23個經(jīng)典的不等式專題

證明：/H----4----r+...H-----<2；

2232n2

33

畫若：a+b=2f求證：。+力42;

若：neN.,求證：—<,--—>F——+<7;

2〃+7〃+22n

幽若：a,b>。，且必=〃+6+3,求：。+〃的取值范圍；

畫若：。，九c是』A8C的三邊，求證：+------>C

1+a1+b7+c

幽當〃之2時，求證：-——L<4+4+?.?+4</-，；

2〃+/2232n2n

若xeK,求y=+x+1-ylx2-x+1的值域；

求函數(shù)￥=史嗎的最大值和最小值；

2—cos。

畫若〃也。>0,求證：------+------+------->-----------

a+hh+cC+Qa+h+c

例10|.若“，仇ceA,且滔+M+C?2=25,試求：〃一2〃+2c的取值范圍;

例11.若a,b,cwK,且2a-/>—2c=6,求/的最小值;

布耳.若〃，仇CGR,且（〃一/廣+（力+2）2+（。-3）~=，求。+力+。的最大值和最小值;

1654

222

例13.若。，8c>0,x,y,z>0f且滿足/+M+C2=25,x+y+z=36f

..??.a+b+c,?

ax^-by+cz=30求：-----------的值;

9x+y+z

而聞求證：y-^<-；

-------JA3

例同當〃22時,求證：2<（1+,）”<3;

n

11-31-351,3*5?(2H—1)rz------

例16.求證:—I---------1-------------+...+-----------------------<yJ2n+l

224246246-.,.-(2n)

例17.求證：2dl+/-/)v/T—尸+—尸+...4—■=<\[2(yj2n+1—1);

\j2VJ\Jn

----.X

例18.已知：x>〃，求證：----<ln(/+x)<x;

-------7+x

例19.已知：〃GN*,求證：一+—F...+-------<ln(7+/l)<14--F…H—;

----23n+12n

例20.已知:n>2,求證：2">〃(〃一/);

例21.已知：〃￡/>+,求證：/+—I—+???-<--------->一;

----232n-l2

2

例2幺.設(shè):5“=+萬3+.??+“(〃+/),求證：n(n+l)<2Sfl<(n+l);

例2&已知:〃GN+,求證：/<—+2.

〃+7〃+2

23個經(jīng)典的不等式專題解析（修正版）

I例i|.證明：I+4+4+...+4v2；

—2~3~tr

［證明］

m放縮法

y—=7+y—</+y-----------=/+y-------------=/+

匕M6M巴k（k—l）￡任-k］

從第二項開始放縮后，進行裂項求和.此法稱為“|放縮法|”.

⑵積分法I

構(gòu)建函數(shù)：/（x）=—,則/（x）在XGR+區(qū)間為單調(diào)遞減函數(shù).

X2

-<2

n

從第二項開始用積分，當函數(shù)是減函數(shù)時，積分項大于求和項時，積分限為［1,川；

積分項小于求和項時，積分限為+此法稱為積分法.

⑶加強版

q、1117

求證：---^+???d....-<一

I222n24

［證明］放縮法

111111

-T-+——+...H-<——H------F------4

I222n2I222-132-1n2

數(shù)學上，這種數(shù)列求和S”叫4階級數(shù)I；當〃f00時，S“叫I無窮級數(shù)I，簡稱I級數(shù)

33

1例2.若：a+b=29求證：a+b<2

［證明］

「)公式法

22

-k-b^=(a-k-b)(a-\-b-ab)^ab(a+b)t:ab(a+b)^2

33

則：3ab(a+b)<6fa-i-b^Sabia^-bj^St即：(a+b)3￡8,即：a+bW2.

立方和公式以及均值不等式配合.此法稱為立方和的公式法F.

⑵琴生不等式

構(gòu)建函數(shù)：/(x)=xJ,則在XGR+區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，且是下凸函數(shù).

對于此類函數(shù)，|琴生不等式|表述為:函數(shù)值的平均值不小于平均值的函數(shù)值.

即：八*/)+/(」2)+…+〃x八/J/+X2+…+與)

nn

對于本題：回嚴”苧即：號之a(chǎn)+b

~T

q3+22日日a+b/,日日,.

即：<------=—=1,即：----<1,即：。十042

222

琴生不等式可秒此題.此法稱為“像生不等式.

⑶權(quán)方和不察親

若(a>0,b>0,m>0或m<-l)

則?——+

.b;nb；一(一+…+一廠

已知：a3+b3=2即:

f（VI）2+（揚2

cmi一式丁針ab3（。+。）3（Q+。）

采用權(quán)萬和不等式：-f=—+—=—>-^=-j=-=--3

3

（揚2（⑶2?+揚22

即：/.（"+?」,即：a+b<,2.

23

此法稱為“|權(quán)方和不等式卜.

⑷森均不等式

由于幕均函數(shù)%（。）=°/+做'+???+%；,隨/單調(diào)遞增而得到幕均不等式:

n

監(jiān)（。）4%（。），即:

此法稱為“氟均不等式”.

國.若：nG.Ar+,求證：-W----+-----+...H----<1

2n+1〃+22/1

［解析］

由放縮法

由：〃+〃之〃+無>〃（A=7,2,…得：—<--—<—

2nn+kn

/////V1J111n

即I：?<2,----〈工-t即：4-----H------F...4------<一

仁12,1石〃+A仁嚴2nn+1n+2n+nn

1111.

故：一<----+-----+...+—<I.

2〃+1n+22n

從一開始就放縮，然后求和.此法稱為“|放縮法|”.

（2）性質(zhì)法

本題也可以采用不等式性質(zhì)證明.

所證不等式中的任何一項如第A項，均滿足,"」一<［,當有〃項累加時,

2n〃+々n

不等式兩個邊界項爽以〃倍，則不等式依然成立.

即：大于最小值得〃倍，小于最大值的〃倍.

111

另外，-----------???+?^的最大值是加2#0.693/47.??，本題有些松.

〃+/〃+22n

|例4.若:a,b>0,且時=a+〃+3,求：〃+力的取值范圍；

［解析］

H丁解析法|

(a+b)2=a2b22ab>4ab=4(a+h+3)=4(a12,

2

令：t=a+b,則上式為：t-4t-12^0f即：。-6)(f+2)N0

故：￡N6或Y—2(舍).

本題采用了|均值不等式嗣二次不等式.

⑵基本不等/

由ab=a+b+3得:ab-a-b+l=4,即：("1)(1)=4.

兩正數(shù)之積為定值時，兩數(shù)相等時其和最小.

故:當3-i)=s-1)=2時,m-i)+s-i)為最小值.

即：(?！?)+(萬-7)22+2=4,即：a+bN6.

⑶拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日函數(shù)為：Ua,b)=a+b+Mab-a-b-3)

當拉氏函數(shù)取極值時，-=l+A(b-l)=0;-=I+Ma-I)=0

dadb

即：2=-----=......—,即：b-a

b-1a-1

則〃〃,5)取極值時，b=a,代入"=0+辦+3得：a2=2a+3

即：〃2-2〃-3=。，即：(。-3)(〃+1)=。，即：a=3

故：〃。,力)取極值時，b=a=3,則：a+b=6

由于當。=2時，代入"="+方+3得：2b=b+5,即：b=5

此時，a+b=2+5=7>6.

則a+〃=6為最小值，故：a+b之6.

此法稱為“拉格朗日乘數(shù)法

亟.若：。，①c是44VC的三邊，求證:ab

1+a1+b1+c

［證明］

上)單調(diào)性法

構(gòu)造函數(shù)/(x)=上，則在x>0時，人工)為單調(diào)遞增函數(shù).

1+X

所以，對于三角形來說，兩邊之和大于第三邊，即：a+b>c

那么，對于增函數(shù)有：f(a+b)>/(c),即：a+b>—①

1+a^-b1+c

由|放縮法|得:

aabb

---->--------,----->--------

1+a/+〃+b1+b1+ci+b

由上式及①式得：

ababa-\-bc

------+------>----------+----------=----------->------.

11+b1+a+b1+a+b1+a-^-b1+c

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，此法稱為單調(diào)性法”.

對于兩邊之和大于第三邊的式子，其實是“|設(shè)限法”或“彼界法卜.

|例當〃N2時，求證：---------<——Hy4-...4-<1

1-----12n+12232II2〃

［證明］

(1)放縮系

當〃N2時，n-1<n<n+1f

都擴大〃倍得：n(n-7)<n2<n(n+1),取倒數(shù)得：——-——>4>——-——,

n(n-1)nzn(n+7)

裂項：告」>$T，求和：之冷-介為去之務(wù)占)，

2

n-lnnnn+1匿k-1kQ2k二kk+1

即：1>—y+...d->--------.先放縮，裂項求和，再放縮.

n2232n22n+1

此法為放縮法F.

回積分法

構(gòu)建函數(shù)：/(x)=4,則/(x)在XG/?+區(qū)間為單調(diào)

遞減函數(shù).

由面積關(guān)系得到：SABDE>SAGDE>SAEFC

>f（k）>j￡+

本式實際上是放縮法得到的基本不等式，同前面裂項式.

后面的證法同(1).此法稱為積分法

⑶加強闕

由第1題的求證：4+4+.?.+4〈乙一—可得：4+...+4<』一，

I222n24nn+122n24n

故加強版為：當〃A2時，求證：--------<—rdr+...H-<

2n+12232n2

|例7.若xwR,求尸Jx2+x+/-Jx2-x+z的值域.

［解析］

代入向量不等式：,〃一〃V〃z-〃得：\y\=||m—^n||m—n=19故：-1<>y^l.

當且僅當加〃〃時，不等式的等號成立.

因為加與〃不平行，故：-/vyv/.

這回用絕對值不等式.此法稱為向量法上.

12)極值法

求函數(shù)y=Jx>+x+7—Jx'-“+7的極值,從而得到不等式.

極值時導數(shù)為。：/=產(chǎn)+'——產(chǎn)一，=0

2\lx2+x+l2\IX2-X+1

則：X=±oo,故函數(shù)y=\/%2十工十/一小工2一工+/的極值出現(xiàn)在x=±0c.

函數(shù)為奇函數(shù)，故我們僅討論正半軸就可以了，即在工e［0,+oo).

r~2~1~2~(\lx2+x+1-\Jx2-x+1)(\jx2+x+1+\lx2-x+1)

y=\Jx4-x+/—vx-x+1=----------------------.-----,--------------------

\jx2+x+l+\jx2-x+l

(x^+x+1)—-x+7)2x2

Vx2+x+/+Vx2-x+zyjx2+x+1+^lx2-x+1上十1十1十卜_1十，

vxxVxX

y-=^(l11L77)=/

由于是奇函數(shù)，故在XC(-8,0),

X

故：)￡(-/,/).此法稱為“極值法”.

亟.求函數(shù))，=叵”的最大值和最小值；

-----2-cos0

［解析］

日)斜率法

將函數(shù)稍作變形為：y=、/J-喀=仃四』

2-cos。xM-xN

設(shè)點”(三“，%),點%(%,%),則M(2,0),

N(c?se,—sing),而點N在單位圓上，也就

是一條直線的斜率，是過點M和圓上點N直

線斜率的倍，關(guān)鍵是直線過圓上的N點.

斜率以的范圍為：［-tan300,tan30°］

即：以+與，字

而y是必的6倍，即：y=\l'3yk,故：一/4y4/.

即：y的最大值是/,最小值是-/.

原本要計算一番，這用分析法，免計算了.此法稱為“回至組”.

12）輔助角法

先變形：y=J^sin6變形為:2y-ycosO=VJsin^=V3sin^+jcos^;

2-cos6

利用輔助角公式得：

2y=個3+y2（__^也g4--^——rcos0）=^3+y2sin（^+（p）;

J3+//

即：/2y=sin（\+Q）,即：一74—^^==sin（J+夕）4/;

22

即：即：4y<3+y1即：/<7,即：

3+/

如果要計算，需要用到輔助角公式.此法稱為“麗角閨”.

|例9,若a,b,c>0,求證：---I---I--->-

〃b+cc+〃a+b+c

［證明］

11）柯西不等質(zhì)

由柯西不等式：

a+b念+￡）［（Q+，）+（"C）+（…M篇+痣+后1）

力念+￡>[2(〃+"詠(3)2=9

即：

222V9

即：----1-----1----27-------c

a+bb+cc+a,(a+O+c)

此法稱為“柯西不等式F.

12）排序不等式

a+b+ca+b+ca+b+c9

首先將不等式變形:------+-------+-------2一；

a+bb+cc+a2

0n.eab、9nccab3

即：3+----+----+---->-,即：----+----+---->—.

a+bb+cc+a2a+bb+cc+a2

由于對稱性不妨設(shè)：aNbNc,則：a^-b>a+c>h+c:

即：「一之「一之」~

b+ca+ca+b

由排序不等式得：

正序和‘一+，一+，一之」一+〃一十，一亂序和;

b+ca+ca+ba+ca+bh+c

正序和，_+，_+，_之，_+，_+，_亂序和;

b+ca+ca+ba+bb+ca+c

J〃bcAa+bb+ca+c

上兩式相加得:2\-----+------+------A-----+-----+------

\h+ca+ca+hJa+hb+ca+c

a

即口c：--。--+----+--b-->、-3證y畢E匕.

a+bb+cc+a2

此法稱為“懈序不等式.

⑶權(quán)方和不察因

權(quán)方和不等式：若(。>0,b>0,m>0或mV—1)

-m+/-m+7/ci?

貝h-+-之(。/+???+?！?

b「b；囪+.??+”“

采用I權(quán)方和不禍得:

222(71)2(VJ)2(71)2

-------1--------1-------=---------1----------卜------

a+bb+cc+aa+bb+cc+a

、(及+及+揚2(3揚29

(a+》)+(〃+c)+(c+〃)2(a+》+c)a+》+c

此法稱為權(quán)方和不等匐”.

|例同.若a,瓦cwR,且。2+產(chǎn)+。2=25,試求："一2"+2c的取值范圍.

［解析］

m向量不等式j(luò)

設(shè)：m=［1,-2,2),n=(a,b,c)

則：m=JI24-(—2)2+22=3,n=\ja2+b2+c2=V25=5

m-n=(7,-2,2)?(a,8c)=a-2b+2c

m-n=3x5=15

代人向量不等式帆?〃4，［得:\a—2b^2c\<15

即：-15?a-2b+2cV15

此法稱為“向量不等式I”

⑵柯西不等式

由柯西不等式得：/+(-2)2+22]12+62+/)之(〃一2》+2c)2

2

即：9x25>(a-2b+2c)f故：\a-2b+2c\<.15

所以：-15<a-2b+2c<15

此法稱為柯西不等式「.

⑶拉格朗日乘數(shù)法

222

構(gòu)速拉格朗日函數(shù)：L(a9b,c)=a-2b+2c+-(a+b+c-25)

由函數(shù)在極值點的導數(shù)為0得：

—=i+—=o,則：4=—2a、即：a=——;

da22

—=-2+—=0,則：A=b,即：力=丸；

da2

—=2+—=0,則：2=—c,即：c=—4.

da2

代入。2+力2+。2=25得：-22=52,即：2=±—

43

極值點為：a=-—=qz—,b=2=±—,c=-2=4：—

2十33十3

則：=a-2b+2c=^15,即：754a—2b+2cG15

此法稱為“|拉格朗日乘薪京簡稱氏乘數(shù)法.

⑷權(quán)方和不容云

由權(quán)方和不等式卜

,22,?2.2°2,(^b)2(2c)2(a-2b+2c)2(a—2b+2c)2

5=a+C------1-----------1--------2------------------=----------；-------

144(7+4+4)32

即：9x25>(?-2Z>+2c)2,即：-15Wa-2b+2csi5

a2+(-2b/+(2c/>(〃-2b+2c)2

其中，

~T1~4~(7+4+4)

就是“權(quán)方和不等式”，也稱“柯西-蘇瓦茨不等式(推論)

卜列111.若■a,b,cwR,且2a—b—2e=6,求/+點十02的最小值

[解析]

「)向量不等支

設(shè)：m=(2,-7,-2),n=(a,b,c),

則：m=22+(-1)2+(-2)2=9;n=a2+h2+c2;mn=2a-b-2c;

代人向量不等式mn>m-n:

9(a2+b2+c2)k(2a-b-2c)2=36

即：a2-￥b2+c2>4,故：/+>+。2最小值為4.

此法稱為向量法)”.

12)柯西不等式

由柯西不等式：

[22+(-I/+(-2)2](a2+b2+c2)>(2a-b-2c)2

即：(/+M+C2)N金=4

[22+(-/)2+(-2)2]9

故：a?+力2+。2最小值為4.

此法稱為“舸西不等式.

⑶拉格朗日乘數(shù)法

構(gòu)建拉氏函數(shù)：Ua,b,c)=a2+b2+c2+A(2a-b-2c-6)

在極值點的導數(shù)為0,即：

or

—=2〃+22=0,即：丸=-a;

da

Or

—二=2b—A,=0,即：4=2力；

db

Or

—=2c—2A=0即：2=c.

def

代入2a—b—2c=6得:2=—

求極值時，要判斷是極大值還是極小值，只需用賦值法代一下，就像第4(3)題.

本題J+M+c?最小值為4.

此法稱為拉格朗日乘莪樂.

⑷權(quán)方和不等質(zhì)

由權(quán)方和不等式得：

/+廬+。2=叱+應(yīng)+四U吐處至上=4

4144+1+49

222

即：a+b^-c^49故：〃2+62+。2最小值為4.

此法稱為權(quán)方和不等式]”.

近.若a,b,cwR,且如支■+-+2)2+/-=/,求。+〃+。的最大值和最小值.

----1654

[解析]

11)柯西不等式

由柯西不等式：

/+(6)?+22][N[(a-/)+(〃+2)+(c-3)了

即：25x7A(a+>+c—2)2；故：-5<(?+^4-c-2)<5.

于是：—3<(?+/>+c)<7.

此法稱為柯西不等女卜.

⑵三角換元盤

有人說：絲二"+9+2)2+(c3)2=/是一個橢球面,沒錯.它是一個不等軸的橢球.

1654

它的三個半軸長分別為：4=4,B=?,C=2

設(shè)：x=a-1fy=b+2,z=c—3,則這個橢球的方程為：

-V2J2Z2.

①

現(xiàn)在來求a+>+c的最大值和最小值.

采用三角換元法:

令：x=AsinCeos夕，y=Bsin0sin(pfz=Ccos3

代入方程①檢驗，可知它滿足方程.

采用|輔助角公式|化簡:

f=x+y+z=AsinJeos夕+5sinesine+Ccose

=4sin6cos0+VJsinBsin夕+2cos6

=J42+5sin8(/4cos夕+一遮sin夕)+2cos0

"+54+5

=J/+5sin(a+夕)sin8+2cos0

=j2/sin2(a+/)+22[^^j^in(n+3)sjn^+?=cos6}

y]21sin2(a+(p)+22^21sin2(a+(p)+22

y]2/sin2(a+(p)+22sin(g+0)

故：/=x+y+z的峰值是:

22

當sin2(a+0)=/時，4=yj2Isin(a+(p)+2=V27+F=5

即：-54x+y+zW5

而x+y+z=a-/+0+2+c-3=Q+》+c-2,

故：—5<?+^+c—2<5,即：-3<。+)+。47.

此法稱為“|三角換元法F.

⑶拉格朗日乘數(shù)法

設(shè)拉格朗日函數(shù)為：

222

，/A\一^S(a-l)(b+2)(c-3)'

L(a,0,c)=a+6+c+/i-------1----------1---------1

1654

當拉式函數(shù)取極值時，有：—=o—=0—=0.則：

dafdb9de

察1十九;0,即：2=

dL,42(5+2)"5.5

—=1+4-------=0,Rj7:幾=---------或h+2=

db52(b+2)~2X

dLc-3_.2v._2

—=/t+4----=0,即：A=------或c-3=—.

de2c-32

則：(。一/):(。+2):(c—3)=b:工：2=，6:5:4

2

設(shè)：a-l=16k9則：b中2=5k,c-3=4k

/y(a-I)2(b+2)2(C—3)22,^2,yfi2J

代入x---------4------------+-----------=1得:16k+5kb+4k=1

1654

即：25k2=1,即：5k=±l

于是：(a-l)+(b+2)+(c-3)=16k+5k+4k=25k

即：a+6+c=5x5A+2G[-5+2,5+2]

即：?++ce[-5,7]

拉格朗日乘數(shù)法求出的是極值，即〃+力+c的極小值是-3、極大值是7.

這就是拉格朗日乘數(shù)閨”.

⑷權(quán)方和不合

由權(quán)方和不等式得：

,(a-1)2(b+2)2(c-3)2(a-l+b+2-^-c-3)2

1-------------1-------------1------------>------------------------------

165416+5+4

即：(〃+力[：―2).即：m+》+c-2)2452

5

故：-5V(〃+力+c-2)45,即：-3Ka+Z>+c<7.

此法就是權(quán)方和不等閔”.

222

例13.若a,b,c>0,x9y,z>0,且滿足a?+M+。2=25,x+y+z=36,

,__vQ+b+c,?.1.

〃x+by+cz=3〃，求：----------的值.

x+y+z

[解析]

「)柯西不等支

由柯西不等式：(J+廬+°2)12*/+*^ax+by+cz)2

當柯西不等式中等號成立時，有：-=-=-=2,

xyz

即：a=2x,b=A,yfc=Az,A,>0

本題，將“2+廬+。2=25,x2+j2+z2=56,ar+勿+cz=30代入得：

25x36之3》,正是等號成立.

則：a2+b2+c2=A2(x2y2+z2)；

_c2225_?5

即：2=———--=—,即：2=-

x2+/+z2736'6

*cabca+5+c5

xyzx+y+z6

此法稱為柯西不等式I”.

麗4).求證:^p-<j.

［證明］

口)放縮法

?I〃/〃4

k=ikk=2kk=24k

?An(i/\

<7+y^—=/+2\—......—

2

^24k-l2k+l)

=1+2x?-------］</+2x—=—

(32〃+”33

注意變形為不等式的方法，雖然仍是放縮下”.

例15|.當〃之2時,求證：2<(1+4)〃<3.

n

［證明］

(1)放縮京

由二項式定理得：

采刑放縮法|：

當〃22時，/+—>/4-?—=2

nn-nnn

即：(/+B)-2①

由二項式定理并采用寂麗得：

Vn)占〃

,An\1,A/n\

=/+〉--------*~r=/+〉-----------

匕k!(〃-k)!1￡公(〃一A"/

,G/「〃(n-1)(n-2)(n-k+1)'

力！L〃〃〃〃J

</+f-=/+/+y-=2+f-

k=l*?&=2底?A=2"?

<2+2—=2+/?]

匕g-1)k)

=2+I--<3②

n

本題由二項式中，分子由從〃開始的A個遞減數(shù)連乘，分母由々個〃連乘，得到的分數(shù)必

定小于九于是得到：(/+,)〃<3.

n

此法為放縮法F.

⑵伯努利不等質(zhì)

由伯努利不等式得：，+￡)>/+n-=2.

①式得證.

⑶單調(diào)性法

本題也可以利用函數(shù)的基本性質(zhì)證明.

x

構(gòu)速函數(shù)：

/(x)=f/+—,則在工之/時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù).

故：在人之2時，/(x)>/(7)=(2+7)2=2

利用指數(shù)不等式：l+x<ex

則：=(1+y))<(/))=e<3.

②式得證.

由于指數(shù)不等式也可以由函數(shù)單調(diào)性得到,

故此法稱為“單調(diào)性法”.

1,3,5?(2ii-1)

麗a求證：-+—???+----------------------<,2〃+1.

——224246?(2/i)

［證明］

上)裂項相消溶

由|放縮法|得:

(2〃了>(2//)2-1=(2〃-1)(211+7)

故：①

2n2n+7

(2〃-7)不24(2〃)

令：S=-----??????

n24(2〃)n35(2n+l)

由①得：S〃〈T〃②

(2〃-7)24(2n)

即：S：<S〃?T〃=????????

(2n)35(2〃+/)2n+l

故：S,,<.③

12n+l

由2y[2n+I>耳+1+，2〃一/得:

一<----，，即:一/<(\J2n+l-y/2n-l),

，2〃+1\/2n+1+\!2n-1x/2〃+1

代入③式得：S?2〃+172n-l@

e狙。c077,31?3*5,,；*(2n—1)

因為SI+S2+???+S”=-+-----F???4------------------------

12n224246??「(2〃)

所以待證式為：Si+S2+…+S,?2n+1⑤

將④式代入?+S2+.??+S”中采用裂項相消法得:

S/+§2+…+Sn<(>/2k4-1—J2k-1)=>j2n+1—7<\/2n+1

k=l

⑤式得證.

本題的關(guān)鍵在于把根式或其他式子換成兩個相鄰的根式差，

然后利用求和來消去中間部分，只剩兩頭.

此法稱為裂項相消法匕只不過更另類一些.

例17.求證:2(Vn+7-7)</+-j=+,—<\[2(\!2n4-1—1).

V2y/n

[證明]

「)裂項相消至

由放縮法得：2&V\/〃+7+5

[〉2

即：2(J〃+1-ji)①

G\Jn+1+\/n

由①式進行多項求和并采用“裂項相消法”得:

111

則：方+不…+不

>2[{>]1+1-\//)+???+(Vn+1—yfti)]

=2(51+1-1)②

由放縮法得:(&/-[)2>(8--1^-1=8n2(8〃2一2)

即：RM-])>加2(8〃2一2)③

將,8,/(8〃2-2)=2/4//(4,/一1)=2j2〃(2〃+/)j2〃(2〃-/)

代入③式得：8n2-2^2n(2n+l)^2n(2n-l)>1

令：x=2nf則上式可方為：2「2-2Jx(x+1)Jx(犬一/)>I

即：x(x+/)+x(x-7)-2ylx(x+l)y/x(x-l)>1

即：(Jx(x+1)-Jx(x-7))>/,即：+

即：岳?2n+l-yl2n-l)>1,即：*<陽以+/一以一/)④

由④式進行多項求和并采用裂項相消法「得：

1+-7=+-7=…+-7=

V2yJ3\[n

vVJ[(j2+/-V^7)+…+(J2〃+)-

<63211+1-1)⑤

由②⑤，本題得證.

本題還是采用級數(shù)求和的放縮法.此法稱裂項相數(shù)法.

(2)積分閨

1

設(shè)函數(shù)/(x)=,函數(shù)為遞減函數(shù).

函數(shù)圖象如圖.

其中，xk=k>1fXj=k-1,xk+l=k+l

則：九二玉，3卷’3號7

于是，由面積關(guān)系得:

11」1f*+/1」

―7=,dx>—7=>I-,dx

Jl&瓜兒6

即:ML*"?硼'

當時，上式即：2(五一瓦二!)>白>2(麻工1-瓜)

故：/+2(Vw-/)>^-^>2(Vw+7-/)

即：2(y[n+l-l)<^-j=<2y[n-l

故：2(yjn+l-l)<

積分法可證明②式.對⑤式，積分法松一些.

-------X

例18.已知：x>0,求證：------<ln(7+x)<x.

-------1+x

[證明]

(1)單調(diào)性法

構(gòu)造函數(shù)：/(x)=x-ln(7+x),則：f(())=().

當x>0時，函數(shù)的導數(shù)為：f'(x)=l一——>0,

1+x

即當x>0時，函數(shù)/(x)為增函數(shù).即：f(x)>f(0)=0}

故：f(x)=x—\n(l+x)>09即：ln(/4-x)<x①

當x=0時，ln(/+x)=x.

Y

構(gòu)造函數(shù)：g(x)=ln(/+x)---------,則：g(0)=0.

7+x

當x>0時，其導數(shù)為:g'(x)=-------------------------:-7=----7

I+x[l+x(7+x)-J(Z+x)

即當x>0時，函數(shù)g(x)為增函數(shù).即：g(x)>g(0)=0;

故：g(x)=ln(/+x)---->O即：一<ln(/+x)②

/+xt/+X

當x=。時，，^=ln(I+x).

/+x

由①和②，本題證畢.

本題采用構(gòu)造函數(shù)法，利用函數(shù)單調(diào)性來證題.

當xN”時，+

7+x

這是重要的不等式，簡稱為對數(shù)不等式F.

此法稱為“|單調(diào)性法.

例19.已知：〃GN*,求證：—F—F...+------<)n(7+n)<14—+...H—.

------23〃+/2n

［證明］

()積分法

構(gòu)造函數(shù)：,〃x)=,，在函數(shù)圖象上分別取三點4,B,C

x

即：A(A,"Rd,1),C(k+1,-!—)

kk-1k+1

我們來看一下這幾個圖形的面積關(guān)系：

SAEPC<SAEFH=SAEDG<AEDH

rA+//ek1

即：L-dxvf(A)?/v[—dx

Jk

xJk-ix

即：加“"v/優(yōu))<lnx|*_;

即：ln