第十一章

2簡諧運動的描述學習目標

1.知道什么是振動的振幅、周期、頻率，知道周期和頻率的關(guān)系.2.知道簡諧運動的數(shù)學表達式，知道其中各物理量的意義.3.了解相位的概念.內(nèi)容索引知識探究題型探究達標檢測知識探究一、描述簡諧運動的物理量如圖1所示，水平桌面上的木質(zhì)框架質(zhì)量為M，懸掛在框架上的輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)為k，小鐵球質(zhì)量為m.小鐵球能靜止在A點，現(xiàn)將小鐵球從A上方1cm處的B由靜止釋放，經(jīng)0.5s小鐵球第1次到達A點.小鐵球的運動可視為簡諧運動，則：導學探究圖1答案

T＝2s，A＝1cm.答案(1)小鐵球的周期是多少？振幅多大？(2)有人說小鐵球的振幅只不過是其振動過程中位移的一個特殊值而已，你是否贊同這個觀點？答案

不贊同.振動中的位移與振幅是振動的兩個重要物理量，其不同處有許多方面：①振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，而位移是振動物體相對于平衡位置的位置變化.②振幅是表示振動強弱的物理量，而位移是表示振動物體某時刻離開平衡位置的大小與方向.簡諧運動中振幅是不變的，但位移是時刻變化的.③振幅是標量，位移是矢量.④振幅在數(shù)值上等于最大位移的大小.答案1.全振動(1)振子以相同的

相繼通過同一位置所經(jīng)歷的過程叫做一次全振動.(2)某一階段的振動是否為一次全振動，可以從以下兩個角度判斷：一是從物體經(jīng)過某點時的特征物理量看：如果物體的位移和

都回到原值(大小、方向兩方面)，即物體從同一個方向回到出發(fā)點，則物體完成了一次全振動.二是看物體在這段時間內(nèi)通過的路程是否等于振幅的四倍.知識梳理速度速度2.周期和頻率(1)周期是振動物體完成一次全振動所需要的時間，頻率是單位時間完成全振動的次數(shù)，所以T和f的關(guān)系為

.(2)周期和頻率由振動系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定，與振幅無關(guān).3.振幅和路程(1)振幅是表示

的物理量，是標量.振幅的大小反映了振動系統(tǒng)

的大小.(2)振動物體一個周期內(nèi)的路程為

，半個周期內(nèi)的路程為

，

個周期內(nèi)的路程

(填“一定”或“不一定”)是A.振動強弱能量4A2A不一定二、簡諧運動的表達式導學探究在上一節(jié)的學習中，我們知道做簡諧運動物體的振動位移隨時間按正弦函數(shù)規(guī)律變化，在數(shù)學課上我們學習過正弦函數(shù)y＝Asin(ωt＋φ)，你知道A、ω、φ各表示簡諧運動的什么物理量嗎？答案答案

A代表簡諧運動的振幅；ω叫做簡諧運動的圓頻率，它與周期T的關(guān)系為ω＝

；(ωt＋φ)代表簡諧運動的相位，φ是初相位.知識梳理對表達式x＝Asin(ωt＋φ)的理解：(1)式中x表示振動物體相對于平衡位置的位移；t表示振動的時間.(2)A表示振動物體偏離平衡位置的最大距離，即

.(3)ω稱做簡諧運動的

，它也表示簡諧運動振動的快慢，與周期T及頻率f的關(guān)系：ω＝

＝

.振幅圓頻率2πf(4)ωt＋φ代表簡諧運動的相位，其中φ是t＝0時的相位，稱為初相.相位是一個角度，單位是

或

.(5)相位差：若兩個簡諧運動的表達式為x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，則相位差為Δφ＝

＝

.當Δφ＝

時，兩振動物體振動步調(diào)一致.當Δφ＝

時，兩振動物體振動步調(diào)完全相反.弧度度(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)φ2－φ10π三、簡諧運動的周期性和對稱性導學探究如圖2所示，物體在A與B之間運動，O點為

，C和D兩點關(guān)于O點對稱，則：(1)時間的對稱①物體來回通過相同的兩點間的時間

，即tDB＝tBD.②物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO.圖2相等平衡位置(2)速度的對稱①物體連續(xù)兩次經(jīng)過同一點(如D點)的

大小相等，方向相反.②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反.(3)位移的對稱①物體經(jīng)過同一點(如C點)時，位移

.②物體經(jīng)過關(guān)于O點對稱的兩點(如C點與D點)時，位移大小

，方向

.速度相等相等相反題型探究例1

彈簧振子在A、B間做簡諧運動，O為平衡位置，A、B間的距離是20cm，振子由A運動到B的時間是2s，如圖3所示，則

A.從O→B→O振子做了一次全振動B.振動周期為2s，振幅是10cmC.從B開始經(jīng)過6s，振子通過的路程是60cmD.從O開始經(jīng)過3s，振子處在平衡位置一、描述簡諧運動的物理量及其關(guān)系解析答案圖3√解析振子從O→B→O只完成半個全振動，A選項錯誤；從A→B振子也只完成了半個全振動，半個全振動的時間是2s，所以振動周期是4s，振幅是振動物體離開平衡位置的最大距離，振幅A＝10cm，B選項錯誤；t＝6s＝

，所以振子經(jīng)過的路程為4A＋2A＝6A＝60cm，C選項正確；從O開始經(jīng)過3s，振子處在位置A或B，D選項錯誤.例2

一個小球和輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)，按x1＝5sin(8πt＋

π)cm的規(guī)律振動.(1)求該振動的周期、頻率、振幅和初相；二、對簡諧運動表達式的理解解析答案(2)另一簡諧運動表達式為x2＝5sin(8πt＋

π)cm，求它們的相位差.解析答案答案

π例3

如圖4所示，一質(zhì)點沿水平直線做簡諧運動，先后以相同速度通過a、b兩點，經(jīng)歷時間tab＝1s，過b點后再經(jīng)t′＝1s質(zhì)點第一次反向通過b點.若在這兩秒內(nèi)質(zhì)點所通過的路程是8cm，該質(zhì)點的振動周期為___，振幅為_____.三、簡諧運動的周期性和對稱性圖4解析答案4s4cm解析簡諧運動是以平衡位置為中心的對稱運動，因為通過a、b兩點時的速度相同，所以a、b連線的中點O必是振動的平衡位置.根據(jù)簡諧運動的對稱性可知，質(zhì)點從b點返回a點所用的時間必與從a點到b點所用的時間相同，即tba＝tab＝1s，質(zhì)點從a點經(jīng)左方極端位置d再返回a點所用的時間tada必與質(zhì)點從b點經(jīng)右方極端位置c再返回b點所用的時間tbcb相等，即tada＝tbcb＝t′＝1s.綜上所述，質(zhì)點的振動周期為T＝tab＋tbcb＋tba＋tada＝4s.課堂要點小結(jié)達標檢測1.(描述簡諧運動的物理量)一質(zhì)點做簡諧運動，其位移x與時間t的關(guān)系圖象如圖5所示，由圖可知

A.質(zhì)點振動的頻率是4HzB.質(zhì)點振動的振幅是2cmC.t＝3s時，質(zhì)點的速度最大D.t＝3s時，質(zhì)點的振幅為零√解析答案√123圖5解析由題圖可以直接看出振幅為2cm，周期為4s，所以頻率為0.25Hz，所以選項A錯誤，B正確.t＝3s時，質(zhì)點經(jīng)過平衡位置，速度最大，所以選項C正確.振幅等于質(zhì)點偏離平衡位置的最大位移的大小，與質(zhì)點的位移有著本質(zhì)的區(qū)別，t＝3s時，質(zhì)點的位移為零，但振幅仍為2cm，所以選項D錯誤.1232.(簡諧運動的周期性和對稱性)一個做簡諧運動的質(zhì)點，先后以同樣的速度通過相距10cm的A、B兩點，歷時0.5s(如圖6所示).過B點后再經(jīng)過t＝0.5s，質(zhì)點以大小相等、方向相反的速度再次通過B點，則質(zhì)點振動的周期是

A.0.5s B.1sC.2s D.4s答案√解析123圖6解析根據(jù)題意，由振動的對稱性可知：A、B的中點(設為O)為平衡位置，A、B兩點對稱分布于O點兩側(cè)，如圖所示.質(zhì)點從平衡位置O向右運動到B的時間應為tOB＝

×0.5s＝0.25s.質(zhì)點從B向右到達右方最大位移處(設為D)的時間tBD＝

×0.5s＝0.25s.所以，質(zhì)點從O到D的時間tOD＝

T＝0.25s＋0.25s＝0.5s.所以T＝2s.1233.(簡諧運動的圖象與表達式)某質(zhì)點做簡諧運動，其位移隨時間變化的關(guān)系式為x＝Asin

t，則質(zhì)點

A.第1s末與第3s末的位移相同B.第1s末與第3s末的速度相同C