高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市成華區(qū)某校2025屆高三下學期4月三診模擬數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，函數(shù)有意義，則，即，所以.故選：B2.某中學隨機抽取了60名學生，統(tǒng)計了他們某天學習數(shù)學的時間，數(shù)據(jù)如下表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）學習時間／分鐘60708090100110120人數(shù)9101412852A.75分鐘 B.90分鐘 C.95分鐘 D.100分鐘【答案】C【解析】因為，所以第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排列的第45項和第46項的平均數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可知，第45項為90，第46項為100，所以第75百分位數(shù)是分鐘．故選：C.3.已知平面向量，則在方向上的投影向量坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以在方向上的投影向量坐標為.故選：B.4.已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸非負半軸，若角的終邊過點，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件可知，，則.故選：A5.甲?乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲?乙兩人恰好選擇同一崗位的選擇方法有（）種.A.18 B.27 C.36 D.72【答案】C【解析】若甲?乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；若甲?乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；所以共有種不同安排方法.故選：C6.已知拋物線，點，直線，記關于的對稱點為，且在上，則的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，因為的斜率為，所以直線的斜率為，故直線方程為4，將直線的方程與聯(lián)立，設兩直線的交點為，則，所以，解得，將的坐標代入的方程，有，解得，故的準線方程為.故選:B.7.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則=（）A.4036 B.4040 C.4044 D.4048【答案】D【解析】由題意得為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)關于點中心對稱，由為偶函數(shù)，所以可得為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關于直線對稱，所以，從而得，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因為，所以，則，因為關于直線對稱，所以，又因為關于點對稱，所以，又因為，又因為，所以，所以，故D正確.故選：D8.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于點，交的右支于點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設雙曲線的右焦點為，連接，過作，垂足為，則，所以．因為，所以，即為線段的中點．因為為的中點，所以，所以，．設，則，所以，，，所以．在中，由勾股定理得，即，解得，所以，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若的展開式的各二項式系數(shù)之和為32，則（）A.B.展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大C.展開式中項的系數(shù)為1960D.展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有2項【答案】AC【解析】對于A，由題意得，故A正確；對于B，因為，所以展開式中的二項式系數(shù)最大的是，分別為展開式中的第三項和第四項的二項式系數(shù)，故B錯誤；對于C，的展開式的通項公式為，令，則，即展開式中項的系數(shù)為1960，故C正確；對于D，因為的展開式的通項公式為，所以若，則時，對應的項為，均為有理項，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有3項，故D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A.函數(shù)的值域為B.若函數(shù)關于對稱，則的最小值為C.若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是D.若，當時，函數(shù)的所有零點的和為【答案】ABD【解析】因為，又，所以函數(shù)的值域為，所以選項A正確；由函數(shù)關于對稱可得，，，，的最小值為，所以選項B正確；若函數(shù)在上單調(diào)，則，，解得，，，所以選項C錯誤；若，則，令，即，當時，則，，則，，所以選項D正確．故選：ABD．11.法國天文學家喬凡尼?多美尼科?卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運動規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，并稱之為卡西尼卵形線（CassiniOval）．已知在平面直角坐標系中，，，動點滿足，其軌跡為．下列結論中，正確的是（）A.曲線關于軸對稱B.原點始終在曲線的內(nèi)部C.當時，面積的最大值為D.在第一象限的點的縱坐標的最大值為【答案】ACD【解析】設，由，得．將代入上式，等式仍成立，知曲線關于軸對稱，所以選項A正確；當時，將代入等式成立，知原點在曲線上，所以選項B錯誤；當時，方程整理得．令，則，若方程有兩個負根，則，推出無解，故方程至少有一個正根，由得，面積的最大值為，所以選項C正確．由，得．令，得，所以．所以．所以．所以選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為_______.【答案】【解析】設，則，即得，故z的虛部為.故答案為：13.在平行四邊形中，，與交于點，，則該平行四邊形的面積為____________．【答案】【解析】如圖，因為四邊形是平行四邊形，所以，設.在中，，，根據(jù)余弦定理，在中，，，根據(jù)余弦定理，兩式相減可得，.所以故答案為：.14.在三棱錐中，兩兩垂直，且．若M為該三棱錐外接球上的一動點，則的最小值為____________.【答案】【解析】三棱錐中，兩兩垂直，且．若為該三棱錐外接球上的一動點，如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的交點，以為原點建立空間直角坐標系，得到，設三棱錐外接球的半徑即正方體外接球半徑為，則，故，故，由向量模長公式得，而，設，由數(shù)量積的定義得，所以，由余弦函數(shù)性質(zhì)得當時，取得最小值．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.2023年5月15日至21日是第二個全國家庭教育宣傳周，為進一步促進家校共育，某校舉行“家教伴成長，協(xié)同育新人”主題活動，最終評出了8位“最美家長”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學校準備從這8位“最美家長”中每次隨機選出一人做家庭教育經(jīng)驗分享．（1）若每位“最美家長”最多做一次家庭教育經(jīng)驗分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和；（2）現(xiàn)需要每天從這8位“最美家長”中隨機選1人，連續(xù)4天分別為低年級、中年級、高年級和全體教師各做1場經(jīng)驗分享，1天只做1場，且人選可以重復，記這4天中爸爸做經(jīng)驗分享的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．解：（1）根據(jù)題意可知，，．（2）爸爸做經(jīng)驗分享的天數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，故，，，，，故X的分布列為：X01234P根據(jù)二項分布的期望公式可知，．16.如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，是等邊三角形，，，且平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為四邊形是正方形，則，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，又，所以.（2）解法一：在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面平面，得平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，，設平面的法向量為，則,令，得，設直線與平面所成角為，，直線與平面所成角的余弦值為.解法二：取中點，連接，因為平面，平面，則，因為，，則，，則四邊形為矩形，則且，，則，取的中點，的中點，連接、.因為為等邊三角形，為的中點，則，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，且，因為平面，所以，，則，直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角.因為，平面，平面，則平面，故點到平面的距離等于，設點到平面的距離為，由，則，因為，，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，且，在中，，，取的中點，連接，則，所以，，則則，則，則，直線與平面所成角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足，（），記．（1）求證：等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前n項和為．若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（1）證明：由已知，，，，，又,，數(shù)列中任意一項不為0,，數(shù)列是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，.（2）解：由第（1）問知，，則，設數(shù)列的前項和為,所以①，②，所以①-②可得：，所以.由，得，化簡得.當為奇數(shù)時，有，即，而，所以；當為偶數(shù)時，有，而，所以.綜上，的取值范圍為.18.已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點．（1）求的方程；（2）過點，斜率不為0的直線與橢圓交于兩點，點，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于．若，求直線的斜率．解：（1）設的方程為且，將兩點代入得，解得，故的方程為．（2）依題意，設直線，聯(lián)立，消去整理得，則，即，且．直線，直線，令，則，令，則，由，得，即，整理得，因為，所以，解得，所以直線的斜率為．19.定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在使得，則稱與為“契合函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)和是否為“契合函數(shù)”；（2）若函數(shù)和不為“契合西數(shù)”，求的取值范圍；（3）若函數(shù)和在區(qū)間上為“契合函數(shù)”，求的取值范圍．解：（1）根據(jù)定義，若與為“契合函數(shù)”，則在公共定義域內(nèi)有解．又，所以，即，解得，所以與為“契合函數(shù)”．（2）令，因為與不為“契合函數(shù)，又為上的連續(xù)函數(shù)，所以在上無零點，即恒為負或恒為正．若在上恒成立，取，則，即，又當時，，令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，與假設矛盾，所以不存在使得在上恒成立．若在上恒成立，即，令，所以，又在上單調(diào)遞減，，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是．（3）令，則，因為與在上為“契合函數(shù)”，所以在上存在零點，即在上存在零點．又因為，當且時，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，此時在上不存在零點，不滿足題意；當時，當時，，所以，當時，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，故在上存在唯一零點，設為，使得，所以當時，；當時，；又當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上存在唯一極小值點，因為，所以，又因為，所以在上存在唯一零點，所以函數(shù)與在上為“契合函數(shù)”．綜上，的取值范圍是．四川省成都市成華區(qū)某校2025屆高三下學期4月三診模擬數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，，函數(shù)有意義，則，即，所以.故選：B2.某中學隨機抽取了60名學生，統(tǒng)計了他們某天學習數(shù)學的時間，數(shù)據(jù)如下表，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）學習時間／分鐘60708090100110120人數(shù)9101412852A.75分鐘 B.90分鐘 C.95分鐘 D.100分鐘【答案】C【解析】因為，所以第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排列的第45項和第46項的平均數(shù)，由表中數(shù)據(jù)可知，第45項為90，第46項為100，所以第75百分位數(shù)是分鐘．故選：C.3.已知平面向量，則在方向上的投影向量坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以在方向上的投影向量坐標為.故選：B.4.已知角的頂點為坐標原點，始邊為x軸非負半軸，若角的終邊過點，則=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由條件可知，，則.故選：A5.甲?乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲?乙兩人恰好選擇同一崗位的選擇方法有（）種.A.18 B.27 C.36 D.72【答案】C【解析】若甲?乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；若甲?乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為時，則有種不同安排方法；所以共有種不同安排方法.故選：C6.已知拋物線，點，直線，記關于的對稱點為，且在上，則的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，因為的斜率為，所以直線的斜率為，故直線方程為4，將直線的方程與聯(lián)立，設兩直線的交點為，則，所以，解得，將的坐標代入的方程，有，解得，故的準線方程為.故選:B.7.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，則=（）A.4036 B.4040 C.4044 D.4048【答案】D【解析】由題意得為奇函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)關于點中心對稱，由為偶函數(shù)，所以可得為偶函數(shù)，則，所以函數(shù)關于直線對稱，所以，從而得，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因為，所以，則，因為關于直線對稱，所以，又因為關于點對稱，所以，又因為，又因為，所以，所以，故D正確.故選：D8.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于點，交的右支于點，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設雙曲線的右焦點為，連接，過作，垂足為，則，所以．因為，所以，即為線段的中點．因為為的中點，所以，所以，．設，則，所以，，，所以．在中，由勾股定理得，即，解得，所以，．在中，由勾股定理得，即，解得，所以．故選：C．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若的展開式的各二項式系數(shù)之和為32，則（）A.B.展開式中只有第三項的二項式系數(shù)最大C.展開式中項的系數(shù)為1960D.展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有2項【答案】AC【解析】對于A，由題意得，故A正確；對于B，因為，所以展開式中的二項式系數(shù)最大的是，分別為展開式中的第三項和第四項的二項式系數(shù)，故B錯誤；對于C，的展開式的通項公式為，令，則，即展開式中項的系數(shù)為1960，故C正確；對于D，因為的展開式的通項公式為，所以若，則時，對應的項為，均為有理項，所以展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有3項，故D錯誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A.函數(shù)的值域為B.若函數(shù)關于對稱，則的最小值為C.若函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是D.若，當時，函數(shù)的所有零點的和為【答案】ABD【解析】因為，又，所以函數(shù)的值域為，所以選項A正確；由函數(shù)關于對稱可得，，，，的最小值為，所以選項B正確；若函數(shù)在上單調(diào)，則，，解得，，，所以選項C錯誤；若，則，令，即，當時，則，，則，，所以選項D正確．故選：ABD．11.法國天文學家喬凡尼?多美尼科?卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運動規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡，并稱之為卡西尼卵形線（CassiniOval）．已知在平面直角坐標系中，，，動點滿足，其軌跡為．下列結論中，正確的是（）A.曲線關于軸對稱B.原點始終在曲線的內(nèi)部C.當時，面積的最大值為D.在第一象限的點的縱坐標的最大值為【答案】ACD【解析】設，由，得．將代入上式，等式仍成立，知曲線關于軸對稱，所以選項A正確；當時，將代入等式成立，知原點在曲線上，所以選項B錯誤；當時，方程整理得．令，則，若方程有兩個負根，則，推出無解，故方程至少有一個正根，由得，面積的最大值為，所以選項C正確．由，得．令，得，所以．所以．所以．所以選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.復數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為_______.【答案】【解析】設，則，即得，故z的虛部為.故答案為：13.在平行四邊形中，，與交于點，，則該平行四邊形的面積為____________．【答案】【解析】如圖，因為四邊形是平行四邊形，所以，設.在中，，，根據(jù)余弦定理，在中，，，根據(jù)余弦定理，兩式相減可得，.所以故答案為：.14.在三棱錐中，兩兩垂直，且．若M為該三棱錐外接球上的一動點，則的最小值為____________.【答案】【解析】三棱錐中，兩兩垂直，且．若為該三棱錐外接球上的一動點，如圖，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的交點，以為原點建立空間直角坐標系，得到，設三棱錐外接球的半徑即正方體外接球半徑為，則，故，故，由向量模長公式得，而，設，由數(shù)量積的定義得，所以，由余弦函數(shù)性質(zhì)得當時，取得最小值．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.2023年5月15日至21日是第二個全國家庭教育宣傳周，為進一步促進家校共育，某校舉行“家教伴成長，協(xié)同育新人”主題活動，最終評出了8位“最美家長”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學校準備從這8位“最美家長”中每次隨機選出一人做家庭教育經(jīng)驗分享．（1）若每位“最美家長”最多做一次家庭教育經(jīng)驗分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求和；（2）現(xiàn)需要每天從這8位“最美家長”中隨機選1人，連續(xù)4天分別為低年級、中年級、高年級和全體教師各做1場經(jīng)驗分享，1天只做1場，且人選可以重復，記這4天中爸爸做經(jīng)驗分享的天數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．解：（1）根據(jù)題意可知，，．（2）爸爸做經(jīng)驗分享的天數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且，故，，，，，故X的分布列為：X01234P根據(jù)二項分布的期望公式可知，．16.如圖，在多面體中，底面是邊長為的正方形，是等邊三角形，，，且平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為四邊形是正方形，則，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，又，所以.（2）解法一：在平面內(nèi)過作，由平面平面，平面平面，得平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，，設平面的法向量為，則,令，得，設直線與平面所成角為，，直線與平面所成角的余弦值為.解法二：取中點，連接，因為平面，平面，則，因為，，則，，則四邊形為矩形，則且，，則，取的中點，的中點，連接、.因為為等邊三角形，為的中點，則，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面，且，因為平面，所以，，則，直線與平面所成的角即為直線與平面所成的角.因為，平面，平面，則平面，故點到平面的距離等于，設點到平面的距離為，由，則，因為，，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，且，在中，，，取的中點，連接，則，所以，，則則，則，則，直線與平面所成角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足，（），記．（1）求證：等比數(shù)列；（2）設，數(shù)列的前n項和為．若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（1）證明：由已