第25課時(shí)矩形、菱形、正方形考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定?性質(zhì)邊兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別相等角四個(gè)角都是①

對(duì)角線對(duì)角線②

對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸,其對(duì)稱軸為兩組對(duì)邊的垂直平分線,對(duì)稱中心為其對(duì)角線的交點(diǎn)面積S=③(a,b分別表示矩形的長(zhǎng)和寬)

?判定(1)有一個(gè)角是④的平行四邊形是矩形.

(2)有三個(gè)角都是⑤的四邊形是矩形.

(3)對(duì)角線⑥的平行四邊形是矩形.

①(冀教八下P135變式)如圖,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.(1)若AO=1,則OC=,AC=,BD=.

(2)若∠ACB=30°,則∠AOB=,△AOB的形狀是三角形.

(3)圖中有個(gè)等腰三角形,它們分別是 .

②已知四邊形ABCD為平行四邊形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.(1)如圖1,補(bǔ)充一個(gè)條件,可以使平行四邊形ABCD為矩形的是(填序號(hào)).

①∠BAD=90°;②AC=BD;③AC⊥BD;④OA=OB.(2)如圖2,四邊形ABCD為平行四邊形,過點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若BE=BD.求證:平行四邊形ABCD為矩形.圖1圖2考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定?性質(zhì)邊四條邊都⑦

兩組對(duì)邊分別平行角兩組對(duì)角分別相等對(duì)角線對(duì)角線互相垂直且⑧

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸,其對(duì)稱軸為對(duì)角線所在直線,對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)面積S=⑨(m,n分別表示兩條對(duì)角線的長(zhǎng))

?判定(1)有一組⑩相等的平行四邊形是菱形.

(2)條邊相等的四邊形是菱形.

(3)對(duì)角線的平行四邊形是菱形.

③(人教八下P60變式)如圖,已知菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.(1)若∠ABC=86°,則∠BAD=,∠ABD=,∠AOB=.

(2)若AC=6,BD=8,則①AO=,BO=,AB=;

②四邊形ABCD的周長(zhǎng)為,面積為;

③點(diǎn)A到邊BC的距離為.

④如圖,在?ABCD中,E,F分別是邊CD,BC上的點(diǎn),連接BE,DF,BE與DF交于點(diǎn)P,BE=DF.添加下列條件之一使?ABCD成為菱形:①CE=CF;②BE⊥CD,DF⊥BC.(1)你添加的條件是(填序號(hào)),并證明.

(2)在(1)的條件下,若∠A=45°,△BFP的周長(zhǎng)為4,求菱形的邊長(zhǎng).考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定?性質(zhì)邊四條邊都

兩組對(duì)邊分別平行角四個(gè)角都是

對(duì)角線對(duì)角線互相且相等

每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形,有4條對(duì)稱軸,對(duì)稱軸為兩條對(duì)角線所在直線及兩組對(duì)邊的垂直平分線,對(duì)稱中心為兩條對(duì)角線的交點(diǎn)面積S=(a表示正方形的邊長(zhǎng))

?判定(1)有一個(gè)角是的菱形是正方形.

(2)有一組相等的矩形是正方形.

(3)對(duì)角線的菱形是正方形.

(4)對(duì)角線互相的矩形是正方形.

平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的判定關(guān)系:?平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系⑤如圖1,已知四邊形ABCD為平行四邊形,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O.(1)若AB=BC,要使平行四邊形ABCD為正方形,則可添加的條件為.

(2)若∠ABC=90°,要使平行四邊形ABCD為正方形,則可添加的條件為.

(3)如圖2,若OA=OB,OA⊥OB,過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AE分別交BD,CD于點(diǎn)F,G.①下列結(jié)論中,不正確的是 ()A.BD⊥DEB.G是CD的中點(diǎn)C.S△BDE=S正方形ABCDD.EA平分∠BED②若S△DFG=2,求四邊形ABCD的面積.圖1圖2考點(diǎn)四中點(diǎn)四邊形?定義:依次連接任意一個(gè)四邊形四邊的中點(diǎn)所得的四邊形.?特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形特殊四邊形平行四邊形菱形矩形正方形中點(diǎn)四邊形?一般四邊形的中點(diǎn)四邊形(1)任意四邊形的中點(diǎn)四邊形一定是.

(2)對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是.

(3)對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是.

⑥(人教八下P68變式)如圖,在四邊形ABCD中,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA邊上的中點(diǎn),連接AC,BD,回答問題:(1)對(duì)角線AC,BD滿足條件時(shí),四邊形EFGH是矩形.

(2)對(duì)角線AC,BD滿足條件時(shí),四邊形EFGH是菱形.

(3)對(duì)角線AC,BD滿足條件時(shí),四邊形EFGH是正方形.

如圖1,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,(1)若增加下列條件中的一個(gè),可使四邊形ABCD為矩形,則這個(gè)條件可以是(填序號(hào)).

①∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°;②四邊形ABCD是平行四邊形,AC⊥BD;③OA=OB=OC=OD;④AB∥CD,AB=CD,∠ABC=90°;⑤AC=BD,∠ABC=90°.(2)若四邊形ABCD為矩形,回答下列問題.①若OB=1,則OD=,AC=;

②若AB=3,AC=6,則AD=,△AOB是三角形;

圖1圖2③如圖2,CE⊥BD于點(diǎn)E,若AD=4,CD=2,則cos∠OCE=;

④已知AB=4,AD=6.a.如圖3,點(diǎn)P是BC上一點(diǎn),則PA+PD的最小值為;

b.如圖4,點(diǎn)M,N分別在射線CD,DA上,且∠DNC=∠BMC,BM與CN交于點(diǎn)Q,連接AQ,則AQ的最小值是.

圖3圖4(1)①③④解析:根據(jù)三個(gè)角都是90°的四邊形是矩形,可知①正確;根據(jù)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形,可知③正確;∵AB∥CD,AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC=90°,∴平行四邊形ABCD是矩形,故④正確.(2)①12②33等邊③45④a.10解析:①∵四邊形ABCD為矩形,∴OB=OD=1,AC=BD=2.②∵在Rt△ABC中,AB=3,AC=6,∴根據(jù)勾股定理,得BC=62-32∴AD=BC=33.∵OA=OB=12AC=∴OA=OB=AB=3,∴△AOB是等邊三角形.③∵矩形ABCD中,AD=4,CD=2,∴BC=AD=4,∠BCD=90°,∴在Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理可得,BD=CD2+BC2∴在Rt△BCD中,根據(jù)面積相等得,CE=4×225=∴cos∠OCE=CEOC=455圖1④a.如圖1,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A'D交BC于點(diǎn)P,連接AP.∴AP=A'P.∵AB=4,AD=6,∴A'B=4,∴AA'=8,在Rt△AA'D中,根據(jù)勾股定理,得A'D=82+∴A'P+DP=A'D=10,故PA+PD的最小值為10.b.∵∠DNC=∠BMC,四邊形ABCD為矩形,∴∠ADC=∠BCM.∴△CDN∽△BCM,∴∠NCD=∠MBC,∵∠NCD+∠DNC=90°,∴∠NCD+∠BMC=90°,即CN⊥BM,∴∠BQC=90°.如圖2,點(diǎn)Q在以BC中點(diǎn)O為圓心,OB為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)A,Q,O三點(diǎn)共線時(shí),AQ最短.圖2∵OB=12BC=3,AB=∠ABC=90°,∴OA=OB2∴AQ=OA-OQ=5-3=2.如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O.(1)若∠ABC=40°,則∠CAD=.

(2)若AC=6,BD=8.①菱形ABCD的周長(zhǎng)為;

②AD,BC之間的距離為;

③如圖,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是AC上一動(dòng)點(diǎn),a.OE=;

b.請(qǐng)找出當(dāng)EF+BF取最小值時(shí),點(diǎn)F的位置,簡(jiǎn)述解題思路;c.當(dāng)點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)時(shí),求EF的長(zhǎng).(1)70°解析:∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∠CAD=∠CAB=12∠BAD,∴∠BAD+∠ABC=180°∵∠ABC=40°,則∠BAD=180°-∠ABC=140°,∴∠CAD=12∠BAD=70°(2)①20②245③a.解析:①菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,∠AOB=若AC=6,BD=8,則OA=OC=12AC=OB=OD=12BD=在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=OA2+OB2=32+42=5,∴AB=BC=CD=AD=5,∴AB+BC+CD+AD=5+5+②設(shè)AD,BC之間的距離為h,則由S菱形ABCD=BC·h=12AC·BD,得h=AC·BD2BC=6×82×5=245③a.∵在Rt△AOB中,點(diǎn)E是斜邊AB的中點(diǎn),∴OE=12AB=52圖1b.解:取AD的中點(diǎn)E',連接BE',則點(diǎn)F在BE'與AC的交點(diǎn)處時(shí),EF+BF的值最小,即當(dāng)EF+BF取最小值時(shí),點(diǎn)F的位置如圖1所示.此時(shí)AFFC=AE'BC=12,即點(diǎn)F位于線段AC解題思路如下:∵AC所在直線是菱形ABCD的一條對(duì)稱軸,點(diǎn)E、點(diǎn)E'分別是AB,AD的中點(diǎn),∴點(diǎn)E'與點(diǎn)E關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴AC上任意一點(diǎn)到點(diǎn)E與點(diǎn)E'的距離都相等,即有EF=E'F.由“兩點(diǎn)之間,線段最短”可知:點(diǎn)F在BE'與AC的交點(diǎn)處時(shí),E'F+BF的值最小,從而EF+BF的值最小,即當(dāng)EF+BF取最小值時(shí),點(diǎn)F的位置如圖1所示.此時(shí)AFFC=AE'BC=12,即點(diǎn)F位于線段AC圖2c.解:當(dāng)點(diǎn)F是OC的中點(diǎn)時(shí),OF=12OC=3過點(diǎn)E作EM⊥AC于點(diǎn)M,如圖2,則EM∥BD,∠EMF=90°,∴△AEM∽△ABO,∴AMAO=EMBO=AEAB.∵點(diǎn)E∴AE=12AB,∴AMAO=EMBO=AEAB=12,即AM3=EM4=12,解得AM=32,EM=2,∴在Rt△EFM中,由勾股定理,得EF=EM2+FM即EF的長(zhǎng)為13.如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,OA=OB=OC=OD,AB=AD,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接AE,CE,并延長(zhǎng)CE交AD于點(diǎn)F.(1)求證:四邊形ABCD是正方形.(2)求證:△ABE≌△CBE.(3)若∠AEC=140°,求∠DFE的度數(shù).(4)若OA=2,求四邊形ABCD的面積.(1)證明:∵OA=OC,OB=OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵OA+OC=OB+OD,即AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形,∵AB=AD,∴四邊形ABCD是正方形.(2)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABC=∠ADC=90°,∠ABE=∠CBE=∠ADB=12×90°=45°在△ABE和△CBE中,AB∴△ABE≌△CBE(SAS).(3)∵△ABE≌△CBE,∴∠AEB=∠CEB.又∵∠AEC=140°,∴∠CEB=70°.∵∠DEC+∠CEB=180°,∴∠DEC=180°-∠CEB=110°.∵∠DFE+∠ADB=∠DEC,∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°.(4)∵OA=2,四邊形ABCD是正方形,∴OB=OA=OC=OD=2,∴AC=BD=4,∴S四邊形ABCD=4×42=8命題點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定?(2022·河北)如圖,將長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片分割成n個(gè)三角形后,拼成面積為2的正方形,則n≠ ()A.2 B.3 C.4 D.5?(2024·河北)在平面直角坐標(biāo)系中,我們把一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值稱為該點(diǎn)的“特征值”.如圖,矩形ABCD位于第一象限,其四條邊分別與坐標(biāo)軸平行,則該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是 ()A.點(diǎn)A B.點(diǎn)B C.點(diǎn)C D.點(diǎn)D?(2010·河北)如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B在數(shù)軸上,CD=6,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1,則點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為.

命題點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定?(2024·河北)如圖,菱形ABCD中,∠D=150°,則∠1= ()A.30° B.25° C.20° D.15°?(2023·河北)求證:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.已知:如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O.求證:AC⊥BD.以下是排亂的證明過程:①又∵BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD.③∵四邊形ABCD是菱形,④∴AB=AD.證明步驟正確的順序是 ()A.③→②→①→④ B.③→④→①→②C.①→②→④→③ D.①→④→③→②?(2022·河北)如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.(1)求證:△ABD≌△ACE.(2)求∠ACE的度數(shù).(3)求證:四邊形ABFE是菱形.命題點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定?(2023·河北)關(guān)于?ABCD的敘述,正確的是 ()A.若AB⊥BC,則?ABCD是菱形B.若AC⊥BD,則?ABCD是正方形C.若AC=BD,則?ABCD是矩形D.若AB=AD,則?ABCD是正方形?(2023·河北)如圖是邊長(zhǎng)為10cm的正方形鐵片,過兩個(gè)頂點(diǎn)剪掉一個(gè)三角形,以下四種剪法中,裁剪線長(zhǎng)度所標(biāo)的數(shù)據(jù)(單位:cm)不正確的是 () A B C D?(2024·河北)用一根長(zhǎng)為acm的鐵絲,首尾相接圍成一個(gè)正方形.現(xiàn)要將它按如圖所示的方式向外等距擴(kuò)1cm,得到新的正方形,則這根鐵絲需增加 ()A.4cm B.8cm C.(a+4)cm D.(a+8)cm?(2024·河北)對(duì)于題目:“如圖1,平面上,正方形內(nèi)有一長(zhǎng)為12、寬為6的矩形,它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)(即平移或旋轉(zhuǎn))的方式,自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放,求正方形邊長(zhǎng)的最小整數(shù)n.”甲、乙、丙作了自認(rèn)為邊長(zhǎng)最小的正方形,先求出該邊長(zhǎng)x,再取最小整數(shù)n.圖1甲:如圖2,思路是當(dāng)x為矩形對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去;結(jié)果取n=13.乙:如圖3,思路是當(dāng)x為矩形外接圓直徑長(zhǎng)時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去;結(jié)果取n=14.丙:如圖4,思路是當(dāng)x為矩形的長(zhǎng)與寬之和的22倍時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去;結(jié)果取n=13圖2圖3圖4下列正確的是 ()A.甲的思路錯(cuò),他的n值對(duì)B.乙的思路和他的n值都對(duì)C.甲和丙的n值都對(duì)D.甲、乙的思路都錯(cuò),而丙的思路對(duì)

【詳解答案】教材考點(diǎn)·深度梳理①直角(或90°)②互相平分且相等③ab④直角(或90°)⑤直角(或90°)⑥相等⑦相等⑧平分⑨12mn⑩鄰邊四互相垂直相等直角(或90°)垂直平分a2直角(或90°)鄰邊相等垂直平行四邊形矩形菱形正方形平行四邊形菱形矩形對(duì)應(yīng)練習(xí)1.(1)122(2)60°等邊(3)4△AOB,△AOD,△COD和△BOC2.解:(1)①②④(2)證明:∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB∥CE.∵BE∥AC,∴四邊形ABEC是平行四邊形,∴AC=BE.∵BE=BD.∴AC=BD,∴平行四邊形ABCD為矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形).3.(1)94°43°90°(2)①345②2024③24解析:(2)①∵菱形ABCD中,AC=6,BD=8,∴AO=12AC=12×6=3,BO=12BD=在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理可得,AB=AO2②菱形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=4×5=20,面積為=12AC·BD=12③設(shè)點(diǎn)A到邊BC的距離為x,根據(jù)面積法可得,BC·x=24,解得x=2454.解:(1)②證明:∵BE⊥CD,DF⊥BC,∴∠CFD=∠CEB=90°.在△CFD和△CEB中,∠∴△CFD≌△CEB(AAS),∴CD=CB.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是菱形.(2)如圖,連接CP,由(1)知△CFD≌△CEB,∴CF=CE.在Rt△CEP和Rt△CFP,CP∴Rt△CEP≌Rt△CFP(HL),∴PE=PF.∵在菱形ABCD中,∠A=45°,∴∠BCD=45°.∵∠CFD=∠CEB=90°,∴∠BFP=∠DEP=90°,∴∠CBE=∠BPF=∠BCD=45°,∴BE=CE,BF=PF.∵△BFP的周長(zhǎng)為4,∴BP+PF+BF=BP+PE+BF=BE+BF=CE+BF=CF+BF=BC=4.即菱形的邊長(zhǎng)為4.5.解:(1)∠ABC=90°(答案不唯一)解析:正方形是特殊的平行四邊形,四條邊都相等,且四個(gè)角也都為直角,所以在AB=BC的條件下,增加條件∠ABC=90°,可以使得平行四邊形ABCD是正方形.(2)AB=BC(答案不唯一)解析:由(1)中的分析可知,添加條件AB=BC可以使得平行四邊形ABCD是正方形.(3)①D解析:A項(xiàng),∵AC∥DE,∠COB=90°,∴∠BDE=90°,∴BD⊥DE成立,故A項(xiàng)正確;B項(xiàng),∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD,∵AC∥DE,∴四邊形ACED為平行四邊形,∴AD=CE,∴BC=CE,∵C是BE的中點(diǎn),CG∥AB,∴G是AE的中點(diǎn),∴CG是△ABE的中位線,∴G是CD的中點(diǎn)成立,故B項(xiàng)正確;C項(xiàng),如果令正方形的邊長(zhǎng)為a,∴S正方形ABCD=a2,S△BDE=12×2a×a=a2D項(xiàng),∵DG=GC,∴GC一定大于△DGE的DE邊上的高,∴不符合角平分線的定理,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.②設(shè)DC=a,則DG=GC=a2∵OA=OB,∴BD=AC.又∵BD⊥AC,∴四邊形ABCD是正方形.∴∠ADB=∠BDC=45°.∵AB∥CD,∴△ABF∽△GDF,∴ABGD∵AB=2DG,∴AF=2FG.∵△ADF與△DFG同高,且S△DFG=2,∴S△ADG=6,∴12×a×a∴a2=24,∴S正方形ABCD=a2=24.6.(1)AC⊥BD(2)AC=BD(3)AC⊥BD且AC=BD解析:∵E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA邊上的中點(diǎn),∴EF∥AC,EF=12AC,FG∥BD,FG=12BD,HG∥AC,HG=12AC,EH∥BD,EH∴EF∥HG,EF=HG,FG∥EH,FG=EH.∴四邊形EFGH是平行四邊形.(1)要使四邊形EFGH是矩形,則需EF⊥FG,只需AC⊥BD.(2)要使四邊形EFGH是菱形,則需EF=FG,只需AC=BD.(3)要使四邊形EFGH是正方形,則需AC⊥BD且AC=BD.河北中考·真題體驗(yàn)1.A解析:如圖,將長(zhǎng)為2、寬為1的矩形紙片分割成n個(gè)三角形后,拼成面積為2的正方形,則n可以為3,4,5,故n≠2.故選A.2.B解析:設(shè)A(a,b),AB=m,AD=n,∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=n,AB=CD=m,∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n),∵ba+m<ba<b+∴該矩形四個(gè)頂點(diǎn)中“特征值”最小的是點(diǎn)B.故選B.3.5解析:∵四邊形ABCD是矩形,且矩