24.新試卷背景下三角與導(dǎo)數(shù)壓軸的八大題型一．基本原理三角與導(dǎo)數(shù)壓軸是近年來比較熱門的題型之一，它為導(dǎo)數(shù)壓軸題目帶來了新的活力，既然如此，這個題型也一定有它獨(dú)到的地方，本文就詳細(xì)地梳理了我認(rèn)為它可能會被選擇作為壓軸的五大特色優(yōu)質(zhì)基因，它們分別是：1.逐段討論.三角函數(shù)的周期性和有界性導(dǎo)致了一些綜合問題中需要逐段討論，這樣的討論中對取點(diǎn)，估計，以及函數(shù)的性質(zhì)等考察力度均很大，對考生要求很高.2.無窮零點(diǎn).用一個正余弦函數(shù)去乘指對函數(shù)，就會導(dǎo)致有無窮多個零點(diǎn)出現(xiàn)，這是其他指對函數(shù)沒有的特性，我們甚至可進(jìn)一步討論這無窮個零點(diǎn)直接的關(guān)系.3.震蕩上行中的拐點(diǎn)分析，以為例，由于的有界性，若出現(xiàn)三角函數(shù)+增函數(shù)結(jié)構(gòu)時，會出現(xiàn)震蕩上行，會出現(xiàn)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，有能成立，這樣的命題形式，此時，必要性分析是一個很重要的手段.4.配合三角恒等式.配合三角恒等式就可以做到更強(qiáng)的綜合性，需要考生有很強(qiáng)的觀察能力.5.必要性探路6.三角不等式與放縮.一些重要的三角不等式，例如①.②.③.④.⑤.=6\*GB3⑥.=7\*GB3⑦.中，=8\*GB3⑧.中，在一些三角恒成立或者極值點(diǎn)偏移問題中會用到.7.三角與概率結(jié)合8.三角恒等與復(fù)數(shù)幾何二．典例分析類型1.逐段討論三角與導(dǎo)數(shù)綜合的零點(diǎn)個數(shù)問題的處理的關(guān)鍵就是零點(diǎn)存在唯一性定理，即弄清楚單調(diào)性和端點(diǎn)值.前者通過導(dǎo)數(shù)完成，這一塊要注意往往可能需要高階導(dǎo)數(shù)，這是由三角函數(shù)求導(dǎo)的特征所決定的！后者要注意三角函數(shù)的有界性，往往過了某個范圍后，函數(shù)恒正或者恒負(fù)，不再出現(xiàn)零點(diǎn)，這就決定了分段討論，而分段的依據(jù)主要是由三角函數(shù)的取值象限來進(jìn)行，等.除此之外，有的區(qū)間上找點(diǎn)時注意不等式放縮，從而減少找點(diǎn)的難度！總結(jié)起來，有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)問題處理主要手段有：分段處理；討論好單調(diào)性與端點(diǎn)（特殊點(diǎn)），注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直到能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；關(guān)注有關(guān)三角的不等式放縮，有時候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點(diǎn)過程??；；.例1.（2019全國1卷）已知函數(shù).若為的導(dǎo)函數(shù)，證明：在上存在唯一的極大值點(diǎn)；證明：有且僅有兩個零點(diǎn).解答：（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵遥?，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.下面考慮端點(diǎn)值：因?yàn)?，，使?當(dāng)時，；時，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點(diǎn).即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，.下面分區(qū)間逐次討論：①．當(dāng)時，由（1）可知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，又，為在上的唯一零點(diǎn).②．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點(diǎn).又，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.考慮端點(diǎn)值：由于.在上恒成立，此時不存在零點(diǎn).③．當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減又，.即，又在上單調(diào)遞減.在上存在唯一零點(diǎn).④.當(dāng)時，，，，即在上不存在零點(diǎn).綜上所述：有且僅有個零點(diǎn).類型2.無窮零點(diǎn)例2.（2019天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時，證明：；設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，試證明：.（3）首先我們需要把區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)搬到熟悉的區(qū)間上來，這一點(diǎn)可通過變換實(shí)現(xiàn)，令，故，且.這樣我們就把題干轉(zhuǎn)化到第（2）問的條件下了.下面我們來利用改寫題干條件，即證：.由于，故只需證①即可.由于，故證明①成立，只需等價于證明：②，結(jié)合的表達(dá)式可知，不等式②成立等價于③即可，看到這里，是不是發(fā)現(xiàn)跟第（2）問的神似之處！另一方面，注意到以及第（2）問的結(jié)論，可得：④.故欲使得③成立，只需使得.所以，只要能說明，整個題目就解決了！而這個步驟，就需要第（1）問，由于且滿足對于，，且在上減，故，證畢！例3．定義在上的函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；(2)將的所有極值點(diǎn)按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若，求的值.解析：（1）當(dāng)時，，故.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令.所以切線與軸的交點(diǎn).此時所求三角形的面積為.（2），當(dāng)時，.由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域?yàn)?，故存在唯一，使?此時當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，因此.同理，存在唯一，使得.此時當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此.由.同理：.由，整理得：.又，故，則有，由，故或.又，當(dāng)時，不滿足，舍去.所以，即，則.綜上所述，.類型3.震蕩上行函數(shù)的拐點(diǎn)分析例4.（2021武漢高三畢業(yè)班二診）．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時，有能成立，求的值．解析：（1）時，．．∴切線方程為：．整理得：．（2）．令，得．．（?。┊?dāng)時，為上的減函數(shù)，．∴時，，遞增．又此時，故時，，遞減．時，，遞增．∴時，，遞增．由．故時，．時，．此時，存在使時，，滿足條件．（ⅱ）當(dāng)時，，，遞增．此時，．故存在使得．當(dāng)時，遞增．∴時，，遞減．即時，，不存在，使時，．（ⅲ）當(dāng)時，，令，得．∴時，遞減，遞減．即時，，不存在，使時，．（ⅳ）當(dāng)時，在遞減．遞減．故時，，不存在，使時，．綜上所述：．類型4.三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式（不等式）例5.在中，證明：.證明：，顯然，考慮在處的切線可得不等式：，這樣就有，故，證畢.注：此不等式是三角形中一個常見的不等式，在高考試題中也能見到它的身影，比如.例6.（2018全國一卷）已知函數(shù)，求的最小值.解：最小正周期為，且為奇函數(shù)，考慮.由于，由奇偶性可知的最小值為.例7.已知函數(shù).（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.證明：（2）.，由于最小正周期為，且為奇函數(shù)，且，故，證畢.（3）結(jié)合（2）的結(jié)論有：.類型5.必要性探路端點(diǎn)效應(yīng)的原理：1.必要條件縮小范圍：①若在上恒成立，則在區(qū)間端點(diǎn)處也成立，即此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)值包含參數(shù)的情況.②若在上恒成立，且則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零的情況.③若在上恒成立，且，則此法應(yīng)用于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值為零且導(dǎo)數(shù)值也為零的情況.2.充分性求結(jié)果：求判斷的單調(diào)性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的參數(shù)的范圍.例8.（2023年甲卷T21）已知.（1）當(dāng)時,討論的單調(diào)性；（2）若,求的取值范圍.解析：(1),.令,得。當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2) 由于，且注意到當(dāng)即時，使在成立，故此時單調(diào)遞減∴，不成立.另一方面：當(dāng)時,，下證它小于等于0.令綜上所述:.類型6.三角放縮例9.（1）求證時，；（2）當(dāng)時，，證明不等式恒成立.解析：（1）證明：令，，顯然對恒成立，故在上單調(diào)遞增，從而，故在上單調(diào)遞增，從而，即時，恒有成立.（2）對于由（1）得①②，故對，，要證，只要證即證（*），當(dāng)時，（*）顯然成立；當(dāng)時，即證.令，則，時有，故在上單調(diào)遞增，所以從而在上單調(diào)遞增，所以，即(*)成立.終上所述:當(dāng)時，，不等式恒成立.例10.（2023年新高考2卷）（1）證明：當(dāng)時，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．解析：（1）構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時，則，且，則，即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.類型7.三角與概率結(jié)合例11.（廣東省25屆高三二調(diào)）已知集合，，設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)和時，分別判斷函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)？說明理由；（2）已知，求函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率；（3）寫出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個充分條件，并說明理由.解析：（1）略（2）.，則，于是可得：故滿足整理可得：，只需滿足：考慮，上式表明單位圓上的重心為圓心，故為等邊三角形，若設(shè),則或者.即①，集合共有13個元素，從中任取3個元素組成集合，共個，而滿足①的集合有，，，，，共5個，則使得函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率為.類型8.三角恒等與復(fù)數(shù)結(jié)合例12.如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)，反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).一般地，任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角（以非負(fù)半軸為始邊，所在射線為終邊的角），我們規(guī)定范圍