高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省臨汾市2025屆高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練考試(三)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槿?，，，所以，則.故選：A2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得動(dòng)點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和為，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，易知，，，即方程為.故選：C.3.已知，，則（）A.3 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，可得，，則，故選：B4.公共汽車上有3名乘客，在沿途的4個(gè)車站隨機(jī)下車，3名乘客下車互不影響，則恰有2名乘客在第4個(gè)車站下車的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得每個(gè)人在某個(gè)站下車的概率為，則恰有兩人在第站下車的概率為.故選：D.5.為了得到函數(shù)的圖象，只要把正弦函數(shù)上所有點(diǎn)（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)?，所以將函?shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故選：D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B.3 C.4 D.【答案】D【解析】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)，且，，消去x得，由韋達(dá)定理得，則，由焦半徑公式得，，因?yàn)?，所以，?lián)立方程組，解得或（舍去），則，故D正確.故選：D7.已知，，，設(shè)，記，則（）A.624 B.625 C.626 D.627【答案】C【解析】由題意可得，，則，整理可得，即，所以.故選：C.8.已知，則滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，易知其定義域?yàn)?，由，則函數(shù)為偶函數(shù)，，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則，即，整理可得，分解因式可得，解得.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若角A，B，C成等差數(shù)列，則（）A.，，B.當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為6C.當(dāng)時(shí)，面積的最大值為D.當(dāng)時(shí)，為等邊三角形【答案】BCD【解析】∵角A，B，C成等差數(shù)列，∴，即，∴，A，C不確定，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，即，，即周長(zhǎng)的最大值為6，故B正確；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即面積的最大值為，故C正確；當(dāng)，，∴，，即，，∵，∴，,即為等邊三角形，故D正確.故選：BCD10.如圖，在四面體OABC中，，，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OC，BC，AB上的點(diǎn)，且，，則（）A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B.當(dāng)時(shí)，C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】A：由，得，所以，得，所以四邊形為平行四邊形，即四點(diǎn)共面，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C：由，得，所以，，所以，所以，則，即，故C正確；D：由，得，，，得，因?yàn)?，的值無法判斷，所以不一定成立，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與有唯一公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.B.設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為N，則M，N，三點(diǎn)共線C.當(dāng)時(shí)，的面積為D.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在離心率為的雙曲線上【答案】ABD【解析】A：雙曲線的漸近線方程為，而，又雙曲線與直線有唯一公共點(diǎn)，則直線與雙曲線相切，由，消去得①，由，化簡(jiǎn)得，故A正確；B：將代入方程①，得，即，解得，代入直線方程得，得，即.由，得直線的方程為，即，易知，設(shè)，由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得，解得，即，又，所以，，，故，所以三點(diǎn)共線，故B正確；C：由選項(xiàng)B知的方程為，令，得；令，得，即.當(dāng)時(shí)，，不妨取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；D：由選項(xiàng)C知，，得，所以，整理得，為焦點(diǎn)在軸上且的雙曲線，其離心率為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則_______．【答案】2【解析】由題意可得，解得：，故答案為：13.已知正三棱柱各棱長(zhǎng)均為2，則直線與AB所成角的正弦值為_______．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切危?又因?yàn)檎庵?，平面平面，平面平面，平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知正三棱柱各棱長(zhǎng)均為，則，，，。所以，.則.設(shè)直線與所成角為，所以.故答案為：14.已知集合，其中，，．表示中所有不同值的個(gè)數(shù)．若集合，則_______；若集合，則_______．【答案】①.5②.【解析】由，得；∵最多有個(gè)值，∴，又集合，任取，，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即所有的值兩兩不同，∴．故答案為：5；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.“政府送溫暖，老人有飯吃”．近年來，我國各級(jí)政府重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)創(chuàng)建了“幸福大食堂”、“愛心午餐”、“老人食堂”等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問題．據(jù)統(tǒng)計(jì)“幸福大食堂”2025年1月份共為1600名老人提供了午餐服務(wù)，其中好評(píng)有1200位老人，其余均為非好評(píng)．為了提升菜品品質(zhì)，該食堂更換了廚師，更換廚師后該食堂2025年2月份為4000名老人提供了午餐服務(wù)，其中好評(píng)有3200位老人，其余均為非好評(píng)．好評(píng)非好評(píng)合計(jì)更換廚師前更換廚師后合計(jì)（1）完成上面：列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該食堂的好評(píng)率是否與更換廚師有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從更換廚師前的評(píng)價(jià)中，用比例分配的分層抽樣方法做抽樣調(diào)查，擬從好評(píng)和非好評(píng)兩層中抽取8位老人，再從這8位老人中隨機(jī)抽取3位，記抽取的3位老人中好評(píng)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）由題可得列聯(lián)表，好評(píng)非好評(píng)合計(jì)更換廚師前12004001600更換廚師后32008004000合計(jì)44005600記零假設(shè)為：該食堂的好評(píng)率和更換廚師無關(guān)．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該食堂的好評(píng)率和更換廚師有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過．（2）由題可知，抽樣調(diào)查的8位老人中，好評(píng)的人數(shù)為人，非好評(píng)的人數(shù)為2人，則的可能取值為．而；；；從而X的分布列為：x123P則數(shù)學(xué)期望．16.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，得，因?yàn)?，所以，則，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）方法一：由（1）知方法二：由（1）知設(shè)，則可得，所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以的前n項(xiàng)和，設(shè)所以的前n項(xiàng)和所以．17.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）問經(jīng)過三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，所以，得設(shè)，，則有，，二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，得，所以，，所以設(shè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為．（2）方法一：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓為圓，易知的垂直平分線為，的垂直平分線為，聯(lián)立，解得，即，圓M的半徑，所以圓M的方程為，即所以當(dāng)，，等式恒成立，故圓M恒過點(diǎn)．方法二：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓M為，又因?yàn)椋?，解之得：，，，故所求圓的方程為，即所以當(dāng)，，等式恒成立，故圓恒過點(diǎn)．18.如圖，已知圓柱軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P是圓上異于點(diǎn)C，D的任意一點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若，求點(diǎn)D到平面的距離；（3）求與平面所成角的正弦值的取值范圍．（1）證明：因?yàn)镃D是圓的直徑，所以又因?yàn)榈酌鍼DC，平面PCD，所以因?yàn)椋荚谄矫鎯?nèi)，所以底面，因面，所以平面平面．（2）解：方法一：因?yàn)?，所以P為弧CD的中點(diǎn)，所以，，由（1）知底面，因?yàn)槊?，所以在中，，，故，設(shè)D到平面的距離為d，由得，解得，即點(diǎn)D到平面ACP的距離為方法二：過點(diǎn)D作，垂足為E因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面ACP，因?yàn)椋訮為弧CD的中點(diǎn)，則，，在中，所以，即點(diǎn)D到平面的距離為．（3）解：方法一：由（2）知，平面，所以即為AD與平面ACP所成角．設(shè)，，在中，，，，所以所以．因?yàn)?，所以，所以，即與平面所成角的正弦值的取值范圍為．方法二：如圖，以為原點(diǎn)，分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則．，，，，故，，設(shè)，則，，故，設(shè)平面ACP的法向量為，則即取設(shè)AD與平面所成角為θ，則因?yàn)?，故所以，即，即AD與平面ACP所成角的正弦值的取值范圍為．19.設(shè)，函數(shù)．（1）若曲線在處的切線恒過原點(diǎn)，求的值；（2）若存在一組，使得的定義域和值域均為（ⅰ）求a的取值范圍；（ⅱ）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，故在處的切線方程為因?yàn)槠溥^原點(diǎn)，所以解得：．（2）（?。┯桑?）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，即，，所以，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，即在上有兩個(gè)根．設(shè)，，由知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以．又因?yàn)椋灾恍枳C時(shí)，有大于1的根即可．由的單調(diào)性知其成立．綜上：．（ⅱ）由（?。┲?dāng)，即時(shí)，時(shí)，此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，有m、n滿足，設(shè)，所以，則．令，則，設(shè)，由知在單調(diào)遞減，于是，所以，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以m的取值范圍為．山西省臨汾市2025屆高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練考試(三)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槿?，，所以，則.故選：A2.已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得動(dòng)點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和為，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，易知，，，即方程為.故選：C.3.已知，，則（）A.3 B.1 C. D.【答案】B【解析】由，可得，，則，故選：B4.公共汽車上有3名乘客，在沿途的4個(gè)車站隨機(jī)下車，3名乘客下車互不影響，則恰有2名乘客在第4個(gè)車站下車的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得每個(gè)人在某個(gè)站下車的概率為，則恰有兩人在第站下車的概率為.故選：D.5.為了得到函數(shù)的圖象，只要把正弦函數(shù)上所有點(diǎn)（）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】因?yàn)?，所以將函?shù)圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，故選：D.6.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，則（）A. B.3 C.4 D.【答案】D【解析】由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)，且，，消去x得，由韋達(dá)定理得，則，由焦半徑公式得，，因?yàn)椋?，?lián)立方程組，解得或（舍去），則，故D正確.故選：D7.已知，，，設(shè)，記，則（）A.624 B.625 C.626 D.627【答案】C【解析】由題意可得，，則，整理可得，即，所以.故選：C.8.已知，則滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，易知其定義域?yàn)?，由，則函數(shù)為偶函數(shù)，，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，則，即，整理可得，分解因式可得，解得.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若角A，B，C成等差數(shù)列，則（）A.，，B.當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最大值為6C.當(dāng)時(shí)，面積的最大值為D.當(dāng)時(shí)，為等邊三角形【答案】BCD【解析】∵角A，B，C成等差數(shù)列，∴，即，∴，A，C不確定，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，即，，即周長(zhǎng)的最大值為6，故B正確；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即面積的最大值為，故C正確；當(dāng)，，∴，，即，，∵，∴，,即為等邊三角形，故D正確.故選：BCD10.如圖，在四面體OABC中，，，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OC，BC，AB上的點(diǎn)，且，，則（）A.E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面B.當(dāng)時(shí)，C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】AC【解析】A：由，得，所以，得，所以四邊形為平行四邊形，即四點(diǎn)共面，故A正確；B：當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C：由，得，所以，，所以，所以，則，即，故C正確；D：由，得，，，得，因?yàn)?，的值無法判斷，所以不一定成立，故不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與有唯一公共點(diǎn)M，過點(diǎn)M且與l垂直的直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，，則下列說法正確的是（）A.B.設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為N，則M，N，三點(diǎn)共線C.當(dāng)時(shí)，的面積為D.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在離心率為的雙曲線上【答案】ABD【解析】A：雙曲線的漸近線方程為，而，又雙曲線與直線有唯一公共點(diǎn)，則直線與雙曲線相切，由，消去得①，由，化簡(jiǎn)得，故A正確；B：將代入方程①，得，即，解得，代入直線方程得，得，即.由，得直線的方程為，即，易知，設(shè)，由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得，解得，即，又，所以，，，故，所以三點(diǎn)共線，故B正確；C：由選項(xiàng)B知的方程為，令，得；令，得，即.當(dāng)時(shí)，，不妨取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；D：由選項(xiàng)C知，，得，所以，整理得，為焦點(diǎn)在軸上且的雙曲線，其離心率為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則_______．【答案】2【解析】由題意可得，解得：，故答案為：13.已知正三棱柱各棱長(zhǎng)均為2，則直線與AB所成角的正弦值為_______．【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切危?又因?yàn)檎庵?，平面平面，平面平面，平面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.已知正三棱柱各棱長(zhǎng)均為，則，，，。所以，.則.設(shè)直線與所成角為，所以.故答案為：14.已知集合，其中，，．表示中所有不同值的個(gè)數(shù)．若集合，則_______；若集合，則_______．【答案】①.5②.【解析】由，得；∵最多有個(gè)值，∴，又集合，任取，，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，即，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即所有的值兩兩不同，∴．故答案為：5；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.“政府送溫暖，老人有飯吃”．近年來，我國各級(jí)政府重視提高老年人的生活質(zhì)量．在醫(yī)療、餐飲等多方面，為老人提供了方便．單從用餐方面，各社區(qū)創(chuàng)建了“幸福大食堂”、“愛心午餐”、“老人食堂”等不同名稱的食堂，解決了老人的吃飯問題．據(jù)統(tǒng)計(jì)“幸福大食堂”2025年1月份共為1600名老人提供了午餐服務(wù)，其中好評(píng)有1200位老人，其余均為非好評(píng)．為了提升菜品品質(zhì)，該食堂更換了廚師，更換廚師后該食堂2025年2月份為4000名老人提供了午餐服務(wù)，其中好評(píng)有3200位老人，其余均為非好評(píng)．好評(píng)非好評(píng)合計(jì)更換廚師前更換廚師后合計(jì)（1）完成上面：列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷該食堂的好評(píng)率是否與更換廚師有關(guān)聯(lián)；（2）現(xiàn)從更換廚師前的評(píng)價(jià)中，用比例分配的分層抽樣方法做抽樣調(diào)查，擬從好評(píng)和非好評(píng)兩層中抽取8位老人，再從這8位老人中隨機(jī)抽取3位，記抽取的3位老人中好評(píng)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）由題可得列聯(lián)表，好評(píng)非好評(píng)合計(jì)更換廚師前12004001600更換廚師后32008004000合計(jì)44005600記零假設(shè)為：該食堂的好評(píng)率和更換廚師無關(guān)．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該食堂的好評(píng)率和更換廚師有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過．（2）由題可知，抽樣調(diào)查的8位老人中，好評(píng)的人數(shù)為人，非好評(píng)的人數(shù)為2人，則的可能取值為．而；；；從而X的分布列為：x123P則數(shù)學(xué)期望．16.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）由，得，因?yàn)?，所以，則，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以．（2）方法一：由（1）知方法二：由（1）知設(shè)，則可得，所以是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以的前n項(xiàng)和，設(shè)所以的前n項(xiàng)和所以．17.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）問經(jīng)過三點(diǎn)的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)（與無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)，所以，得設(shè)，，則有，，二次函數(shù)與y軸交于點(diǎn)C，得，所以，，所以設(shè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為．（2）方法一：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓為圓，易知的垂直平分線為，的垂直平分線為，聯(lián)立，解得，即，圓M的半徑，所以圓M的方程為，即所以當(dāng)，，等式恒成立，故圓M恒過點(diǎn)．方法二：設(shè)經(jīng)過三點(diǎn)的圓M為，又因?yàn)?，，解之得：，，，故所求圓的方程為，即所以當(dāng)，，等式恒成立，故圓恒過點(diǎn)．18.如圖，