大學(xué)概率論試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，則\(P(AB)\)等于（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.42.若隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}kx^2,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(k\)的值為（）A.1B.2C.3D.44.已知隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，則\(P(X\leqslant1)\)等于（）A.0.2B.0.3C.0.5D.0.75.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(X\simN(0,1)\)，\(Y\simN(1,1)\)，則\(Z=X+Y\)服從（）A.\(N(0,2)\)B.\(N(1,2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(1,1)\)6.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，則\(E(X^2)\)等于（）A.4B.6C.8D.107.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服從（）A.\(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^2)\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^2)\)8.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\gt0\\0,&x\leqslant0\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，則參數(shù)\(\theta\)的矩估計(jì)量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)C.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)\(H_0\)，備擇假設(shè)\(H_1\)，則稱（）為犯第一類錯(cuò)誤。A.\(H_0\)為真時(shí)接受\(H_1\)B.\(H_0\)為假時(shí)接受\(H_1\)C.\(H_0\)為真時(shí)拒絕\(H_0\)D.\(H_0\)為假時(shí)拒絕\(H_0\)10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則\(F(x)\)具有的性質(zhì)是（）A.單調(diào)遞減B.\(0\leqslantF(x)\leqslant1\)C.\(F(-\infty)=1\)D.\(F(+\infty)=0\)答案：1.A2.B3.C4.C5.B6.C7.A8.A9.C10.B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqslantP(A)\leqslant1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.若\(A\subseteqB\)，則\(P(A)\leqslantP(B)\)E.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)2.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)服從二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則（）A.\(E(X)=np\)B.\(D(X)=np(1-p)\)C.\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\)D.\(X\)取值為\(0\)到\(n\)E.\(X\)是離散型隨機(jī)變量3.若隨機(jī)變量\(X\)的概率密度\(f(x)\)滿足（）A.\(f(x)\geqslant0\)，\(\forallx\inR\)B.\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)C.\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)D.\(F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt\)E.\(f(x)\)連續(xù)4.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布函數(shù)為\(F(x,y)\)，則（）A.\(F(-\infty,y)=0\)B.\(F(x,-\infty)=0\)C.\(F(+\infty,+\infty)=1\)D.\(F(x,y)\)關(guān)于\(x\)單調(diào)不減E.\(F(x,y)\)關(guān)于\(y\)單調(diào)不減5.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，且\(E(X)=2\)，\(E(Y)=3\)，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則（）A.\(E(X+Y)=5\)B.\(E(XY)=6\)C.\(D(X+Y)=13\)D.\(D(XY)=36\)E.\(P(X=Y)=0\)6.以下哪些是常見(jiàn)的離散型分布（）A.兩點(diǎn)分布B.均勻分布C.泊松分布D.正態(tài)分布E.二項(xiàng)分布7.設(shè)\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來(lái)自總體\(X\)的樣本，以下哪些是統(tǒng)計(jì)量（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(\sum_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(X_1+X_2\)E.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\)（\(\mu\)未知）8.關(guān)于參數(shù)估計(jì)，以下說(shuō)法正確的有（）A.點(diǎn)估計(jì)有矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法B.矩估計(jì)法的原理是用樣本矩估計(jì)總體矩C.極大似然估計(jì)法的基本思想是使樣本出現(xiàn)的概率最大D.無(wú)偏估計(jì)是指估計(jì)量的期望等于被估計(jì)的參數(shù)E.有效估計(jì)是指在無(wú)偏估計(jì)類中，方差最小的估計(jì)量9.在假設(shè)檢驗(yàn)中，與拒絕域有關(guān)的因素有（）A.原假設(shè)和備擇假設(shè)B.顯著性水平C.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量D.樣本容量E.總體分布10.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=\frac{a}{k(k+1)},k=1,2,\cdots\)，則（）A.\(a=1\)B.\(a\)需滿足\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a}{k(k+1)}=1\)C.\(P(X=1)=\frac{a}{2}\)D.\(P(X\geqslant2)=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{a}{k(k+1)}\)E.\(X\)是離散型隨機(jī)變量答案：1.ABCD2.ABCDE3.ABCD4.ABCDE5.ABC6.ACE7.ABCD8.ABCDE9.ABCDE10.BCDE三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(A\)與\(B\)互斥，則\(A\)與\(B\)一定相互獨(dú)立。（）2.連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)取任何給定實(shí)數(shù)值\(a\)的概率都為0。（）3.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)是總體期望\(\mu\)的無(wú)偏估計(jì)。（）5.若總體\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則樣本方差\(S^2\)服從自由度為\(n\)的\(\chi^2\)分布。（）6.在假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)樣本容量一定時(shí)，減小犯第一類錯(cuò)誤的概率，必然會(huì)增大犯第二類錯(cuò)誤的概率。（）7.設(shè)隨機(jī)變量\(X\)的分布函數(shù)\(F(x)\)連續(xù)，則\(Y=F(X)\)服從均勻分布\(U(0,1)\)。（）8.若\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布\(N(0,1)\)。（）9.兩個(gè)隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)的聯(lián)合分布唯一確定它們各自的邊緣分布。（）10.總體參數(shù)的置信區(qū)間一定包含總體參數(shù)的真實(shí)值。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.×6.√7.√8.√9.√10.×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(\Omega\)是它的樣本空間，對(duì)于\(E\)的每一個(gè)事件\(A\)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿足：非負(fù)性\(P(A)\geqslant0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對(duì)兩兩互斥事件\(A_i\)，\(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡(jiǎn)述離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別。答案：離散型隨機(jī)變量取值是可列個(gè)或有限個(gè)，用分布律\(P(X=x_k)\)描述概率分布。連續(xù)型隨機(jī)變量取值充滿某個(gè)區(qū)間，用概率密度\(f(x)\)描述，概率通過(guò)積分\(P(a\ltX\ltb)=\int_{a}^f(x)dx\)計(jì)算，取單點(diǎn)值概率為0。3.簡(jiǎn)述矩估計(jì)法的基本步驟。答案：先求總體的\(k\)階矩\(E(X^k)\)（含未知參數(shù)），再求樣本的\(k\)階矩\(A_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i^k\)，令總體\(k\)階矩等于樣本\(k\)階矩，即\(E(X^k)=A_k\)，解出未知參數(shù)的表達(dá)式，即為矩估計(jì)量。4.簡(jiǎn)述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；選擇合適檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量并確定其分布；給定顯著性水平\(\alpha\)，確定拒絕域；根據(jù)樣本值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；將統(tǒng)計(jì)量值與拒絕域比較，作出拒絕或接受\(H_0\)的決策。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論在實(shí)際生活中，概率論有哪些具體的應(yīng)用場(chǎng)景？答案：在保險(xiǎn)行業(yè)，用于計(jì)算保險(xiǎn)費(fèi)率，評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)概率。在質(zhì)量控制中，判斷產(chǎn)品是否合格，估計(jì)次品率。在投資領(lǐng)域，分析股票漲跌概率，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。在天氣預(yù)報(bào)中，用概率描述天氣狀況可能性，輔助決策。2.討論隨機(jī)變量的獨(dú)立性在實(shí)際問(wèn)題中的意義。答案：若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，意味著一個(gè)變量的取值不影響另一個(gè)變量取值概率。在實(shí)際中，可簡(jiǎn)化概率計(jì)算，如多個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成系統(tǒng)可靠性計(jì)算。還能用于分析變量間是否存在關(guān)聯(lián)，助于建立合適數(shù)學(xué)模型解