正文目錄引言 4研究方法 6傳統(tǒng)方法 7JORION的方法 7ORTIZ的方法 7評估方法 9結(jié)果與討論 103.1數(shù)據(jù) 10樣本外夏普比率 10投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差 1330個(gè)工業(yè)行業(yè)投資組合結(jié)果 13按規(guī)模和賬面市值排的25個(gè)股票投資組合的果 16按賬面市值比和盈能排序的25個(gè)股票投資組的結(jié)果總結(jié) 16按規(guī)模、賬面市值和營盈利能力形成的32個(gè)投資組合的結(jié)果 1740個(gè)單資產(chǎn)的結(jié)果 184結(jié)論 19風(fēng)險(xiǎn)提示： 19圖表目錄圖表1文章框架 4圖表2多變量均值估計(jì)的均方誤差示例 9圖表3樣本外夏普比率：30個(gè)等權(quán)重工業(yè)行業(yè)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià) 10圖表4樣本外夏普比率：按規(guī)模和賬面市值比排序的組合 11圖表5樣本外夏普比率：按賬面市值比和經(jīng)營盈利能力排序的組合 11圖表6樣本外夏普比率：按規(guī)模、賬面市值比和經(jīng)營盈利能力形成的組合 12圖表7樣本外夏普比率：40個(gè)美國大盤股 圖表8使用傳統(tǒng)估計(jì)方法的投資組合權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)差 圖表9使用ORTIZ規(guī)則的投資組合權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)差 圖表10使用JORION規(guī)則的投資組合權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)差 圖表投資組合權(quán)重的平均標(biāo)準(zhǔn)差 圖表12投資組合權(quán)重的均值標(biāo)準(zhǔn)差的均值 圖表13投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值：規(guī)模、賬面市值比 圖表14估計(jì)均值的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值：規(guī)模、賬面市值比 16圖表15投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值：賬面市值比、盈利能力 17圖表16估計(jì)的均值的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值：賬面市值比、盈利能力 17圖表17投資組合權(quán)重的平均標(biāo)準(zhǔn)差：規(guī)模、賬面市值比和經(jīng)營盈利能力 17圖表18估計(jì)的均值的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值：規(guī)模、賬面市值比和經(jīng)營盈利能力 18圖表19投資組合權(quán)重的平均標(biāo)準(zhǔn)差：單資產(chǎn) 18圖表20估計(jì)的均值的標(biāo)準(zhǔn)差的平均值：單資產(chǎn) 18引言圖表1文章框架華安證券研究所整理華安證券研究所整理資料來源：現(xiàn)代投資組合理論（MPT）（Palczewski&Palczewski，2014）資料來源：而參數(shù)隨時(shí)間的變化可能使最舊的觀測值變得不可用。因此，投資組合經(jīng)理必須結(jié)合這兩個(gè)方面來估計(jì)參數(shù)。MPTMPT（Sharpe，1964）。MPTBestGrauer（1991，1992）表間的差異。Ortiz等（2022）的觀點(diǎn)也是，將特征值轉(zhuǎn)移到隨機(jī)矩陣的特征值空間本文假設(shè)投資者每月根據(jù)現(xiàn)代投資組合理論重新平衡其投資組合，使用基于歷史回報(bào)的平均超額回報(bào)和協(xié)方差矩陣估計(jì)。在傳統(tǒng)的頻率學(xué)派方法中，參數(shù)估計(jì)通常依賴歷史數(shù)據(jù)作為主要輸入。在貝葉斯方法中，先驗(yàn)知識(shí)和歷史數(shù)據(jù)都會(huì)被考慮。頻率學(xué)派的參數(shù)估計(jì)依賴于參數(shù)的漸近性質(zhì)，即當(dāng)觀測次數(shù)趨向無窮大時(shí)。然而，這在觀測次數(shù)少且有時(shí)類似于變量數(shù)量時(shí)并不適用。Stein（1956，1962）表明，將傳統(tǒng)均值向量估計(jì)和均值的均值（總體均值）稱為James–SteinJorion（1986）使用這種類型的估計(jì)器來估計(jì)平均回報(bào)向量并確定投資Jorion（1985）-注意的是，貝葉斯-斯坦因型估計(jì)器通常使用的方法是實(shí)現(xiàn)參數(shù)的最佳估計(jì)并將它ElmachtoubGrigas（2022）-優(yōu)化方法。Ortiz等（2023）（Britten-Jones，1999）。由于這種等價(jià)性，他們指出投資組合優(yōu)化的一個(gè)主要問題是金融資產(chǎn)回報(bào)之間的多重共線性過高。因此，Ortiz等（2023）Hoerl和Kennard（1970）ButlerKwon（2023）最優(yōu)投資組合選擇問題是一個(gè)隨機(jī)優(yōu)化問題。因此，參數(shù)估計(jì)過程是決策優(yōu)化過程的一部分。正如Elmachtoub和Grigas（2022）指出的，隨機(jī)優(yōu)化過程通常采用預(yù)測ElmachtoubGrigas（2022）Butler和Kwon（2023）我們的文章可以被視為預(yù)測和優(yōu)化方法的一部分。然而，通過多元線性回歸和投資組合選擇問題的一階條件之間的等價(jià)性（Britten-Jones，1999），實(shí)現(xiàn)了同時(shí)估計(jì)和優(yōu)化。這使我們能夠直接獲得參數(shù)的最佳收縮水平，以最小化決策變量的均方誤差。換句話說，滿足最優(yōu)性條件的投資組合權(quán)重的均方誤差被最小化。需要注意的是，這種方法提高了模型的預(yù)測能力，并為決策變量提供了穩(wěn)定性。在預(yù)測和優(yōu)化的新方法中，使用均方誤差最小化方法的優(yōu)勢值得注意。正如Cai等（2024）指出的，“考慮均方誤差的一個(gè)巨大優(yōu)勢在于，它不僅捕捉了偏差-方差權(quán)衡，還允許簡單的分析和數(shù)值處理?！北疚膶θN方法的樣本外性能進(jìn)行了實(shí)證評估：傳統(tǒng)方法、Jorion（1985）的方法），以及Ortiz（2023））合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差。Palczewski和Palczewski（2014，第403頁）指出，投資組合權(quán)重的穩(wěn)定性至關(guān)重要。為此評估，使用了DeMiguel等（2009）和Ortiz等（2022）的方法。本文假設(shè)投資者僅有歷史數(shù)據(jù)，并依賴現(xiàn)代投資組合理論來選擇其投資組合。也就是說，沒有額外的信息，如投資組合經(jīng)理的專家判斷或另一個(gè)理論模型（例如資產(chǎn)定價(jià)模型），可以提高參數(shù)估計(jì)的精度。本研究的主要發(fā)現(xiàn)是，使用通過最小化投資組合權(quán)重的均方誤差將均值向量收120提供比1/nJorion（1985）提出的方法和傳統(tǒng)方法，無論是在樣本外夏普比率還是投資組合權(quán)重的波動(dòng)性方面。還觀察到，這種方法產(chǎn)生的平均估計(jì)均值比其他方法更穩(wěn)定。最后，需要注意的是，在本文中，協(xié)方差矩陣是使用傳統(tǒng)方法估計(jì)的，即沒有像Ortiz等（2023）1/nPalczewskiPalczewski（2014）MPT研究方法假設(shè)投資者準(zhǔn)備投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。在現(xiàn)代投資組合理論（MPT）框架下，投資者旨在最大化其效用函數(shù)：其中，????是預(yù)期回報(bào)，γ是投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，????是投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差。投資組合的預(yù)期回報(bào)????可以表示為：其中是險(xiǎn)價(jià)投組合方可表為：其中，wn????n。為了最大化夏普比率，僅包含風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合的權(quán)重為：模型的參數(shù)是無風(fēng)險(xiǎn)利率????，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)向量π，和協(xié)方差矩陣Σ。估計(jì)???僅包含風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的切線投資組合的權(quán)重，需要估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)向量和協(xié)方差矩陣。本文重點(diǎn)評估估計(jì)均值向量的方法。因此，協(xié)方差矩陣的估計(jì)采用傳統(tǒng)方法。傳統(tǒng)方法傳統(tǒng)方法使用無偏和最小方差估計(jì)。協(xié)方差矩陣的估計(jì)為：均值向量為：其中，R包含T個(gè)單個(gè)資產(chǎn)的歷史風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)值。Jorion的方法自Stein（1956）????Σn2的情況，Efron和is5???(??Stein的均值估計(jì)器表示為式（6）：其中，π是傳統(tǒng)的均值向量，??0是均值的平均值（樣本均值），1是維度為n的列向量，所有元素均為1，δ是收縮參數(shù)。Jorion（1985）使用均值收縮來減少投資組合優(yōu)化中的參數(shù)估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。然而，他提出了以下表達(dá)式來確定收縮的最佳水平：式（7）將確定均值向量向其總體均值壓縮的程度。Ortiz的方法估計(jì)均值向量的第三種方法采用了Ortiz等（2023）開發(fā)的方法。該方法的論點(diǎn)總結(jié)如下。Britten-Jones（1999）表明，投資組合優(yōu)化等價(jià)于一種特殊的多元線性回歸。在這種回歸中，解釋變量是常數(shù)，而因變量是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)回報(bào)。其中，????=1/??。的多元線性回歸系數(shù)的值最小化了解釋變量與大于零的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)（等于1/T）的平方距離，且標(biāo)準(zhǔn)差為零。在這種情況下，回歸系數(shù)????是投資組合權(quán)重????。鑒于Markowitz規(guī)則的樣本外性能較低（DeMiguel等，2009報(bào)告）和投資組合權(quán)重的極端波動(dòng)性（Jobson和Korkie，1981等報(bào)告），Ortiz等（2023）使用協(xié)假設(shè)維度為T×n的矩陣R存儲(chǔ)T個(gè)金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在這種情況下，其中，y是維度為T的列向量，所有元素均為1/T。但：因此，我們可以使用以下作為均值向量的估計(jì)器：其中，π^0n然后，我們可以計(jì)算：β(δ)的方差及其與期望值的平均距離（最小二乘估計(jì)器（LSEs）的方差）可LSEs的方差的跡為：（15）δ010.01長分配δL(δ)隨δ249%Jorion的方法，像Ortiz的方法一樣，將均值向量收縮到其總體均值。然而，損失函數(shù)不同。前者最小化估計(jì)均值向量的均方誤差，而后者最小化投資組合權(quán)重圖表2多變量均值估計(jì)的均方誤差示例《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：說明：該圖顯示了隨著均值向量向其總體均值壓縮，估計(jì)投資組合權(quán)重的均方誤差如何變化。隨著收縮從零增加，均方誤差（ECM）減少直至達(dá)到最小值，然后再次增加。我們使用了來自30個(gè)行業(yè)投資組合的120個(gè)月度觀測值（1926年7月至1933年7月）。資料來源：評估方法使用兩個(gè)性能指標(biāo)來評估三種估計(jì)均值向量方法的效果：樣本外夏普比率和投資組合權(quán)重的波動(dòng)性。樣本外夏普比率表示獲得的平均風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)除以標(biāo)準(zhǔn)差，而投資組合權(quán)重的波動(dòng)性表示權(quán)重隨時(shí)間的變化程度。較高的夏普比率對投資者來說是積極的，而權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差較高則不受歡迎。我們使用類似于DeMiguel等（2009）和Ortiz等（2023）中使用的滾動(dòng)樣本評估三種方法的實(shí)證性能。考慮一組T個(gè)觀測值，n個(gè)金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)被視為大小為m的移動(dòng)樣本。使用前m個(gè)觀測值計(jì)算投資組合權(quán)重。然后確定下一(T?m)(T?m)實(shí)現(xiàn)的超額回報(bào)計(jì)算如下：使用此實(shí)現(xiàn)超額回報(bào)，我們計(jì)算三種規(guī)則的樣本外夏普比率，首先計(jì)算：然后，實(shí)現(xiàn)的夏普比率為：獲得的(T?m)個(gè)投資組合權(quán)重用于計(jì)算每個(gè)投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差：???是??結(jié)果與討論數(shù)據(jù)我們考慮了五個(gè)數(shù)據(jù)庫：30（1926720249月）。25（1926720249月）。25（196372024年9月）。32（19637月20249月。40（1980320239French樣本外夏普比率330來自French網(wǎng)站）10、20、...、250201301/??）給Ortiz（圖表3樣本外夏普比率：30個(gè)等權(quán)重工業(yè)行業(yè)組合的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：42510、20、、250資料來源：30到50個(gè)月度觀測值的移動(dòng)樣本大小，1/??投資規(guī)則（紅線）給出了更高的樣本外夏普比率。對于更大的樣本大小，Ortiz方法（藍(lán)線）占據(jù)優(yōu)勢。圖表4樣本外夏普比率：按規(guī)模和賬面市值比排序的組合《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：52510、20、250301/??）Ortiz（）資料來源：圖表5樣本外夏普比率：按賬面市值比和經(jīng)營盈利能力排序的組合《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：62510、20、25030401/??）Ortiz（）資料來源：圖表6樣本外夏普比率：按規(guī)模、賬面市值比和經(jīng)營盈利能力形成的組合《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：740180資料來源：個(gè)樣本觀測值的移動(dòng)樣本大小，1/??規(guī)則的樣本外夏普比率更高。對于大于180Ortiz1/??190Jorion1/??1/??圖表7樣本外夏普比率：40個(gè)美國大盤股《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：從上述結(jié)果可以看出，用于選擇投資組合的均值向量估計(jì)方法至關(guān)重要。傳統(tǒng)方法的表現(xiàn)不如James–Stein型方法。在分析的兩種收縮方法中，通過最小化投資組合權(quán)重的均方誤差來確定收縮水平的方法表現(xiàn)更好。資料來源：最小化投資組合權(quán)重均方誤差的方法表現(xiàn)更優(yōu)，原因在于該方法同時(shí)進(jìn)行估計(jì)與優(yōu)化，而其他方法先估計(jì)后優(yōu)化。資料來源：投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差資料來源：50100、150150200250以下是投資組合權(quán)重的平均波動(dòng)率。然而，僅提供30個(gè)工業(yè)行業(yè)投資組合數(shù)據(jù)集的單個(gè)投資組合權(quán)重的分解。對于其他數(shù)據(jù)集，提供了所有投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差及其使用每種方法估計(jì)的均值的標(biāo)準(zhǔn)差的總結(jié)。這些數(shù)據(jù)集的結(jié)果分解見附錄 A、B、C 和 D（https:///science/article/pii/S1057521925002236#appA）。30個(gè)工業(yè)行業(yè)投資組合的結(jié)果傳統(tǒng)方法83015012.51圖表8使用傳統(tǒng)估計(jì)方法的投資組合權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)差《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所Ortiz的方法930Ortiz50投資組合權(quán)重的波動(dòng)性也顯著低于傳統(tǒng)方法。隨著移動(dòng)樣本大小的增加，投資組合權(quán)重的波動(dòng)性降低。對于等于150個(gè)月度觀測值的樣本大小，投資組合權(quán)重的平均27%16%?！禣ptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表9使用Ortiz《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：Jorion的方法資料來源：1030Jorion樣本大小的增加，投資組合權(quán)重的波動(dòng)性降低。對于等于150個(gè)月度觀測值的樣125%73%。圖表10使用Jorion規(guī)則的投資組合權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)差《《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：30個(gè)工業(yè)行業(yè)投資組合的結(jié)果總結(jié)資料來源：30150Ortiz29.8倍，比Jorion4.6《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：圖表11《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：12OrtizJorionOrtizOrtiz26%Jorion方法9%?！禣ptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表12《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：按規(guī)模和賬面市值比排序的25個(gè)股票投資組合的結(jié)果資料來源：1325150Ortiz26Jorion3.1《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表13《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：圖表14OrtizOrtiz12%Jorion5%。資料來源：《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表14《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：按賬面市值比和盈利能力排序的25個(gè)股票投資組合的結(jié)果總結(jié)資料來源：圖表15總結(jié)了每種均值向量估計(jì)方法的25個(gè)股票投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差的平150Ortiz26Jorion3.9《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表15《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：圖表16OrtizOrtiz36%Jorion18%。資料來源：《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表16《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：按規(guī)模、賬面市值比和經(jīng)營盈利能力形成的32個(gè)投資組合的結(jié)果資料來源：圖表17總結(jié)了投資組合權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果。它顯示了每種均值向量估計(jì)方法32150Ortiz2.8Jorion1.9倍。隨《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表17《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：18OrtizJorionOrtizOrtiz29%Jorion方法14%。資料來源：《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表18《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：40個(gè)單資產(chǎn)的結(jié)果資料來源：圖表19總結(jié)了投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果。對于等于150個(gè)月度觀測值的樣本大小，Ortiz方法的投資組合權(quán)重平均波動(dòng)性比傳統(tǒng)方法小2.2倍，比Jorion方法小1.3倍。隨著滾動(dòng)樣本大小的增加，這些差異會(huì)減小?！禣ptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表19《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：20估計(jì)的均值OrtizJorionOrtiz資料來源：Ortiz44%，比Jorion方法低11%。《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所圖表20《OptimalshrinkageofmeansintheMarkowitzmodel》，華安證券研究所資料來源：總之，Ortiz方法在估計(jì)均值向量時(shí)比其他方法提供了更高的夏普比率，投資組合權(quán)重的波動(dòng)性更低，且均值向量的估計(jì)更準(zhǔn)確。這可能表明均值的假設(shè)基本價(jià)資料來源：