高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省綿陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期第三次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，則的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.已知平面向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由，，則，即，此時(shí)，則.故選：A.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足；當(dāng)時(shí)，，則.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，且的面積為1.則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】由題意，，設(shè)，則，則，即，將代入，得，根據(jù)拋物線的定義，.故選：C5.某家電公司生產(chǎn)了兩種不同型號(hào)的空調(diào)，公司統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)2024年的前6個(gè)月這兩種型號(hào)空調(diào)的銷售情況，得到銷售量的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，分析這6個(gè)月的銷售數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差比型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差大B.型號(hào)空調(diào)月平均銷售量比型號(hào)空調(diào)月平均銷售量大C.型號(hào)空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)比型號(hào)空調(diào)銷售量的上四分位數(shù)大D.型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差比型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差小【答案】D【解析】由圖可知，型號(hào)空調(diào)月銷售量極差為，型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差為，故A正確；型號(hào)空調(diào)月平均銷售量為，型號(hào)空調(diào)月平均銷售量為，故B正確；將型號(hào)空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，38，42，50，由，則型號(hào)空調(diào)月銷售量上四分位數(shù)為42，將型號(hào)空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：22，25，30，37，40，45，由，則型號(hào)空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)為40，故C正確；型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差為，型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：D.6.已知直三棱柱中，，該三棱柱所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，將直三棱柱補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為該三棱柱外接球的直徑，所以其半徑為球O的體積為，故選：．7.已知，則的值為（）A. B.3 C.9 D.81【答案】C【解析】，故選：C8.已知是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸上方，分別是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓，即，則，即，設(shè)，，則，解得，即，則，，，所以.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義在上的函數(shù)，且，則（）A.的值可以為B.的值可以為2C.若，則D.若，且，則的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，符合題意，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的周期為3，,由，，要使最大，則，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，取滿足的最小正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，則的最大值為，故D正確.故選：ACD.10.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知是的最小內(nèi)角，且為整數(shù)，若，則（）A.B.C.若，且為整數(shù)，則D.若為直角三角形，則的面積為1【答案】ABC【解析】對(duì)于A，是的最小內(nèi)角，在單調(diào)遞增，又為整數(shù)，若，則，所以，此時(shí)，此時(shí)，不滿足題意，故，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得即，故B正確；對(duì)于C，為的最小內(nèi)角，，若則，不滿足，所以因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，，即即，解得又為整數(shù)，，故C正確；對(duì)于D，若，則，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知集合，對(duì)于中的任意兩個(gè)元素都有，則集合的元素個(gè)數(shù)可以為（）A.4個(gè) B.7個(gè) C.9個(gè) D.10個(gè)【答案】AB【解析】當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，排除.不妨設(shè)（效果一樣），已知，則.將其變形為關(guān)于的表達(dá)式：，移項(xiàng)可得，進(jìn)一步得到.因?yàn)榍遥?，那?由此可知，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù)，若有兩個(gè)，取較小者為，會(huì)與不等式矛盾.令，對(duì)求導(dǎo)，可得，所以在上是遞增函數(shù).假設(shè)存且，令，，由的單調(diào)性可知，這與矛盾，所以中至多只有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多只有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)椋约现炼嘤兄械囊粋€(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù).又因?yàn)椋?，，所以集合中可以同時(shí)存在，，.綜上，集合至多有個(gè)元素.，符合條件，說(shuō)明集合的元素個(gè)數(shù)可以是個(gè)或個(gè).故選：AB.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】【解析】在等差數(shù)列中，，則.故答案為：.13.在一次知識(shí)競(jìng)賽中，小張需要按順序依次回答甲?乙?丙3個(gè)問(wèn)題，已知他答對(duì)甲?乙?丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立.若至少能夠連續(xù)將2道題都答對(duì)，可獲得額外加分，則小張獲得額外加分的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題意，至少能夠連續(xù)將2道題都答對(duì)，包含的情況有：甲乙都對(duì)，丙正誤都可；甲錯(cuò)誤，乙丙對(duì)，則小張獲得額外加分的概率為.故答案為：.14.在坐標(biāo)平面中，已知過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的2條切線，則由所有點(diǎn)構(gòu)成的集合為_(kāi)_________.【答案】【解析】由，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)恰能作曲線的2條切線，所以方程有2個(gè)解，則函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)椋院瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，畫出函數(shù)的大致圖象，此時(shí)滿足函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；若，令，得或；令，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，畫出函數(shù)的大致圖象，要使函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，則；若，令，得；令，得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，畫出函數(shù)的大致圖象，要使函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，則.綜上所述，所有點(diǎn)構(gòu)成的集合為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）求.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，成等差數(shù)列，，即，即，解得或（舍），（2）.16.已知函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的極小值：（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)為的最大值，求的最小值.解：（1）由，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，即，此時(shí)，，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極值，即，當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.綜上所述，的最小值為.17.如圖1，等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，且，將梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如圖的多面體，且.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）求的長(zhǎng)；（3）在上取一點(diǎn)，使得平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，平面，所以平面，又，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得，則，由，則，解得（舍去）或，則，則，則，即，所以四點(diǎn)共面.（2）解：由（1）知，.（3）解：由（1）知，，，，，設(shè)，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，由平面平面，則，解得，則，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，易得平面的一個(gè)法向量為，則，則平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，且，雙曲線的一條漸近線的斜率為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線上存在點(diǎn)，且，求此時(shí)直線的方程.（3）過(guò)點(diǎn)的直線雙曲線于兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，求的最小值.解：（1）由題意，，解得，，則雙曲線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，此時(shí)，顯然不存在點(diǎn)滿足；則直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，則，，即，，則，又，則，即，代入，得，解得或，即（舍去）或，則直線的方程為，即.（3）由（2）知，設(shè)直線的方程為，，，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，同理可得，由，，則，，即，，所以，，所以，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即的最小值為.19.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)模擬某旅游地區(qū)的格點(diǎn)圖，共有個(gè)格點(diǎn).陰影區(qū)域與分別是該城市兩大著名景區(qū)，陰影部分內(nèi)的格點(diǎn)代表景區(qū)內(nèi)的景點(diǎn).游客在格點(diǎn)之間必須乘坐觀光車，從格點(diǎn)出發(fā)，最后到達(dá)終點(diǎn)，游客經(jīng)過(guò)陰影區(qū)域中的格點(diǎn)都會(huì)進(jìn)行游覽.觀光車只能在圖中格點(diǎn)的連線上行駛，且整個(gè)過(guò)程將以最小行駛距離到達(dá)終點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求一輛觀光車從點(diǎn)到點(diǎn)會(huì)經(jīng)過(guò)格點(diǎn)的路線總數(shù)；（2）已知一個(gè)由個(gè)和個(gè)構(gòu)成的含有項(xiàng)的序列：，滿足任意前項(xiàng)和.序列個(gè)數(shù)為.（i）當(dāng)時(shí)，某游客游覽了7個(gè)景點(diǎn)，求他游覽的路線總數(shù)；（ii）設(shè)某游客游覽了兩個(gè)景區(qū)各至少1個(gè)景點(diǎn)的路線總數(shù)為，求證：當(dāng)時(shí)，.解：（1）從點(diǎn)到總共需要3步，向上1步，向右2步，再到點(diǎn)總共需要3步，向上2步，向右1步，所以觀光車從點(diǎn)到點(diǎn)會(huì)經(jīng)過(guò)格點(diǎn)的路線總數(shù)為.（2）（i）除去起點(diǎn)與終點(diǎn)外，巴士一定會(huì)經(jīng)過(guò)7個(gè)格點(diǎn)，若游客恰好游覽了7個(gè)景點(diǎn)，說(shuō)明巴士一定不經(jīng)過(guò)對(duì)角線上的格點(diǎn)．所以觀光車第一步必然到達(dá)或格點(diǎn)，且必然從或到達(dá)終點(diǎn)，在這個(gè)過(guò)程中既不會(huì)穿過(guò)對(duì)角線，也不會(huì)到達(dá)對(duì)角線上的格點(diǎn)，考慮對(duì)稱性，不妨先計(jì)算從格點(diǎn)到達(dá)格點(diǎn)，且不經(jīng)過(guò)與連線上方格點(diǎn)的路線總數(shù)，假設(shè)向右行駛記為1，向上行駛記為，那么每條行駛路線實(shí)際唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)含3個(gè)1與3個(gè)的序列，，…，．行駛路線不經(jīng)過(guò)與連線上方格點(diǎn)，等價(jià)于對(duì)任意前段，向右行駛的段數(shù)都不小于向上行駛的段數(shù)，即，根據(jù)題意，滿足條件的路線總數(shù)應(yīng)為種，從而從格點(diǎn)到達(dá)格點(diǎn)，且不經(jīng)過(guò)與連線上方格點(diǎn)的路線總數(shù)也為5種，因此游客游覽了7個(gè)景點(diǎn)的路線總數(shù)為10種．（ii）要保證游客能夠分別瀏覽兩個(gè)景區(qū)至少1個(gè)景點(diǎn)，即行駛路線必須穿過(guò)對(duì)角線AB，不妨先考慮只經(jīng)過(guò)AB及其右下方格點(diǎn)的行駛路線，設(shè)總數(shù)為，假設(shè)向右行駛記為1，向上行駛記為，那么每條行駛路線實(shí)際唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)含n個(gè)1與n個(gè)的序列，，…，，行駛路線不經(jīng)過(guò)AB左上方的格點(diǎn)，等價(jià)于對(duì)任意前k段，向右行駛的段數(shù)都不小于向上行駛的段數(shù)，即，由題意，所以行駛路線不經(jīng)過(guò)AB右下方格點(diǎn)的種數(shù)也應(yīng)為，則行駛路線穿過(guò)對(duì)角線AB的種數(shù)為，故，則，所以.下面進(jìn)行證明：，由于，，要證，即證，即證，顯然成立，又，則，可得；再證明：，要證：，即證，即證，而，，則，可得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，.四川省綿陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期第三次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，則，則的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2.已知平面向量，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】由，，則，即，此時(shí)，則.故選：A.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足；當(dāng)時(shí)，，則.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為是上一點(diǎn)，且的面積為1.則（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】由題意，，設(shè)，則，則，即，將代入，得，根據(jù)拋物線的定義，.故選：C5.某家電公司生產(chǎn)了兩種不同型號(hào)的空調(diào)，公司統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)2024年的前6個(gè)月這兩種型號(hào)空調(diào)的銷售情況，得到銷售量的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，分析這6個(gè)月的銷售數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法不正確的是（）A.型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差比型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差大B.型號(hào)空調(diào)月平均銷售量比型號(hào)空調(diào)月平均銷售量大C.型號(hào)空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)比型號(hào)空調(diào)銷售量的上四分位數(shù)大D.型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差比型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差小【答案】D【解析】由圖可知，型號(hào)空調(diào)月銷售量極差為，型號(hào)空調(diào)月銷售量的極差為，故A正確；型號(hào)空調(diào)月平均銷售量為，型號(hào)空調(diào)月平均銷售量為，故B正確；將型號(hào)空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：25，27，28，38，42，50，由，則型號(hào)空調(diào)月銷售量上四分位數(shù)為42，將型號(hào)空調(diào)月銷售量數(shù)據(jù)從小到大排列為：22，25，30，37，40，45，由，則型號(hào)空調(diào)月銷售量的上四分位數(shù)為40，故C正確；型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差為，型號(hào)空調(diào)月銷售量的方差為，故D錯(cuò)誤.故選：D.6.已知直三棱柱中，，該三棱柱所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，將直三棱柱補(bǔ)全成長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為該三棱柱外接球的直徑，所以其半徑為球O的體積為，故選：．7.已知，則的值為（）A. B.3 C.9 D.81【答案】C【解析】，故選：C8.已知是橢圓上的一點(diǎn)，且在軸上方，分別是該橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的斜率為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】橢圓，即，則，即，設(shè)，，則，解得，即，則，，，所以.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知定義在上的函數(shù)，且，則（）A.的值可以為B.的值可以為2C.若，則D.若，且，則的最大值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，符合題意，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，即，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的周期為3，,由，，要使最大，則，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，令，取滿足的最小正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，又，則的最大值為，故D正確.故選：ACD.10.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知是的最小內(nèi)角，且為整數(shù)，若，則（）A.B.C.若，且為整數(shù)，則D.若為直角三角形，則的面積為1【答案】ABC【解析】對(duì)于A，是的最小內(nèi)角，在單調(diào)遞增，又為整數(shù)，若，則，所以，此時(shí)，此時(shí)，不滿足題意，故，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，故A正確；對(duì)于B，由正弦定理得即，故B正確；對(duì)于C，為的最小內(nèi)角，，若則，不滿足，所以因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，，即即，解得又為整數(shù)，，故C正確；對(duì)于D，若，則，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知集合，對(duì)于中的任意兩個(gè)元素都有，則集合的元素個(gè)數(shù)可以為（）A.4個(gè) B.7個(gè) C.9個(gè) D.10個(gè)【答案】AB【解析】當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，排除.不妨設(shè)（效果一樣），已知，則.將其變形為關(guān)于的表達(dá)式：，移項(xiàng)可得，進(jìn)一步得到.因?yàn)榍?，所以，那?由此可知，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù)，若有兩個(gè)，取較小者為，會(huì)與不等式矛盾.令，對(duì)求導(dǎo)，可得，所以在上是遞增函數(shù).假設(shè)存且，令，，由的單調(diào)性可知，這與矛盾，所以中至多只有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多只有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù).又因?yàn)椋?，，所以集合中可以同時(shí)存在，，.綜上，集合至多有個(gè)元素.，符合條件，說(shuō)明集合的元素個(gè)數(shù)可以是個(gè)或個(gè).故選：AB.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則__________.【答案】【解析】在等差數(shù)列中，，則.故答案為：.13.在一次知識(shí)競(jìng)賽中，小張需要按順序依次回答甲?乙?丙3個(gè)問(wèn)題，已知他答對(duì)甲?乙?丙的概率分別為0.8，0.5，0.2，各題回答正確與否相互獨(dú)立.若至少能夠連續(xù)將2道題都答對(duì)，可獲得額外加分，則小張獲得額外加分的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】由題意，至少能夠連續(xù)將2道題都答對(duì)，包含的情況有：甲乙都對(duì)，丙正誤都可；甲錯(cuò)誤，乙丙對(duì)，則小張獲得額外加分的概率為.故答案為：.14.在坐標(biāo)平面中，已知過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的2條切線，則由所有點(diǎn)構(gòu)成的集合為_(kāi)_________.【答案】【解析】由，，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，則，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)恰能作曲線的2條切線，所以方程有2個(gè)解，則函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，畫出函數(shù)的大致圖象，此時(shí)滿足函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)；若，令，得或；令，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，畫出函數(shù)的大致圖象，要使函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，則；若，令，得；令，得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，畫出函數(shù)的大致圖象，要使函數(shù)，與函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，則.綜上所述，所有點(diǎn)構(gòu)成的集合為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）求.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，成等差數(shù)列，，即，即，解得或（舍），（2）.16.已知函數(shù)（實(shí)數(shù)為常數(shù)）在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的極小值：（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)為的最大值，求的最小值.解：（1）由，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，所以，即，此時(shí)，，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極值，即，當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)，即時(shí)，的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.綜上所述，的最小值為.17.如圖1，等腰梯形中，分別為的中點(diǎn)，且，將梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如圖的多面體，且.（1）證明：四點(diǎn)共面；（2）求的長(zhǎng)；（3）在上取一點(diǎn)，使得平面平面，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且，平面，所以平面，又，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得，則，由，則，解得（舍去）或，則，則，則，即，所以四點(diǎn)共面.（2）解：由（1）知，.（3）解：由（1）知，，，，，設(shè)，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，由平面平面，則，解得，則，則，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，易得平面的一個(gè)法向量為，則，則平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為，且，雙曲線的一條漸近線的斜率為，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線上存在點(diǎn)，且，求此時(shí)直線的方程.（3）過(guò)點(diǎn)的直線雙曲線于兩點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，且，求的最小值.解：（1）由題意，，解得，，則雙曲線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，此時(shí)，顯然不存在點(diǎn)滿足；則直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，則，，即，，則，又，則，即，代入，得，解得或，即（舍去）或，則直線的方程為，即.（3）由（2）知，設(shè)直線的方程為，，，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，同理可得，由，，則，，即，，所以，，所以，令，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即的最小值為.19.如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)模擬某旅游地區(qū)的格點(diǎn)圖，共有個(gè)格點(diǎn).陰影區(qū)域與分