第2章·軸對(duì)稱圖形2.5等腰三角形的軸對(duì)稱性第3課時(shí)直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行說(shuō)理；2.理解直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；3.經(jīng)歷探究直角三角形的性質(zhì)的過程，提高分析問題、解決問題的能力.知識(shí)回顧等腰三角形性質(zhì)判定等邊對(duì)等角三線合一(1條)兩邊相等(定義)兩邊相等(定義)等角對(duì)等邊特

例等邊三角形性質(zhì)三邊相等(定義)三個(gè)角都相等,都等于60°三線合一(3條)判定三邊相等(定義)三個(gè)角都相等有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.例1

已知：如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．

求證：AB＝AC．回顧與思考活動(dòng)一

等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用ABCDE要證AB＝AC已知∠EAD=∠DAC只要證∠EAD=∠B∠DAC=∠C怎么想怎么寫只要證∠B＝∠C例1

已知：如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．

求證：AB＝AC．回顧與思考活動(dòng)一

等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用ABCDE證明：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，

∠DAC=∠C.∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠B=∠C，∴AB＝AC(等角對(duì)等邊)．變式1

已知：如圖，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC嗎？試證明你的結(jié)論．回顧與思考活動(dòng)一

等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用ABCDE條件和結(jié)論與上一題有什么變化？證明：∵AB＝AC，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，

∠DAC=∠C.∴∠EAD=∠DAC，∴AD平分∠EAC．變式2

已知：如圖，如果AB＝AC，AD平分∠EAC，那么AD∥BC嗎？試證明你的結(jié)論．回顧與思考活動(dòng)一

等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用ABCDE條件和結(jié)論與上一題有什么變化？

變式3

已知：如圖，AB＝AC，AD平分∠EAC，過C點(diǎn)作CM⊥BC，交射線AD于點(diǎn)N.交射線AE于點(diǎn)M.回顧與思考活動(dòng)一

等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合運(yùn)用ABCE(1)

圖中有幾個(gè)等腰三角形？你能說(shuō)明理由嗎？(2)

AC和BM之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(2)

AN和CM之間有怎樣的位置關(guān)系?DMN1.如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作EF∥BC交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.求證：BE+CF=EF.AFECBD證明：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC.∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC.∴∠EDB=∠EBD.∴DE=BE.同理CF=DF.∴EF=DE+DF=BE+CF，即BE+CF=EF.新知鞏固從圖中你還可以得到哪些結(jié)論？新知鞏固2.請(qǐng)你從下面三項(xiàng)中選出兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出真命題，并加以證明．AECBD如圖，①BD平分∠ABC，②DE∥BC，③BE＝DE.思考1

你能用折紙的方法將一個(gè)直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形嗎？操作與思考活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)操作1

你能用折紙的方法將一個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)直角三角形嗎？操作2

任意剪出一張直角三角形紙片(如圖)，按下面的步驟折疊再展開.操作與觀察活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)①②③操作與觀察活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)思考2

圖中△ACD與△BCD是等腰三角形嗎？為什么？ABCDEF你還有什么發(fā)現(xiàn)？

操作與觀察活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)思考3

你能證明小明的結(jié)論嗎？ABCD證法1：作AC的垂直平分線l，交AB于點(diǎn)D，連接CD.l∵直線l是線段AC的垂直平分線，點(diǎn)D在直線l上，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A(等邊對(duì)等角)，∴∠BCD=∠B(等角的余角相等)，∴DB=DC(等角對(duì)等邊).

操作與觀察活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)思考3

你能證明小明的結(jié)論嗎？ABCD證法2：在Rt△ABC中，∠ACB是直角，∠B是銳角.在∠ACB內(nèi)作∠BCD=∠B，CD與AB相交于點(diǎn)D，于是，

我們得到如下定理：可知

DB=DC，由等角的余角相等，可得∠ACD=∠A，于是

DA=DC，

新知?dú)w納直角三角形的性質(zhì)定理：在△ABC中，∠ACB＝90°∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

(已知)，

符號(hào)語(yǔ)言：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．ABCD操作與觀察活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)

ABCD

探索與說(shuō)理活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)例2

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，那么BC與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論．證明：作斜邊上的中線CD.

∵∠ACB＝90°，∠A=30°，∴∠B=60°.∴△CDB是等邊三角形，

ABCD∵∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，你還有其他證明方法嗎？探索與說(shuō)理活動(dòng)二

探索直角三角形的性質(zhì)例2

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果∠A＝30°，那么BC與AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論．ABDC方法2：如圖，△ADC是△ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，從而△ABD是一個(gè)等邊三角形.再由AC⊥BD,

在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.新知鞏固1.如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，DE⊥AC

，垂足為E．（1）如果CD＝2.4cm，那么AB＝______cm．（2）寫出圖中相等的線段和角．CD=BD=AD，∠ACB=∠DEA=∠DEC=90°

CE=AE，∠A=∠ACD，∠B=∠BCD4.8ABCDE新知鞏固2.如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，AD=AB，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC=6，求EF的長(zhǎng).ABCDEF

課堂小結(jié)直角三角形的性質(zhì)定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合運(yùn)用當(dāng)堂檢測(cè)1.如圖，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開.若測(cè)得AM的長(zhǎng)為1.2km，則M、C兩點(diǎn)之間的距離為 (

)A.0.5km B.0.6km C.0.9km D.1.2kmDBACM?當(dāng)堂檢測(cè)D2.

如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若∠A=26°，則∠BDC的度數(shù)是(

)

A.

26°

B.

38°

C.

42°

D.

52°ABCD當(dāng)堂檢測(cè)3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，則AB等于(

)A.

9cm

B.

8cm

C.

7cm

D.

6cmBABC當(dāng)堂檢測(cè)4.如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC邊的中點(diǎn)，EF＝4，BC＝10，則△EFM的周長(zhǎng)是(

)A．14B．18C．15D．21AABCFEM當(dāng)堂檢測(cè)5.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E為AC邊的中點(diǎn)，DE＝3，則AB＝________．ABCDE6當(dāng)堂檢測(cè)6.如圖，直線l1∥l2，含30°角的三角板的直角頂點(diǎn)C在l1上，30°角的頂點(diǎn)A在l2上，如果邊AB與l1的交點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么∠1＝________．