第16講對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域；2．初步掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；3．能夠利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小、能夠解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)型不等式；4．了解反函數(shù)的概念及它們的圖象特點(diǎn)；一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1、定義：函數(shù)（，且）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域?yàn)椋?、特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)（1）常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù).（2）自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù).二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0單調(diào)性是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)【小結(jié)】當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，a越大，圖象向右越靠近x軸；時(shí)，a越小，圖象向右越靠近x軸.三、判斷一個(gè)函數(shù)是否為對(duì)數(shù)函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)必須是形如的形式，即必須滿(mǎn)足以下條件（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量四、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小常用方法1、同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2、底數(shù)不同且真數(shù)也不相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，常引用中間變量法比較，通常取中間變量為-1,0,1等；3、底數(shù)不同而真數(shù)相同的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較，常利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)比較，也可利用換底公式化為同底，再進(jìn)行比較?？键c(diǎn)一：對(duì)數(shù)函數(shù)概念及應(yīng)用例1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).故選：D.【變式訓(xùn)練】（多選）下列函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（）A．（，且）B．C．D．【答案】AC【解析】形如（，且）的函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)于A，由，且，可知，且，故A符合題意；對(duì)于B，不符合題意；對(duì)于C，符合題意；對(duì)于D，不符合題意；故選：AC.考點(diǎn)二：求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域例2．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】函數(shù)有意義，則，得，故答案為：【變式訓(xùn)練】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，即，解得或，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象判斷例3．如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數(shù)，，的一個(gè)是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案】B【解析】因?yàn)?，?）是，（4）是，又與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，（1）是．故選：B．【變式訓(xùn)練】如圖是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，已知a值取，，，，則相應(yīng)的，，，的a值依次是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】B【解析】∵當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢(shì)，又當(dāng)時(shí)，a越大，圖象向右越靠近x軸；時(shí)，a越小，圖象向右越靠近x軸，故，，，對(duì)應(yīng)的a值依次是，，，．故選：B．考點(diǎn)四：對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例4．若函數(shù)，且的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，得.又，所以的圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：【變式訓(xùn)練】函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______.【答案】【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知，令可得，此時(shí)，所以函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)；即點(diǎn)的坐標(biāo)是故答案為：考點(diǎn)五：對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性判斷例5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得：，故函數(shù)的定義域是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)______.【答案】【解析】令，即，由，則在上遞增，在上遞減，綜上，在上遞增，在上遞減，而在定義域上遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故答案為：考點(diǎn)六：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小例6．下列不等式錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)于A，由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以成立，故A正確；對(duì)于B，由，而，所以成立，故B正確；對(duì)于C，由，而，所以成立，故C正確；對(duì)于D，由，則，而，所以不成立，故D錯(cuò)誤．故選：D．【變式訓(xùn)練】（多選）已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，.即.故選：BC考點(diǎn)七：解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)型不等式例7．不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，不等式的解集為．故選：B【變式訓(xùn)練】已知（且），則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________.【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，，得；②當(dāng)時(shí)，，得.綜上所述，的取值范圍為，故答案為：考點(diǎn)八：對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性判斷例8．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，的定義域是，A選項(xiàng)，設(shè)，，解得，所以的定義域是，，所以是奇函數(shù)，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.CD選項(xiàng)，的定義域是，所以，，所以和的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A【變式訓(xùn)練】若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=____________．【答案】2【解析】由，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，故，即函數(shù)為奇函數(shù)，故a=2.故答案為：2.考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)型函數(shù)的值域求解例9．函數(shù)在上的值域是（）A．RB．(－∞，1]C．[0，1]D．[0，＋∞)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)增函數(shù)，所以在上的值域?yàn)楣蔬x：C【變式訓(xùn)練1】函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】A【解析】令，，則在上單調(diào)遞增，又，，所以，又在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：A【變式訓(xùn)練2】函數(shù)的最小值為_(kāi)_______．【答案】/【解析】顯然，∴，令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，則，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－即x＝時(shí)，有.故答案為：考點(diǎn)十：反函數(shù)的概念及應(yīng)用例10．與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與（且）互為反函數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此，與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是.故選：C.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)為的反函數(shù)，則__________．【答案】16【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為的反函數(shù)，所以所以故答案為：161．若函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)所以或，又且所以故選：B2．函數(shù)，則（）A．－2B．－1C．1D．2【答案】D【解析】由，得，則.故選：D.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，正確；對(duì)選項(xiàng)B：在上為減函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，函數(shù)為奇函數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：在上為減函數(shù)，錯(cuò)誤；故選：A4．當(dāng)時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)，是增函數(shù)，函數(shù)為底數(shù)大于0、小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，是減函數(shù)，故選：C.5．圖中曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，已知取，，，四個(gè)值，則相應(yīng)于，，，的值依次為A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】A【解析】由已知中曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得，，，的值從小到大依次為：，，，，由取，，，四個(gè)值，故，，，的值依次為，，，，故選：．6．若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，，，所以，故選：D7．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__．【答案】且【解析】要使函數(shù)函數(shù)有意義，需滿(mǎn)足，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)榍?，故答案為：?．函數(shù)（，且）的圖像一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是________．【答案】【解析】由題意得：令，即解得所以故圖像一定經(jīng)過(guò)定點(diǎn).故答案為：9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________.【答案】【解析】令，解得，則的定義域?yàn)?，記，由于的?duì)稱(chēng)軸為，故其在上單調(diào)遞減，而在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則可知：在單調(diào)遞減，故答案為：.10．若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在的反函數(shù)圖像上，則______.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖像上,所以,計(jì)算得，因?yàn)?所以的反函數(shù)為,又因?yàn)辄c(diǎn)在的反函數(shù)圖像上,所以,因?yàn)?所以,即得.故答案為:.11．若，，，，則a，b，c的大小關(guān)系是_____.【答案】【解析】因?yàn)?，又函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，又，即，因?yàn)?，所以，即則，又，所以，所以，即，綜上，.故答案為：.12．函數(shù)的反函數(shù)為_(kāi)_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，則，由，互換，得，所以函數(shù)的反函數(shù)為.故答案為：.13．已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象過(guò)點(diǎn)．（1）求a的值：（2）求的解析式；（3）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得．（2）設(shè)，則，則．因?yàn)闉槎x在上的偶函數(shù)，則．綜上所述，（3）由，得或解得或．故不等式的解集為．14．已知函數(shù)且.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若，指出函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：根據(jù)題意，，則,解得，則函數(shù)的定義域?yàn)椋钟?，則是奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，故為上的減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為；當(dāng)時(shí)，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，故為上的增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為；15．已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)．（1）求解析式；（2）若，求的值域．【答案】（1），；（2）【解析】（1）將代入，得，解得，所以，其中（2），由，解得，令，，∵，∴由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)椋?注：也正確)1．下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】對(duì)數(shù)函數(shù)（且），其中為常數(shù)，為自變量．對(duì)于選項(xiàng)A，符合對(duì)數(shù)函數(shù)定義；對(duì)于選項(xiàng)B，真數(shù)部分是，不是自變量，故它不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對(duì)數(shù)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D，底數(shù)是變量，不是常數(shù)，故它不是對(duì)數(shù)函數(shù)．故選：A．2．函數(shù)的定義域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3．函數(shù)且恒過(guò)定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)為.故選：B.4．已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，故選：D5．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，即函?shù)的值域?yàn)閇3，＋∞).故選：C6．已知，則有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，，所?故選：B.7．已知為對(duì)數(shù)函數(shù)，，則______．【答案】1【解析】設(shè)（，且），則，∴，即，∴，∴．故答案為：1.8．已知函數(shù)是函數(shù)且的反函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)，則_______.【答案】【解析】因?yàn)榈姆春瘮?shù)為，又的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，，即，故答案為：.9．已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，由，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：10．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】【解析】任取且，則，因?yàn)?，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.11．函數(shù)的值域是__________．【答案】【解析】令，則，因?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?，因?yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋?2．比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大?。海?），；（2），；（3），．【答案】（1）；（2）（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，且，所以（2）因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，且，所以（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，且，所以；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，且，所以.13