高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省宜賓市普通高中2025屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為（）A.圓 B.雙曲線的一支C.橢圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點與點的距離，表示復(fù)平面內(nèi)點與點的距離，則，則由雙曲線的定義可知，點的軌跡為雙曲線的左支，故復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為雙曲線的一支.故選：B3.已知數(shù)據(jù)的方差，則（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】因為，，所以，所以.故選：D4.的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A. B. C.30 D.60【答案】A【解析】，所以展開式的通項為，，展開式的通項為，，展開式的通項為，，令，得，所以含的項的系數(shù)是.故選：.5.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為，且，所以，，因為是奇函數(shù)，所以，解得，因，所以，故C正確.故選：C6.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．7.如圖，在等邊中，，以為直徑分別作半圓，是兩段半圓弧上的動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，作的中點，我們對的位置分類討論，當(dāng)在以為圓心的半圓弧上運(yùn)動時，如圖，以中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，因為在等邊中，，所以，，則半圓的方程為，的參數(shù)方程為是參數(shù)，且，得到，故，，則，因為，所以，得到，即，故，即此時，其次，作的中點，當(dāng)在以為圓心的半圓弧上運(yùn)動時，如圖，以中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，因為在等邊中，，所以，，則半圓的方程為，的參數(shù)方程為是參數(shù)，且，得到，故，，則，因為，所以，得到，即，故，即此時，綜上，可得，故D正確.故選：D8.設(shè)函數(shù)，其中，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由已知是的零點，在中令得，即，所以中有一個2，設(shè)另兩個為，則，所以，由得恒成立，，，所以且，所以，所以，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.曲線的一個對稱中心為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.的最大值為2【答案】BD【解析】由題意可得：，對于選項A：因為，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：令，解得，所以曲線的對稱中心為，，時，即，B正確；對于選項C：因為，即，即在內(nèi)不是單調(diào)遞增，故C錯誤；對于選項D：因為，所以的最大值為2，故D選項正確；故選：BD．10.已知、是橢圓的左、右焦點，點在上，是上的動點，軸，垂足為，且為的中點，則（）A.最大值為 B.的最小值為C.點的軌跡方程為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，因為，解得，由橢圓定義可得，因為，則，，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故的最大值為，A對；對于B選項，不妨設(shè)點，則，則，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為，B錯；對于C選項，設(shè)點，則點，設(shè)點，由中點坐標(biāo)公式可得，則，因為點在橢圓上，則，即，化簡得，故點的軌跡方程為，C對；對于D選項，圓的圓心為原點，半徑為，因為，故點在圓外，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點時，取最小值，D對.故選：ACD.11.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，某廣場的一張石凳就是一個阿基米德多面體，它是由正方體截去八個一樣的四面體得到的二十四等邊體，若它所有的棱長都為2，則（）A.該石凳的表面積為B.該石凳的體積為C.直線與的夾角為D.平面【答案】ABC【解析】對于A，由圖可知，二十四等邊體是由6個邊長為2的正方形和8個邊長為2的等邊三角形圍成，所以表面積為，A正確；對于B，補(bǔ)全八個角構(gòu)成一個棱長為的一個正方體，則該正方體的體積為，其中每個小三棱錐的體積為，所以該二十四面體的體積為，所以B正確；對于C，補(bǔ)全八個角構(gòu)成一個棱長為的一個正方體，如圖，易知，與所成角為，所以直線與的夾角為，C正確；對于D，由正方體易知：，所成角為，所以所成角為，又在平面內(nèi)，所以平面不成立，故D錯誤；故選：ABC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)且.若，則__________.【答案】【解析】，故，即，故.故答案為：13.設(shè)為等差數(shù)列的前項和.若，且成等比數(shù)列，則__________.【答案】3或【解析】由，可得，即，即，又成等比數(shù)列，可得：，聯(lián)立，消去，可得：，可得：或，當(dāng)時，，易得，當(dāng)時，，可得，所以3或，故答案為：3或14.從集合中任取4個不同的數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).若該四位數(shù)能被3整除的概率為；若取出的4個數(shù)按從小到大排列，中間兩個數(shù)的和為7的概率為，則__________.【答案】【解析】從集合中任取4個不同的數(shù)，可得無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共，四位數(shù)能被3整除，即四個數(shù)的和是3的倍數(shù)，共有5種情況，故共有種，若取出的4個數(shù)按從小到大排列，共有種，中間兩個數(shù)的和為7，只能時或，若中間為，兩端只能為，一種情況，若中間為，第一個數(shù)可以從選，第四個數(shù)可以從選，有,故共有種，所以，，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對邊分別為，且.（1）求；（2）若的面積為，求.解：（1）因為所以，由射影定理得，即，于是，即，又，解得.（2）因為，所以解得，又由余弦定理得，得到，解得.16.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行小白鼠試驗.現(xiàn)將300只小白鼠分為甲、乙兩組，甲組200只，乙組100只.研究人員將疫苗注射到甲組的200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后檢測小白鼠的某項指標(biāo)值.檢測發(fā)現(xiàn)有150只小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體，其中該項指標(biāo)值不小于60的占；沒有產(chǎn)生抗體的小白鼠中該項指標(biāo)值不小于60的占.假設(shè)各小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體是相互獨立的.（1）填寫如下列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）用甲組中小白鼠產(chǎn)生抗體的頻率估計概率，記乙組小白鼠在注射疫苗后產(chǎn)生抗體的只數(shù)為，當(dāng)取最大值時，求.參考公式：（其中為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：0.10.050.0050.0012.7063.8417.87910.828解：（1）由題可得，列聯(lián)表如下：抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體25125150沒有抗體203050合計45155200假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得：，根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）由題知每只小白鼠在注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率的估計值為，所以隨機(jī)變量，所以，要使最大，則解得：，所以.17.如圖，三棱臺中，平面，分別是棱的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知三棱臺的體積大于2，且直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面平面所以，又因為，都在平面內(nèi)，所以平面，又因為平面所以平面平面（2）解：在三棱臺中，分別是棱的中點，所以且相等，且相等，所以四點共面由（1）知平面，平面，，在平面內(nèi)，得：所以為平面與平面所成角，設(shè)，點到平面的距離為由可得：所以所以或又因所以，所以所以在中，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；（3）對于點在處的切線方程為，若對任意，都有，則稱為“好”點.當(dāng)時，求的“好”點.（只要求寫出結(jié)果，不需說明理由）解：（1）令，即，解得，可知的定義域為.當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因為，①當(dāng)時，則，可知在內(nèi)單調(diào)單增，所以成立，符合題意；②當(dāng)時，若，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)單增，所以成立，符合題意；若，即時，令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)單減，此時，不合題意；綜上所述：的取值范圍是.（3）的“好”點為，其理由如下：設(shè)為的“好”點，即對任意，都有，當(dāng)時，等號顯然成立；當(dāng)時，；當(dāng)時，成立.因為在處的切線方程為，設(shè)，則，因為，則，顯然其為偶函數(shù)，且當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，（i）當(dāng)時，因為為“好”點，所以此時成立.①若，由于在遞增，則即，可知在遞增，所以，滿足條件，即成立；②若，當(dāng)時，，即，所以在遞減，此時，矛盾，不滿足條件；（ⅱ）當(dāng)時，因為為“好”點，所以此時成立.①若，由于在遞減，，則，所以在遞增，即，滿足條件，則成立；②若，當(dāng)時，，即，所以在遞增，此時，矛盾，不滿足條件.綜上所述：，所以只有一個“好”點.19.已知曲線，點，曲線上一點，直線與的另一個交點為.按照如下方式依次構(gòu)造點，過作軸的垂線，垂足為，垂線與的另一個交點為.作直線，與的另一個交點為，直線與軸的交點為.記.（1）若，求；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并用表示的通項公式；（3）對任意的正整數(shù)與的面積之比是否為定值？若是，請用表示該定值；若不是，請說明理由.（1）解：直線代入，可得，設(shè)，則，所以，于是，又因為，而直線方程為，代入可得，設(shè)，則，所以，所以，又因為，于是直線方程為，令，得，所以，同理可得，所以；（2）證明：設(shè)直線方程為，設(shè)，由聯(lián)立可得：，于是，則有，即①，于是可化為，設(shè)直線方程為，設(shè)，由聯(lián)立得：，于是，則有，即②，下面證明成等比數(shù)列：由①可得③，由①③可得④，由②④可得即⑤，于是，所以數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，知，于是直線的方程為，設(shè)，由聯(lián)立，可得，于是，所以，于是，所以，又，于是直線的方程為，設(shè)，由聯(lián)立，可得，于是，，所以，于是，則公比，則，所以；（3）解：為定值.四川省宜賓市普通高中2025屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為集合，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為（）A.圓 B.雙曲線的一支C.橢圓 D.拋物線【答案】B【解析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，表示復(fù)平面內(nèi)點與點的距離，表示復(fù)平面內(nèi)點與點的距離，則，則由雙曲線的定義可知，點的軌跡為雙曲線的左支，故復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為雙曲線的一支.故選：B3.已知數(shù)據(jù)的方差，則（）A. B. C.1 D.0【答案】D【解析】因為，，所以，所以.故選：D4.的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A. B. C.30 D.60【答案】A【解析】，所以展開式的通項為，，展開式的通項為，，展開式的通項為，，令，得，所以含的項的系數(shù)是.故選：.5.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，，若，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為，且，所以，，因為是奇函數(shù)，所以，解得，因，所以，故C正確.故選：C6.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．7.如圖，在等邊中，，以為直徑分別作半圓，是兩段半圓弧上的動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】首先，作的中點，我們對的位置分類討論，當(dāng)在以為圓心的半圓弧上運(yùn)動時，如圖，以中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，因為在等邊中，，所以，，則半圓的方程為，的參數(shù)方程為是參數(shù)，且，得到，故，，則，因為，所以，得到，即，故，即此時，其次，作的中點，當(dāng)在以為圓心的半圓弧上運(yùn)動時，如圖，以中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，因為在等邊中，，所以，，則半圓的方程為，的參數(shù)方程為是參數(shù)，且，得到，故，，則，因為，所以，得到，即，故，即此時，綜上，可得，故D正確.故選：D8.設(shè)函數(shù)，其中，若，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由已知是的零點，在中令得，即，所以中有一個2，設(shè)另兩個為，則，所以，由得恒成立，，，所以且，所以，所以，故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.曲線的一個對稱中心為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.的最大值為2【答案】BD【解析】由題意可得：，對于選項A：因為，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：令，解得，所以曲線的對稱中心為，，時，即，B正確；對于選項C：因為，即，即在內(nèi)不是單調(diào)遞增，故C錯誤；對于選項D：因為，所以的最大值為2，故D選項正確；故選：BD．10.已知、是橢圓的左、右焦點，點在上，是上的動點，軸，垂足為，且為的中點，則（）A.最大值為 B.的最小值為C.點的軌跡方程為 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對于A選項，將點的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，因為，解得，由橢圓定義可得，因為，則，，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故的最大值為，A對；對于B選項，不妨設(shè)點，則，則，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為，B錯；對于C選項，設(shè)點，則點，設(shè)點，由中點坐標(biāo)公式可得，則，因為點在橢圓上，則，即，化簡得，故點的軌跡方程為，C對；對于D選項，圓的圓心為原點，半徑為，因為，故點在圓外，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點時，取最小值，D對.故選：ACD.11.“阿基米德多面體”也稱半正多面體，是由兩種或多種正多邊形面組成，而又不屬于正多面體的凸多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，某廣場的一張石凳就是一個阿基米德多面體，它是由正方體截去八個一樣的四面體得到的二十四等邊體，若它所有的棱長都為2，則（）A.該石凳的表面積為B.該石凳的體積為C.直線與的夾角為D.平面【答案】ABC【解析】對于A，由圖可知，二十四等邊體是由6個邊長為2的正方形和8個邊長為2的等邊三角形圍成，所以表面積為，A正確；對于B，補(bǔ)全八個角構(gòu)成一個棱長為的一個正方體，則該正方體的體積為，其中每個小三棱錐的體積為，所以該二十四面體的體積為，所以B正確；對于C，補(bǔ)全八個角構(gòu)成一個棱長為的一個正方體，如圖，易知，與所成角為，所以直線與的夾角為，C正確；對于D，由正方體易知：，所成角為，所以所成角為，又在平面內(nèi)，所以平面不成立，故D錯誤；故選：ABC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)且.若，則__________.【答案】【解析】，故，即，故.故答案為：13.設(shè)為等差數(shù)列的前項和.若，且成等比數(shù)列，則__________.【答案】3或【解析】由，可得，即，即，又成等比數(shù)列，可得：，聯(lián)立，消去，可得：，可得：或，當(dāng)時，，易得，當(dāng)時，，可得，所以3或，故答案為：3或14.從集合中任取4個不同的數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).若該四位數(shù)能被3整除的概率為；若取出的4個數(shù)按從小到大排列，中間兩個數(shù)的和為7的概率為，則__________.【答案】【解析】從集合中任取4個不同的數(shù)，可得無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共，四位數(shù)能被3整除，即四個數(shù)的和是3的倍數(shù)，共有5種情況，故共有種，若取出的4個數(shù)按從小到大排列，共有種，中間兩個數(shù)的和為7，只能時或，若中間為，兩端只能為，一種情況，若中間為，第一個數(shù)可以從選，第四個數(shù)可以從選，有,故共有種，所以，，所以，故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在中，角所對邊分別為，且.（1）求；（2）若的面積為，求.解：（1）因為所以，由射影定理得，即，于是，即，又，解得.（2）因為，所以解得，又由余弦定理得，得到，解得.16.為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行小白鼠試驗.現(xiàn)將300只小白鼠分為甲、乙兩組，甲組200只，乙組100只.研究人員將疫苗注射到甲組的200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后檢測小白鼠的某項指標(biāo)值.檢測發(fā)現(xiàn)有150只小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體，其中該項指標(biāo)值不小于60的占；沒有產(chǎn)生抗體的小白鼠中該項指標(biāo)值不小于60的占.假設(shè)各小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體是相互獨立的.（1）填寫如下列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）用甲組中小白鼠產(chǎn)生抗體的頻率估計概率，記乙組小白鼠在注射疫苗后產(chǎn)生抗體的只數(shù)為，當(dāng)取最大值時，求.參考公式：（其中為樣本容量）參考數(shù)據(jù)：0.10.050.0050.0012.7063.8417.87910.828解：（1）由題可得，列聯(lián)表如下：抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體25125150沒有抗體203050合計45155200假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得：，根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）由題知每只小白鼠在注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率的估計值為，所以隨機(jī)變量，所以，要使最大，則解得：，所以.17.如圖，三棱臺中，平面，分別是棱的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知三棱臺的體積大于2，且直線與平面所成的角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.（1）證明：因為平面平面所以，又因為，都在平面內(nèi)，所以平面，又因為平面所以平面平面（2）解：在三棱臺中，分別是棱的中點，所以且相等，且相等，所以四點共面由（1）知平面，平面，，在平面內(nèi)，得：所以為平面與平面所成角，設(shè)，點到平面的距離為由可得：所以所以或又因所以，所以所以在中，所以平面與平面所成角的余弦值為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍；（3）對于點在處的切線方程為，若對任意，都有，則稱為“好”點