6.2.4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算律導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)量積的運(yùn)算律2.會用向量數(shù)量積的公式解決相關(guān)問題．【自主學(xué)習(xí)】知識點(diǎn)1向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝且a·b＝?a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b||a||b|.知識點(diǎn)2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】探究一向量的數(shù)量積的運(yùn)算律【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，試求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．歸納總結(jié)：【練習(xí)1】已知向量a與b的夾角為eq\f(3π,4)，且|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，則a·(2a＋b)等于.探究二向量的?！纠?】已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，則|a－3b|＝________.歸納總結(jié)：【練習(xí)2】已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝.探究三向量的夾角【例3】已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)歸納總結(jié)：【練習(xí)3】設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．探究四向量垂直的判定【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka－b與a＋2b垂直？歸納總結(jié)：【練習(xí)4】P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心

探究五向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例5】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，且a·b＝b·c＝c·a，試判斷△ABC的形狀．歸納總結(jié)：【練習(xí)4】若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．42．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1B．2C．3D．53．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a＋b與a垂直，則a與b的夾角是()A．60°B．30°C．135°D．45°4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°5．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝5，則|3a－b|等于()A．7B．6C．5D．46．在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2)B．0C.eq\f(3,2)D．37．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形

8．設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對任意實(shí)數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1.()A．若θ確定，則|a|唯一確定B．若θ確定，則|b|唯一確定C．若|a|確定，則θ唯一確定D．若|b|確定，則θ唯一確定二、填空題9．已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f(π,3)，則實(shí)數(shù)λ＝________.10．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范圍________．11．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，則AB的長為________．三、解答題12．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2).(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.13．設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是eq\f(π,3)，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．

14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.15．已知非零向量a，b，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．

B組能力提升一、選擇題1.已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．142.設(shè)，若單位向量，滿足：且向量與的夾角為，則（）A． B． C． D．13.在邊長為3的菱形中，，，則=（）A． B．-1C． D．4．已知平面上三點(diǎn),,滿足,,,則()A． B． C． D．5.（多選）下列命題中，結(jié)論正確的有（）A．B．若，則C．若，則A?B?C?D四點(diǎn)共線；D．在四邊形中，若，，則四邊形為菱形.

6．（多選）若內(nèi)接于以為圓心，為半徑的圓，且，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．二、填空題7．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若Aeq\o(P,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為________．8.已知向量，滿足，，且向量，的夾角為，若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為.9.已知是非零向量,滿足,則與的夾角是.10.若兩個(gè)向量的夾角是，是單位向量，，，則向量與的夾角為.11.已知向量滿足，則向量在向量上的投影為________.

C組挑戰(zhàn)壓軸題一、填空題1.已知，，，點(diǎn)在內(nèi)，且，設(shè)，，則__________．2.如圖，O為△ABC的外心，，，∠BAC為鈍角，M是邊BC的中點(diǎn)，則等于___________.3.如圖，等腰三角形，，．，分別為邊，上的動點(diǎn)，且滿足，，其中，，，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為_____.4.在面積為1的平行四邊形中，，則___________；點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，則的最小值為___________.5.設(shè)非零向量，，，滿足，，則的最小值是________．6.2.4平面向量的數(shù)量積2課時(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算律導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解數(shù)量積的運(yùn)算律2.會用向量數(shù)量積的公式解決相關(guān)問題．【自主學(xué)習(xí)】知識點(diǎn)1向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量．(1)a·e＝e·a＝|a|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝0且a·b＝0?a⊥b；(3)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)；(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.知識點(diǎn)2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

【合作探究】探究一向量的數(shù)量積的運(yùn)算律【例1】已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，試求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(2a－b)·(a＋3b)．[分析]根據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義以及數(shù)量積的運(yùn)算，逐一進(jìn)行計(jì)算即可．[解](1)a·b＝|a|·|b|cos120°＝2×3×(－eq\f(1,2))＝－3.(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34.歸納總結(jié)：求向量的數(shù)量積時(shí)，需明確兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個(gè)或兩個(gè)以上向量的線性運(yùn)算，則需先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及多項(xiàng)式乘法的相關(guān)公式進(jìn)行化簡.【練習(xí)1】已知向量a與b的夾角為eq\f(3π,4)，且|a|＝eq\r(2)，|b|＝2，則a·(2a＋b)等于.答案：2解析：a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝4－2＝2.探究二向量的模【例2】已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，則|a－3b|＝________.[答案]eq\r(10)[分析]利用模的公式和數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行求解．[解析]因?yàn)閍·b＝0，|a|＝1，|b|＝1，所以|a－3b|＝eq\r(a－3b2)＝eq\r(a2－6a·b＋9b2)＝eq\r(12＋9×12)＝eq\r(10).歸納總結(jié)：1要求幾個(gè)向量線性運(yùn)算后的模，可先求其平方，利用數(shù)量積的計(jì)算易解.2已知兩個(gè)向量線性運(yùn)算后的模求某個(gè)向量的模，可把條件平方后化為所求目標(biāo)的方程求解.【練習(xí)2】已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝.答案：3解析：因?yàn)閍2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3.探究三向量的夾角【例3】已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)[答案]C[分析]利用向量垂直的判定和數(shù)量積公式進(jìn)行求解．[解析]設(shè)a，b夾角為θ，由題意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2a2,4|a|2)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(2π,3).歸納總結(jié)：求兩向量a，b的夾角，通常借助于公式計(jì)算【練習(xí)3】設(shè)兩個(gè)向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．答案：(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))解：由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，得cosθ＝eq\f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2||e1＋te2|)<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，化簡得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－eq\f(1,2).當(dāng)夾角為π時(shí)，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此時(shí)夾角不是鈍角．設(shè)2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14),t＝－\f(\r(14),2))).∴所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是(－7，－eq\f(\r(14),2))∪(－eq\f(\r(14),2)，－eq\f(1,2))．探究四向量垂直的判定【例4】已知|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，則當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka－b與a＋2b垂直？答案：k＝eq\f(14,15)[分析]利用向量垂直的性質(zhì)，由(ka－b)·(a＋2b)＝0可求出．[解]∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，k×52＋(2k－1)×5×4×cos60°－2×42＝0，∴k＝eq\f(14,15)，即k為eq\f(14,15)時(shí)，向量ka－b與向量a＋2b垂直．歸納總結(jié)：解決向量垂直問題常用向量數(shù)量積的性質(zhì)a⊥b?,a·b＝0.這是一個(gè)重要性質(zhì)，對于解平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握.【練習(xí)4】P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心答案：D解析：由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA.同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P為△ABC的垂心．探究五向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【例5】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，且a·b＝b·c＝c·a，試判斷△ABC的形狀．答案：等邊三角形[分析]易知a＋b＋c＝0，分別將a、b、c移至等號右邊，得到三個(gè)等式，分別平方后選取兩個(gè)等式相減，即可得到a、b、c中兩個(gè)向量的長度之間的關(guān)系．[解]在△ABC中，易知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b2＝－c2，,a＋c2＝－b2，))兩式相減可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2，則2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2，因?yàn)閍·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.同理可得|a|＝|b|，故|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即△ABC是等邊三角形．歸納總結(jié)：依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識判斷平面圖形的形狀，關(guān)鍵是由已知條件建立數(shù)量積、向量的長度、向量的夾角等之間關(guān)系，移項(xiàng)、兩邊平方是常用手段，這樣可以出現(xiàn)數(shù)量積及向量的長度等信息，為說明邊相等、邊垂直指明方向.【練習(xí)4】若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形答案：B解析：eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，于是|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，從而AB⊥AC，故△ABC為直角三角形.

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正確，④錯(cuò)誤，⑤錯(cuò)誤，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，選C.2．設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則a·b等于()A．1B．2C．3D．5答案A解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，將上面兩式左右兩邊分別相減，得4a·b＝4，∴a·b＝1.3．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a＋b與a垂直，則a與b的夾角是()A．60°B．30°C．135°D．45°答案C解析∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,1×\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).∴〈a，b〉＝135°.4．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°答案C解析設(shè)向量a與b的夾角為θ，∵c⊥a，∴c·a＝0.又∵c＝a＋b，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋b·a＝0?|a|2＋|a||b|cosθ＝0.又∵|a|＝1，|b|＝2，∴cosθ＝－eq\f(1,2).故θ＝120°.5．已知向量a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝5，則|3a－b|等于()A．7B．6C．5D．4答案A解析|3a－b|＝eq\r(3a－b2)＝eq\r(9|a|2＋|b|2－6a·b)＝eq\r(9＋25－6×5×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(49)＝7.故選A.6．在邊長為1的等邊△ABC中，設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，則a·b＋b·c＋c·a等于()A．－eq\f(3,2)B．0C.eq\f(3,2)D．3答案A解析a·b＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－|eq\o(CB,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos60°＝－eq\f(1,2).同理b·c＝－eq\f(1,2)，c·a＝－eq\f(1,2)，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(3,2).7．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，則四邊形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形答案B解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))即一組對邊平行且相等，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0即對角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形．8．設(shè)θ為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對任意實(shí)數(shù)t，|b＋ta|的最小值為1.()A．若θ確定，則|a|唯一確定B．若θ確定，則|b|唯一確定C．若|a|確定，則θ唯一確定D．若|b|確定，則θ唯一確定答案B解析|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cosθ·t＋|b|2.因?yàn)閨b＋ta|min＝1，所以eq\f(4|a|2·|b|2－4|a|2·|b|2cos2θ,4|a|2)＝|b|2(1－cos2θ)＝1.所以|b|2sin2θ＝1，所以|b|sinθ＝1，即|b|＝eq\f(1,sinθ).即θ確定，|b|唯一確定．二、填空題9．已知a，b，c為單位向量，且滿足3a＋λb＋7c＝0，a與b的夾角為eq\f(π,3)，則實(shí)數(shù)λ＝________.答案－8或5解析由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c為單位向量，則a2＝b2＝c2＝1，則49＝9＋λ2＋6λcoseq\f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝510．已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范圍________．答案[1,7]解析方法一∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范圍是[1,7]．方法二設(shè)θ為兩向量a，b的夾角，則θ∈[0，π]．∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosθ＝25－24cosθ，∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7]．11．在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，則AB的長為________．答案eq\f(1,2)解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(AB,\s\up6(→))|cos60°－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝1.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－|\o(AB,\s\up6(→))|))|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝0，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2).三、解答題12．已知非零向量a，b，滿足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，且a·b＝eq\f(1,2).(1)求向量a，b的夾角；(2)求|a－b|.解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，∴a2－b2＝eq\f(1,2)，即|a|2－|b|2＝eq\f(1,2)；又∵|a|＝1，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).∵a·b＝eq\f(1,2)，∴|a|·|b|cosθ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，∴向量a，b的夾角為45°.(2)∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2＝eq\f(1,2)，∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2).13．設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是eq\f(π,3)，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角．解∵|n|＝|m|＝1且m與n的夾角是eq\f(π,3)，∴m·n＝|m||n|coseq\f(π,3)＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).|a|＝|2m＋n|＝eq\r(2m＋n2)＝eq\r(4×1＋1＋4m·n)＝eq\r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq\r(7)，|b|＝|2n－3m|＝eq\r(2n－3m2)＝eq\r(4×1＋9×1－12m·n)＝eq\r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq\r(7)，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝eq\f(1,2)－6×1＋2×1＝－eq\f(7,2).設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(2π,3)，故a與b的夾角為eq\f(2π,3).14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.解(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得a·b＝－6.∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－6,4×3)＝－eq\f(1,2)，又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝eq\r(13).|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37.∴|a－b|＝eq\r(37).15．已知非零向量a，b，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．解由向量垂直得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b＝15b2，,7a2－30a·b＝－8b2，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b＝\f(1,2)|b|2，,|a|＝|b|，))∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2)|b|2,|b|2)＝eq\f(1,2)，∴a與b的夾角為eq\f(π,3).

B組能力提升一、選擇題1.已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．2 C． D．14【答案】A【解析】，，又，且與的夾角為，所以.故選：A2.設(shè)，若單位向量，滿足：且向量與的夾角為，則（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由題意得，，，，又向量與的夾角為，得，又，，則，所以.故選：A.3.在邊長為3的菱形中，，，則=（）A． B．-1C． D．【答案】C【解析】.故選:C.4．已知平面上三點(diǎn),,滿足,,,則()A． B． C． D．【答案】D【解析】,,故為直角三角形,且故選:D.5.（多選）下列命題中，結(jié)論正確的有（）A．B．若，則C．若，則A?B?C?D四點(diǎn)共線；D．在四邊形中，若，，則四邊形為菱形.【答案】BD【解析】對于A，，故A錯(cuò)誤；對于B，若，則，所以，，故，即B正確；對于C，，則或與共線，故C錯(cuò)誤；對于D，在四邊形中，若，即，所以四邊形是平行四邊形，又，所以，所以四邊形是菱形，故D正確；故選：BD6．（多選）若內(nèi)接于以為圓心，為半徑的圓，且，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．【答案】BD【解析】由于內(nèi)接于以為圓心，為半徑的圓，且，所以，兩邊平方并化簡得，，兩邊平方并化簡得，，兩邊平方并化簡得.所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，D選項(xiàng)正確.故選：BD二、填空題7．已知向量eq\o