高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2025屆高三第三次診斷性檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以，故選：D2.在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則的共軛復數(shù)對應的點位于（）.A.第一象限. B.第二象限. C.第三象限. D.第四象限.【答案】C【解析】復數(shù)對應的點坐標為，因此可表示為：所以，對應的點坐標為，位于第三象限.故選：.3.設,則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時,,此時;當時,,此時或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，又時，，所以，且恒成立，則，所以只有D滿足.故選：D5.已知動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓的圓心軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設圓圓心且與圓切于點P，圓圓心與圓切于點Q，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動圓圓心C的軌跡為以為焦點的橢圓，設，則，解得：，故動圓圓心C的軌跡方程為.故選：A6.已知正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為8，側棱長為，則其體積為（）A.108 B.112 C.120 D.124【答案】B【解析】取正四棱臺過側棱的軸截面，上、下底面中心分別為，如下圖所示：依題意可得，因此可得，所以其體積為.故選：B7.已知實數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】兩邊取對得，則且，即同號或，所以，當時，不成立，A錯；由，B對；由，若時，，C錯；由，且，當時，，此時，D錯.故選：B8.在中，，的角平分線AD交BC于點D，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，則，設，則，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，因，兩式相比，可得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，化簡得，所以或（舍去），又，所以，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某地社交媒體用戶的日活躍時長（單位：小時）服從正態(tài)分布，則（）A.，B.若，則C.D.【答案】ACD【解析】因為（單位：小時）服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布知識，，，A正確；若，則，得，B錯誤；，根據(jù)原則，可得，C正確；，，由對稱性可知，所以，D正確.故選：ACD10.對于空間中一組向量，若存在不全為零的實數(shù)使得，則稱這組向量線性相關，否則稱這組向量線性無關.則（）A.若，，，則，，線性相關B.若，，，則，，線性無關C.若，，線性無關，則，，線性相關D.對于非零向量，，，若存在實數(shù)，使得，則，，線性相關【答案】AB【解析】若，，，根據(jù)題意，設，即，所以，解得，取，所以，A正確；若，，，根據(jù)題意，設，即，所以，解得，所以，，線性無關，B正確；假設，，線性相關，則存在不全為零的實數(shù)使得，則，因為，，線性無關，則，得，與假設矛盾，C錯誤；對于非零向量，，，若存在實數(shù)，使得，即，所以，但不能確定，，是否線性相關，D錯誤.故選：AB11.聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音一般都是純音合成的復合音.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù).復合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為的基音的同時，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等.即我們聽到的聲音的函數(shù)是.則（）A.的圖象關于對稱 B.在上有2個極大值點，1個極小值點C. D.在上恒成立【答案】ABD【解析】，所以對任意有，所以的圖象關于對稱，所以A正確；，令，則，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在和處有極大值，在出有極小值，所以B在正確；，疊加項可正可負，故的范圍比范圍大，所以C錯誤；當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，在先正后負，但振幅逐漸減小，所有項疊加后，正項占主導地位，所以函數(shù)值始終為正，由周期性，結論推廣到，所以D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的離心率為_________．【答案】2【解析】13.若函數(shù)值域為，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】當時，，當且僅當時，等號成立，所以，函數(shù)在上的值域為的子集，當時，，則，由可得，由可得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，，即函數(shù)在上的值域為，由題意可得，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.如圖，一電路中，為未閉合的開關，為能正常工作的燈泡，現(xiàn)每次等可能地閉合一個未閉合的開關，直到7個開關全部閉合，則最先亮起的概率為__________.【答案】【解析】先考慮最先亮起的概率，則中至少有一個開關閉合在亮起之后，中也至少有一個開口閉合亮起之后，下面分三種情況討論，情況1：都閉合在亮起之后，這種情況相當于全排列，依次閉合，再將剩余的四個開關全排列之后依次閉合，可能的情況有種；情況2：和中都恰好有1個開關閉合在亮起之后，這種情況要求中有一個開關閉合順序排在第5位，其余兩個排在前四位，前四位剩下的兩個空位分別在和中各選一個進行排列，剩下的兩個排在末兩位，可能的情況有種，情況3：中恰好有三個開關閉合在亮起之后，這種情況要求中有一個開關閉合順序排在第四位，其余兩個排在前三位，剩下四個開關全排列，可能的情況有種，7個開關依次全部閉合共有種情況，故最先亮起的概率為，而和的情況是一樣的，故兩者最先亮起的概率相等，所以最先亮起的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著粵港澳大灣區(qū)建設、黃河流域生態(tài)保護和高質量發(fā)展等區(qū)域重大戰(zhàn)略實施取得新成效，城鄉(xiāng)融合和區(qū)域協(xié)調發(fā)展繼續(xù)推進，年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率增長至.下圖為年年末常住人口城鎮(zhèn)化率的折線圖.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合常住人口城鎮(zhèn)化率與年份代碼的關系.請建立關于的回歸方程；（2）從這年中任取年，記常住人口城鎮(zhèn)化率超過的年數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法公式分別為：，.解：（1）設年份代碼的平均數(shù)為，則.設常住人口城鎮(zhèn)化率的平均數(shù)為，則.因為，，所以.所以.所以關于的回歸方程為.（2）由圖可知，第、、年常住人口城鎮(zhèn)化率超過，由題意可知，的取值可能為、、，因為；；.所以的分布列為：所以的數(shù)學期望為.16.已知正項數(shù)列前項的和為，且.（1）求，；（2）證明：是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項的和.（1）解：由，令，有，因為，所以.令，有，即，由，解得.所以，.（2）證明：當時，由，代入，化簡得，即，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（3）解：由（2）可知.因為是正項數(shù)列，所以，從而.由，所以.所以數(shù)列的前項的和.17.如圖，在矩形中，，，為EC中點，將沿AD翻折至，使得.（1）證明：平面平面；（2）線段PB上是否存在一點，使得AT與平面PAD所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：如圖，設線段的中點為，線段的中點為，連接，，，依題意，，則，由，得，而，，是梯形的中位線，于是，，而平面，，則平面，而平面，于是，又平面，且和一定相交，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：依題意，，則，即，由（1）知平面，平面，則，由平面，，得平面，過作平面，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖：則，，令，則，由平面，得平面的法向量，設直線與平面所成角為，則，解得，所以當時，直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，為的導函數(shù).（i）求實數(shù)取值范圍；（ii）記較小的一個零點為，證明：.（1）解：函數(shù)的定義域為，，①當時，，函數(shù)在單調遞減；②當時，令，解得，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增.綜上所述，當時，函數(shù)在單調遞減；當時，函數(shù)在上單調遞減，在單調遞增.（2）（i）若，由（1）知，至多有一個零點；若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.因為當時，；當時，，所以函數(shù)有兩個零點當且僅當.設，函數(shù)在單調遞增.因為，的解集為.綜上所述，的取值范圍是.（ii）因為，由，結合（i）知，要證，即證，即，當時，因為，，不等式恒成立；當時，由得.即證.即證.即證.設，，由，所以在單調遞增.所以，故原不等式成立.所以.19.如圖，在直角坐標系中，已知是拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于，兩點，且滿足.（1）求的值；（2）已知點，直線，與拋物線的另一個交點分別為，，直線交軸于點，交直線于點.拋物線在，處的切線交于點，過點作平行于軸的直線，分別交直線KD，于點，.（i）求證：點為定點；（ii）記，的面積分別為，，求的最小值.解：（1）由題意，直線斜率必存在，設，，，聯(lián)立得，.所以，.由.解得或（舍）.所以.（2）（i）直線斜率必存在，設，，，聯(lián)立得，所以.同理.又因為，所以.直線斜率必存在，設，聯(lián)立得，所以.解得，所以直線過定點.即的坐標為.（ii）由，且，，得.所以直線的方程為.由直線與直線相交，可得.聯(lián)立解得.因為拋物線方程為，所以.拋物線在點處切線方程為.所以.同理.又，所以的中點為.聯(lián)立得，由及，所以.過作平行于軸的直線交于點，則.所以.當且僅當時，即直線方程為或時等號成立.四川省成都市2025屆高三第三次診斷性檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于，所以，故選：D2.在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是，則的共軛復數(shù)對應的點位于（）.A.第一象限. B.第二象限. C.第三象限. D.第四象限.【答案】C【解析】復數(shù)對應的點坐標為，因此可表示為：所以，對應的點坐標為，位于第三象限.故選：.3.設,則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時,,此時;當時,,此時或；所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)定義域為，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，又時，，所以，且恒成立，則，所以只有D滿足.故選：D5.已知動圓與圓外切，同時與圓內切，則動圓的圓心軌跡方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設圓圓心且與圓切于點P，圓圓心與圓切于點Q，由題意得：，，其中，所以，由橢圓定義可知：動圓圓心C的軌跡為以為焦點的橢圓，設，則，解得：，故動圓圓心C的軌跡方程為.故選：A6.已知正四棱臺的上底面邊長為4，下底面邊長為8，側棱長為，則其體積為（）A.108 B.112 C.120 D.124【答案】B【解析】取正四棱臺過側棱的軸截面，上、下底面中心分別為，如下圖所示：依題意可得，因此可得，所以其體積為.故選：B7.已知實數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】兩邊取對得，則且，即同號或，所以，當時，不成立，A錯；由，B對；由，若時，，C錯；由，且，當時，，此時，D錯.故選：B8.在中，，的角平分線AD交BC于點D，若，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】，則，設，則，在中，由正弦定理，，在中，由正弦定理，，因，兩式相比，可得，所以，所以，由正弦定理得，所以，所以，化簡得，所以或（舍去），又，所以，所以.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知某地社交媒體用戶的日活躍時長（單位：小時）服從正態(tài)分布，則（）A.，B.若，則C.D.【答案】ACD【解析】因為（單位：小時）服從正態(tài)分布，，根據(jù)正態(tài)分布知識，，，A正確；若，則，得，B錯誤；，根據(jù)原則，可得，C正確；，，由對稱性可知，所以，D正確.故選：ACD10.對于空間中一組向量，若存在不全為零的實數(shù)使得，則稱這組向量線性相關，否則稱這組向量線性無關.則（）A.若，，，則，，線性相關B.若，，，則，，線性無關C.若，，線性無關，則，，線性相關D.對于非零向量，，，若存在實數(shù)，使得，則，，線性相關【答案】AB【解析】若，，，根據(jù)題意，設，即，所以，解得，取，所以，A正確；若，，，根據(jù)題意，設，即，所以，解得，所以，，線性無關，B正確；假設，，線性相關，則存在不全為零的實數(shù)使得，則，因為，，線性無關，則，得，與假設矛盾，C錯誤；對于非零向量，，，若存在實數(shù)，使得，即，所以，但不能確定，，是否線性相關，D錯誤.故選：AB11.聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，我們聽到的聲音一般都是純音合成的復合音.已知純音的數(shù)學模型是函數(shù).復合音的產(chǎn)生是因為發(fā)聲體在全段振動，產(chǎn)生頻率為的基音的同時，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動，產(chǎn)生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數(shù)，如2f，3f，4f等.即我們聽到的聲音的函數(shù)是.則（）A.的圖象關于對稱 B.在上有2個極大值點，1個極小值點C. D.在上恒成立【答案】ABD【解析】，所以對任意有，所以的圖象關于對稱，所以A正確；，令，則，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在和處有極大值，在出有極小值，所以B在正確；，疊加項可正可負，故的范圍比范圍大，所以C錯誤；當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，在先正后負，但振幅逐漸減小，所有項疊加后，正項占主導地位，所以函數(shù)值始終為正，由周期性，結論推廣到，所以D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的離心率為_________．【答案】2【解析】13.若函數(shù)值域為，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】當時，，當且僅當時，等號成立，所以，函數(shù)在上的值域為的子集，當時，，則，由可得，由可得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，故當時，，即函數(shù)在上的值域為，由題意可得，即，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.如圖，一電路中，為未閉合的開關，為能正常工作的燈泡，現(xiàn)每次等可能地閉合一個未閉合的開關，直到7個開關全部閉合，則最先亮起的概率為__________.【答案】【解析】先考慮最先亮起的概率，則中至少有一個開關閉合在亮起之后，中也至少有一個開口閉合亮起之后，下面分三種情況討論，情況1：都閉合在亮起之后，這種情況相當于全排列，依次閉合，再將剩余的四個開關全排列之后依次閉合，可能的情況有種；情況2：和中都恰好有1個開關閉合在亮起之后，這種情況要求中有一個開關閉合順序排在第5位，其余兩個排在前四位，前四位剩下的兩個空位分別在和中各選一個進行排列，剩下的兩個排在末兩位，可能的情況有種，情況3：中恰好有三個開關閉合在亮起之后，這種情況要求中有一個開關閉合順序排在第四位，其余兩個排在前三位，剩下四個開關全排列，可能的情況有種，7個開關依次全部閉合共有種情況，故最先亮起的概率為，而和的情況是一樣的，故兩者最先亮起的概率相等，所以最先亮起的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著粵港澳大灣區(qū)建設、黃河流域生態(tài)保護和高質量發(fā)展等區(qū)域重大戰(zhàn)略實施取得新成效，城鄉(xiāng)融合和區(qū)域協(xié)調發(fā)展繼續(xù)推進，年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率增長至.下圖為年年末常住人口城鎮(zhèn)化率的折線圖.（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合常住人口城鎮(zhèn)化率與年份代碼的關系.請建立關于的回歸方程；（2）從這年中任取年，記常住人口城鎮(zhèn)化率超過的年數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法公式分別為：，.解：（1）設年份代碼的平均數(shù)為，則.設常住人口城鎮(zhèn)化率的平均數(shù)為，則.因為，，所以.所以.所以關于的回歸方程為.（2）由圖可知，第、、年常住人口城鎮(zhèn)化率超過，由題意可知，的取值可能為、、，因為；；.所以的分布列為：所以的數(shù)學期望為.16.已知正項數(shù)列前項的和為，且.（1）求，；（2）證明：是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列的前項的和.（1）解：由，令，有，因為，所以.令，有，即，由，解得.所以，.（2）證明：當時，由，代入，化簡得，即，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（3）解：由（2）可知.因為是正項數(shù)列，所以，從而.由，所以.所以數(shù)列的前項的和.17.如圖，在矩形中，，，為EC中點，將沿AD翻折至，使得.（1）證明：平面平面；（2）線段PB上是否存在一點，使得AT與平面PAD所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：如圖，設線段的中點為，線段的中點為，連接，，，依題意，，則，由，得，而，，是梯形的中位線，于是，，而平面，，則平面，而平面，于是，又平面，且和一定相交，因此平面，而平面，所以平面平面.（2）解：依題意，，則，即，由（1）知平面，平面，則，