖形可得：△APC周長，因?yàn)锳C＝3，所以求出的最小值即可求出△APC周長的最小值，根據(jù)題意知點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，的值最小，即可得到結(jié)論．解：如圖所示，連接AE，BP，∵直線EF垂直平分AB，∴A，B關(guān)于直線EF對稱，∴，，在中，，∴當(dāng)P和E重合時，C、P、B三點(diǎn)共線，此時，的值最小，最小值等于BC的長，∴周長的最小值，故答案為：14．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用、垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出動點(diǎn)的位置．10．4【分析】連接BD，由于AB=BC，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，故BD⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式求出BD的長，再根據(jù)直線l是線段BC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故BD的長為CP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．解：連接BD，∵AB=BC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴S△ABC=AC?BD=×2×BD=3，解得BD=3，∵直線l是線段BC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴AB的長為CP+PD的最小值，∴△CDP的周長最短=（CP+PD）+CD=BD+AC=3+1=4．故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．11．【分析】由等邊三角形的對稱性得到MC=BM，再利用垂線段最段解題．解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，平分∠BAC，△ABC為等邊三角形，BM+MN，當(dāng)時，最小等邊△ABC面積為，邊長為6，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱—最短路徑問題、等邊三角形的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．12．5【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可知B與C關(guān)于AD對稱，過C作CF⊥AB交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則EB+EF的最小值為CF的長，求出CF的長即可求解．解：∵△ABC是等邊三角形，D是BC邊中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴B與C關(guān)于AD對稱，過C作CF⊥AB交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則BE+EF=CE+EF=CF，則EB+EF的最小值為CF的長，∵AD=5，∴CF=5，故答案為5．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握利用軸對稱求最短距離的方法，此題確定EB+EF的最小值為CF的長是解題的關(guān)鍵．13．8cm【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時，△PMN的周長最?。猓悍謩e作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN，當(dāng)點(diǎn)M、N在CD上時，△PMN的周長最?。唿c(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD=OC=OD=8cm.∴△PMN的周長的最小值為PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm．故答案為：8cm【點(diǎn)撥】此題主要考查軸對稱一最短路線問題，熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．14．【分析】作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，過B′作B′D⊥AB交AC于E，連接AB′，B′D即為BE+ED的最小值，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．解：作B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B′，過B′作B′D⊥AB交AC于E，連接AB′，此時B′E+ED=BE+ED為最小值，此時∠B′AB=2∠BAC=30°，B′D=AB′=AB=，即BE+ED的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了最短路徑問題，關(guān)鍵是作點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)B'，利用軸對稱的性質(zhì)解答即可．15．10【分析】如圖，根據(jù)題意知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的最小值等于的長，根據(jù)，的長度即可得到周長的最小值．解：∵垂直平分，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，如圖，設(shè)與相交于點(diǎn),∴當(dāng)和重合時，的值最小，最小值等于的長，∵，，∴的周長的最小值是，故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用、垂直平分線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點(diǎn)的位置．16．7【分析】△APC周長，因?yàn)锳C＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周長的最小值，根據(jù)題意知點(diǎn)關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，AP+CP的值最小，即可得到結(jié)論．解：∵直線EF垂直平分AB，∴A，B關(guān)于直線EF對稱，設(shè)直線EF交BC于E，∴當(dāng)P和E重合時，AP+CP的值最小，最小值等于BC的長，∴△APC周長的最小值，故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用、垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出P的位置．17．5cm【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AP＝BP，則BP＋DP＝AP＋DP，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)D共線且AD⊥BC時，AP＋DP有最小值，即BP＋DP有最小值為AD的長，由面積公式可求解．【詳解】解：連接AD，AP，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AP＝BP，∴BP＋DP＝AP＋DP，∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)D共線且AD⊥BC時，AP＋DP有最小值，即BP＋DP有最小值為AD的長，∵S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝15，∴AD＝5cm，故答案為：5cm．【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18．【分析】從題型可知為”將軍飲馬”的題型,連接CE,CE即為所求最小值．解：∵△ABC是等邊三角形,∴B點(diǎn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn)就是C點(diǎn),連接CE交AD于點(diǎn)H,此時HE+HB的值最?。郈H=BH,∴HE+HB=CE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可知三條高的長度都相等,∴CE=AD=．故答案為:．【點(diǎn)撥】本題考查三角形中動點(diǎn)最值問題,關(guān)鍵在于尋找對稱點(diǎn)即可求出最值．19．4【分析】根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P為EF和AC的交點(diǎn)時，AP+BP值最小為AC的長為4．解：如圖：連結(jié)BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C關(guān)于EF對稱，∴BP=CP，∴AP+BP=AP+CP，根據(jù)兩點(diǎn)之間相等最短AP+PC≥AC，∴當(dāng)點(diǎn)P在AC與EF交點(diǎn)時，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的長為4．故答案為4．【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱——最短路線問題的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是能根據(jù)想到垂直平分線的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短找出P點(diǎn)的位置．20．8cm【分析】如圖（見分析），先根據(jù)三角形的周長公式可得當(dāng)PA+PB最小時，△ABP的周長最小，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PC=PB，從而可得PA+PB=PA+PC，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得PA+PC的最小值為AC，由此即可得出答案．解：如圖，連接PC，∵AB=3cm∴△ABP的周長為AB+PA+PB=3+PA+PB，要使△ABP的周長最小，則需PA+PB的值最小，∵EF垂直平分BC，∴PC=PB，∴PA+PB=PA+PC，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)A,P,C共線，即點(diǎn)P在AC邊上時，PA+PC取得最小值，最小值為AC，即PA+PB的最小值為AC=5cm，則△ABP周長的最小值是3+5=8cm，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識點(diǎn)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．作圖見分析【分析】作出A點(diǎn)關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)D，連接BD交直線n于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)C為所求．解：作出A點(diǎn)關(guān)于直線n的對稱點(diǎn)D，連接BD交直線n于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)C即為所求．理由：∵AC=CD，∴AC+BC=CD+BC≥BD，∴當(dāng)B，C，D三點(diǎn)共線時，AC+BC有最小值．【點(diǎn)撥】本題考查了利用軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)來求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．22．(1)見分析(2)見分析(3)見分析【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（2）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；（3）連接BD、AC，它們的交點(diǎn)為G，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可判斷G點(diǎn)滿足條件．解：(1)如圖，AE為所作；(2)如圖，射線CB為所作；(3)如圖，點(diǎn)G為所作．【點(diǎn)撥】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．23．見分析【分析】作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再將點(diǎn)B向左平移3個單位得到點(diǎn)，連接，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，將向右平移3個單位得到點(diǎn)C，連接，與x軸的交點(diǎn)即為N．點(diǎn)M，N即為所求．解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，再將點(diǎn)B向左平移3個單位得到點(diǎn)，連接，與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，將向右平移3個單位得到點(diǎn)C，連