上實驗2024-2025學年第二學期高一年級數(shù)學期末2025.6一、填空題（本大題滿分40分,共有10題，每題填對得4分，否則一律得零分）1．與的等差中項為.2．已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標為.3．若是關于的方程的一個根，則．4．計算：.5．已知平面向量，，若，則.6．將函數(shù)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將圖象向左平移個單位，得到偶函數(shù)的圖象，則的最小值是.7．設兩個等差數(shù)列的前項和分別為，若對任意正整數(shù)都有，則的值為.8．已知函數(shù)在處取得最小值，則.9．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，若對任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍為.10．已知中，點分別是的重心和外心，且，則邊的長為.二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題選對得4分，否則一律得零分）11．已知向量，，則（

）A． B． C． D．12．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形13．已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．14．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件三、解答題(本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟)15.（本題滿分10分）已知z是復數(shù)，若是實數(shù)，是純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．(1)求復數(shù)；(2)設復數(shù)z，在復平面內(nèi)所對應的向量分別是，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．16．（本題滿分10分）已知是數(shù)列的前項和，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.17.（本題滿分12分）如圖，扇形的面積為，且.(1)求.(2)若，且，求，的值.(3)在弧上是否存在點（不與重合），使得.若存在，求的值；若不存在，請說出理由.18.（本題滿分12分）已知是首項為1的等差數(shù)列，是其前項和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項公式；(2)設是由數(shù)列及的公共項按照從小到大的順序排列而成的數(shù)列，是其前項和，用直接寫出的表達式；(3)設數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前項和，若對于任意的正整數(shù)，恒成立，求的最小值.四、附加題19．（本題滿分10分）對于一組向量（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“1向量”.(1)若，，則向量組是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，請說明理由；(2)已知均是向量組的“1向量”，其中，.設在平面直角坐標系中有一點列且）滿足：為坐標原點，，且與關于點對稱，與關于點對稱，求的最大值.20．（本題滿分10分）兩個由實數(shù)組成的無窮數(shù)列和具有下述關系：對，，都有已知，.求的所有可能值.上實驗2024-2025學年第二學期高一年級數(shù)學期末2025.6一、填空題（本大題滿分40分,共有10題，每題填對得4分，否則一律得零分）1．與的等差中項為.【答案】【詳解】由等差中項的定義可知，與的等差中項為.故答案為：2．已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標為.【答案】【詳解】因為，，所以在方向上的投影向量的坐標為.故答案為：.3．若是關于的方程的一個根，則．【答案】【詳解】根據(jù)方程復數(shù)根互為共軛復數(shù)，可得為另外一個根.利用韋達定理結合復數(shù)的加法和乘法運算可知，故答案為：.4．計算：.【答案】【詳解】，故.故答案為：5．已知平面向量，，若，則.【答案】/【詳解】由，，且，得，所以，所以.故答案為：.6．將函數(shù)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），再將圖象向左平移個單位，得到偶函數(shù)的圖象，則的最小值是.【答案】/【詳解】將函數(shù)圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），可得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數(shù)的圖象，因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，故當時，取最小值.故答案為：.7．設兩個等差數(shù)列的前項和分別為，若對任意正整數(shù)都有，則的值為.【答案】【詳解】因為為等差數(shù)列，所以．故答案為：.8．已知函數(shù)在處取得最小值，則.【答案】【詳解】因為，其中因為函數(shù)在處取得最小值，則則，即，所以故答案為：9．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，若對任意正整數(shù)，都有，則的取值范圍為.【答案】【詳解】因為，所以，即，得到，而，則，故是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，可得，即，因為，所以，則，因為，所以，則，即，得到，且令，我們對的取值進行分類討論，易得，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，可得，此時令，由一次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故，此時得到，當為偶數(shù)時，可得，此時，令，由一次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，故，此時得到，綜上可得，.故答案為：10．已知中，點分別是的重心和外心，且，則邊的長為.【答案】【詳解】延長交于點，連接，作于點，則分別為的中點，如下圖所示：易知，同理可得，由重心性質(zhì)可知；所以；又，即，可得；所以，可得；因此，即.故答案為：二、選擇題（本大題滿分16分，共有4題，每題選對得4分，否則一律得零分）11．已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】作出圖形如圖所示，令，，則，而，，，所以在中，，故.故選：A.12．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】C【詳解】由，可得，，，所以，，因為，所以，即，所以是等腰三角形.故選：C.13．已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【詳解】由是偶函數(shù)，得，展開并整理得：，根據(jù)二倍角公式得：，整理得：，結合，得，代入，，則，利用積化和差公式：化簡得：，當時，取得最大值.故選：B14．已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，且，則“”是“”的（

）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，，當時，，所以不具有充分性；，所以，又，則，所以，所以，不妨設因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以設公比為，則，，當時，，，所以，，當時，，；當時，，，所以，，所以，所以具有必要性，綜上，是的必要不充分條件.故選：A.三、解答題(本大題滿分44分，共有4題，解答下列各題必須寫出必要的步驟)15.（本題滿分10分）已知z是復數(shù)，若是實數(shù)，是純虛數(shù)，其中i為虛數(shù)單位．(1)求復數(shù)；(2)設復數(shù)z，在復平面內(nèi)所對應的向量分別是，若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)且.【詳解】（1）設復數(shù)，由是實數(shù)知，即，所以．又因為是純虛數(shù)，則為純虛數(shù)，即且，所以，所以．由（1）知，則，所以，，因為向量與的夾角為鈍角，所以，且與不共線，即，且解得且.16．（本題滿分10分）已知是數(shù)列的前項和，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由數(shù)列滿足，當時，可得，兩式相減，可得，即，即，當時，，即，解得，所以數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得數(shù)列的通項公式為，則，令，可得數(shù)列的前項和為，當時，可得；當時，可得，所以數(shù)列的前項和.17.（本題滿分12分）如圖，扇形的面積為，且.(1)求.(2)若，且，求，的值.(3)在弧上是否存在點（不與重合），使得.若存在，求的值；若不存在，請說出理由.【答案】(1)(2)，(3)存在，，理由見解析；【詳解】（1）由題意可得，，則.（2）因，則，則，因，則，解得，.（3）設存在，以為原點，所在直線為軸，和垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系，則，設，則由，可得，即則，即，得或，因，則，則，則，故存在，使得.18.（本題滿分12分）已知是首項為1的等差數(shù)列，是其前項和，是等比數(shù)列，且，，.(1)求與的通項公式；(2)設是由數(shù)列及的公共項按照從小到大的順序排列而成的數(shù)列，是其前項和，用直接寫出的表達式；(3)設數(shù)列滿足，，，是數(shù)列的前項和，若對于任意的正整數(shù)，恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)627【詳解】（1）設的公差為，的公比為，則，解得，所以，.（2）設，則，，因為為正整數(shù)，所以能被4整除，所以為偶數(shù)，即，.（3）因為，所以，所以；又，所以，，，兩式相減可得.，.因為，所以；所以，時，令，則，即為遞增數(shù)列，所以，解得，故的最小值為.四、附加題19．（本題滿分10分）對于一組向量（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“1向量”.(1)若，，則向量組是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，請說明理由；(2)已知均是向量組的“1向量”，其中，.設在平面直角坐標系中有一點列且）滿足：為坐標原點，，且與關于點對稱，與關于點對稱，求的最大值.【答案】(1)存在，(2)12144【詳解】（1）法1：，，，，，…向量組以4為周期.，，不是該向量組的“1向量”；，是該向量組的“1向量”；，不是該向量組的“1向量”；，不是該向量組的“1向量”；存在“1向量”，“1向量”為.法2：由題意可得，因為，所以向量組以4為周期，若存在“1向量”，只需使，又，所以，故只需使，