100.全概率公式及應(yīng)用一．基本原理1.全概率公式在全概率的實(shí)際問題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用“化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件，有.我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．顯然，應(yīng)用全概率公式的關(guān)鍵就是將找到完備事件組，下面我們介紹一些常見的類型.2.樣本空間的常見分類方法（構(gòu)造完備事件組）①.對(duì)于具有多個(gè)步驟或階段的試驗(yàn)，可按照每個(gè)步驟或階段的不同結(jié)果來劃分樣本空間②.當(dāng)試驗(yàn)涉及到具有不同屬性或特征的事件時(shí)，可根據(jù)這些屬性或特征進(jìn)行劃分③.如果事件的發(fā)生是由不同原因或在不同條件下導(dǎo)致的，那么可以據(jù)此劃分樣本空間...下面我們通過具體的例子來分析.二．典例分析★對(duì)于具有多個(gè)步驟或階段的試驗(yàn)，可按照每個(gè)步驟或階段的不同結(jié)果來劃分樣本空間例1．（四川成都市2025屆高三二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進(jìn)行，只有答完一輪才能進(jìn)入下一輪，若連續(xù)兩輪均答錯(cuò)，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機(jī)地派出一道通識(shí)題或?qū)ＷR(shí)題，派出通識(shí)題的概率為，派出專識(shí)題的概率為.已知某選手答對(duì)通識(shí)題與專識(shí)題的概率分別為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.（1）求該選手在一輪答題中答對(duì)題目的概率；（2）記該選手在第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)依然未終止的概率為，（i）求；（ii）證明：存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列.解析：（1）設(shè)事件“一輪答題中系統(tǒng)派出通識(shí)題”，事件“該選手在一輪答題中答對(duì)”，依題意，，，因此，所以該選手在一輪答題中答對(duì)題目的概率為.（2）（i）設(shè)事件“該選手在第輪答對(duì)題目”，各輪答題正確與否相互獨(dú)立，由（1）知，，當(dāng)時(shí)，挑戰(zhàn)顯然不會(huì)終止，即，當(dāng)時(shí)，則第1、2輪至少答對(duì)一輪，，由概率加法公式得；同理.（ii）設(shè)事件“第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止”，當(dāng)時(shí)，第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止的情況有兩種：①第輪答對(duì)，且第輪結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止；②第輪答錯(cuò)，且第輪答對(duì)，且第輪結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止，因此第輪答題結(jié)束時(shí)挑戰(zhàn)未終止的事件可表示為，則，而各輪答題正確與否相互獨(dú)立，因此，當(dāng)時(shí)，，設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，整理得，而，則，解得或，當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以存在實(shí)數(shù)或，使得數(shù)列為等比數(shù)列.★2.當(dāng)試驗(yàn)涉及到具有不同屬性或特征的事件時(shí)，可根據(jù)這些屬性或特征進(jìn)行劃分例1．某例2.（深圳市2024屆高三?？迹┢髽I(yè)因技術(shù)升級(jí)，決定從2023年起實(shí)現(xiàn)新的績效方案．方案起草后，為了解員工對(duì)新績效方案是否滿意，決定采取如下“隨機(jī)化回答技術(shù)”進(jìn)行問卷調(diào)查：一個(gè)袋子中裝有三個(gè)大小相同的小球，其中1個(gè)黑球，2個(gè)白球．企業(yè)所有員工從袋子中有放回的隨機(jī)摸兩次球，每次摸出一球．約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式Ⅰ回答問卷，否則按方式Ⅱ回答問卷”．方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”；方式Ⅱ：若你對(duì)新績效方案滿意，則在問卷中畫“○”，否則畫“×”．當(dāng)所有員工完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計(jì)畫○，畫×的比例．用頻率估計(jì)概率，由所學(xué)概率知識(shí)即可求得該企業(yè)員工對(duì)新績效方案的滿意度的估計(jì)值．其中滿意度．（1）若該企業(yè)某部門有9名員工，用X表示其中按方式Ⅰ回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）若該企業(yè)的所有調(diào)查問卷中，畫“○”與畫“×”的比例為4：5，試估計(jì)該企業(yè)員工對(duì)新績效方案的滿意度．解析：（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率為，每名員工兩次摸到的球的顏色不同的概率，由題意可得：該部門9名員工中按方式Ⅰ回答問卷的人數(shù)，所以X的數(shù)學(xué)期望．（2）記事件A為“按方式Ⅰ回答問卷”，事件B為“按方式Ⅱ回答問卷”，事件C為“在問卷中畫○”．由（1）知，，．∵，由全概率公式，則，解得，故根據(jù)調(diào)查問卷估計(jì)，該企業(yè)員工對(duì)新績效方案的滿意度為40%．★3.如果事件的發(fā)生是由不同原因或在不同條件下導(dǎo)致的，那么可以據(jù)此劃分樣本空間設(shè)數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)，它的位置只能位于整點(diǎn)處，在時(shí)刻時(shí)，位于點(diǎn)，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個(gè)單位.若記狀態(tài)表示：在時(shí)刻該點(diǎn)位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個(gè)吸收壁，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時(shí)被吸收，不再游走.于是，.上述便是一個(gè)典型的馬爾科夫過程.例3．（2023·新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．解析：（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，故．★4.執(zhí)果索因，貝葉斯公式設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意事件，，有，在貝葉斯公式中，和分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．例4.了調(diào)動(dòng)大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識(shí)的競(jìng)賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對(duì)，計(jì)算恰好是甲小組答對(duì)的概率．解析：（1）設(shè)甲乙通過兩輪制的初賽分別為事件則，由題意可得，的取值有，，所以設(shè)表示事件“該單位的某小組對(duì)最后一道題回答正確”，表示事件“甲小組搶到最后一道題”，表示事件“乙小組搶到最后一道題”，則有：，則該題如果被答對(duì)，恰好是甲小組答對(duì)即為點(diǎn)評(píng)：本題第二問即考察了全概率公式與貝葉斯公式，后者雖然不做高考要求，但是可以看到，它實(shí)際就是條件概率的應(yīng)用，完全可以現(xiàn)場(chǎng)依據(jù)具體情況得出.★5.綜合應(yīng)用（新概念）例5.（湖北省七市州2025屆高三聯(lián)考）已知某商店出售商品A，據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)顧客對(duì)商品A的需求量相對(duì)穩(wěn)定，每周內(nèi)對(duì)商品A的不同需求量（單位：個(gè)）與概率的數(shù)據(jù)如下：對(duì)A的需求量0123概率若以商品A的庫存作為供給量，為了改善經(jīng)營，該商店決定每周末對(duì)商品A進(jìn)行盤點(diǎn)存貨：如果商品A都售出了，則在周末及時(shí)采購2個(gè)新的商品，只要商品A還有1個(gè)存貨，就不采購新的商品.記為該商店第周開始時(shí)商品A的供給量，假設(shè).（1）求的分布列；（2）記為第周開始時(shí)供給量的概率向量，隨著的增大，若，則趨向一個(gè)定常態(tài)分布，記這個(gè)定常態(tài)分布為.（i）求商品A的定常態(tài)分布；（ii）從長遠(yuǎn)來看，求該商店改善經(jīng)營后商品A需求大于供給的概率.解析：（1）由題意，第2周開始時(shí)商品A不同供給量的概率為，，第3周開始時(shí)商品A供給量的概率為，.第3周開始時(shí)商品A的供給量分布列為12（2）（i）記為商品A第周內(nèi)的的需求量，由題意，與的狀態(tài)有關(guān)，當(dāng)時(shí)，若，則；若，則，設(shè)，即，由全概率公式可得，，由，得，解得，故.（ii）由（i）可知，定常態(tài)分布，所以從長遠(yuǎn)來看，，記商品A需求大于供給的概率為，由全概率公式得.三．習(xí)題演練1．（多選題）三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有的人患了流感．假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為，則（

）A．從三個(gè)地區(qū)中任選一人，此人未患流感的概率大于0.96B．等可能從三個(gè)地區(qū)中選取一人，此人患流感的概率為0.05C．從三個(gè)地區(qū)中任選一人，此人選自地區(qū)且患流感的概率為0.017D．從三個(gè)地區(qū)中任選一人，若此人患流感，則此人選自地區(qū)的概率為2．“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束．已知該粒子初始位置在1號(hào)倉，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉到達(dá)容器外的概率為．

3．（2025·湖北武漢·二模）有，，，，，，，八名運(yùn)動(dòng)員參加乒乓球賽事，該賽事采用預(yù)賽，半決賽和決賽三輪淘汰制決定最后的冠軍、八名運(yùn)動(dòng)員在比賽開始前抽簽隨機(jī)決定各自的位置編號(hào)，已知這七名運(yùn)動(dòng)員互相對(duì)決時(shí)彼此間的獲勝概率均為，運(yùn)動(dòng)員與其它運(yùn)動(dòng)員對(duì)決時(shí)，獲勝的概率為，每場(chǎng)對(duì)決沒有平局，且結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求這八名運(yùn)動(dòng)員各自獲得冠軍的概率；（2）求與對(duì)決過且最后獲得冠軍的概率；（3）求與對(duì)決過且最后獲得冠軍的概率．參考答案：1.解析：設(shè)事件“此人患了流感”，事件“此人來自地區(qū)”，事件“此人來自地區(qū)”，事件“此人來自地區(qū)”，由題意可得：，，對(duì)于A，由全概率公式，可得：，所以，故A正確；對(duì)于B，等可能從這三個(gè)地區(qū)中選取一個(gè)人，即，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由條件概率公式，可得，故D正確；故選：AD．2．解析：設(shè)從出發(fā)最終從1號(hào)口出的概率為，所以，解得.故答案為：.3.解析：（1）奪冠即為三