第一章空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用知識梳理1、用已知向量表示未知向量的解題策略(1)用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則．(3)在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間中仍然成立．2、證明空間任意三點(diǎn)共線的方法對空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線.(1)；(2)對空間任一點(diǎn)O，；(3)對空間任一點(diǎn)O，．3、證明空間四點(diǎn)共面的方法對空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面(1)；(2)對空間任一點(diǎn)O，；(3)對空間任一點(diǎn)O，；(4)∥(或∥或∥)．4、空間向量數(shù)量積計(jì)算的兩種方法(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)坐標(biāo)法：設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.5、空間向量數(shù)量積的三個(gè)應(yīng)用求夾角設(shè)向量a，b所成的角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角求長度(距離)運(yùn)用公式|a|2＝a·a，可使線段長度的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題解決垂直問題利用a⊥b?a·b＝0(a≠0，b≠0)，可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題注：①當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用；②當(dāng)異面直線所成的角為時(shí)，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來進(jìn)行計(jì)算．應(yīng)該注意的是，，所以③立體幾何中求線段的長度可以通過解三角形，也可依據(jù)|a|＝eq\r(a2)轉(zhuǎn)化為向量求解．6、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）設(shè)i、j、k為兩兩垂直的單位向量，如果，則叫做向量的坐標(biāo)．（2）設(shè)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么①a±b＝．②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，⑥a∥b?(λ∈R)，⑦a⊥b?.（3）設(shè)點(diǎn)M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，則考點(diǎn)一空間向量的概念及其線性運(yùn)算1．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的序號是______.①若兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②是向量的必要非充分條件；③向量、相等的充要條件是④若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件.【解析】向量相等只需滿足方向相同且模相等即可，故①錯(cuò)誤；根據(jù)相等向量的概念可知，若，則，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分條件，②正確；當(dāng)、為相反向量時(shí)，顯然滿足，故③錯(cuò)誤；因?yàn)锳、B、C、D是不共線，所以由，可知且，所以四邊形ABCD為平行四邊形，反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則由平行四邊形的性質(zhì)可得，故④正確.故答案為：②④2．（2023·福建·三明市第二中學(xué)高二開學(xué)考試）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等【解析】對于A，因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，對于B，將空間所有的單位向量平移到一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面，所以B錯(cuò)誤，對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯(cuò)誤，對于D，兩個(gè)空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟龋部赡懿幌嗟?，如向量與的模相等，所以D錯(cuò)誤，故選：A3．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在長方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：（1）的相等向量是______；（2）的相反向量是______；（3）的共線向量（平行向量）為______；（4）模為的向量是______；（5）向量，，______（填“共面”或“不共面”）.【解析】

（1）與相等的向量有，，.（2）的相反向量為，，，.（3）的共線向量（平行向量）為，，，.（4）由于長方體左、右兩側(cè)的面的對角線長均為，故模為的向量有，，，，，，，.（5）因?yàn)?，向量，，有一個(gè)公共點(diǎn)，而點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，點(diǎn)在平面外，所以向量，，不共面.故答案為：（1），，；（2），，；（3），，，；（4），，，，，，，；（5）不共面.4．（2023·重慶·高二期末）在長方體中，（

）A． B． C． D．【解析】在長方體中，易知，所以.故選：D.5．（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在三棱錐中，是的中點(diǎn)，則______.【解析】依題意，作出三棱錐，取的中點(diǎn)，連接，，如圖，則，且，.故答案為：.6．（2023·廣東揭陽·高二期末）已知空間中三點(diǎn)，，，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．平面ABC的一個(gè)法向量是 B．的一個(gè)單位向量的坐標(biāo)是C． D．與是共線向量【解析】因?yàn)?，，，故可得，因?yàn)?，故，不平行，則D錯(cuò)誤；對A：不妨記向量為，則，又，不平行，故向量是平面的法向量，則A正確；對B：因?yàn)橄蛄康哪ｉL為，其不是單位向量，故B錯(cuò)誤；對C：因?yàn)?，故可得，故C錯(cuò)誤；故選：A.考點(diǎn)二共線、共面向量定理的應(yīng)用空間向量共線問題7．（2023·山西呂梁·高二期末）在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，，所以有，因此，故選：C8．（2023·四川雅安·高二期末（理））向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則（

）A．， B．，C．， D．，【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以，解得?故選：C.9．（2023·重慶長壽·高二期末）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．4【解析】因?yàn)?，所以，所以，?jì)算得.故選：D.10．（2023·全國·高二期末）已知，，若與為共線向量，則x＝_________．【解析】因?yàn)?，且與共線，所以存在，使得，即，所以，解得；故答案為：11．（2023·吉林·四平市第一高級中學(xué)高二期末）已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（

）A． B． C．3 D．【解析】，，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12．（2023·浙江·安吉縣上墅私立高級中學(xué)高二期末）在棱長為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長度都為最短時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．【解析】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A（二）空間向量共面問題13．【多選】（2023·福建·漳州市第一外國語學(xué)校高二期末）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）A．向量，，若，則B．若對空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，則，，三點(diǎn)共線【解析】對于選項(xiàng)A，由，也可能是或，故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，因?yàn)閷臻g中任意一點(diǎn)，，則，整理得.由空間向量基本定理可知點(diǎn)，，，四點(diǎn)共面，故正確；對于選項(xiàng)C，由是空間中的一組基底，則，向量，，不共面，可得向量，，也不共面，所以也是空間的一組基底，故正確；對于選項(xiàng)D，若空間四個(gè)點(diǎn)，，，，，可得，即，則，，三點(diǎn)共線，故正確.故選：BCD.14．（2023·上海市建平中學(xué)高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】若平面ABC，則共面，故存在實(shí)數(shù)x?y，使得.若存在實(shí)數(shù)x?y，使得，則，，共面則平面ABC或平面ABC.所以“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的充分而不必要條件.故選：A.15．（2023·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高二期末）已知P，A，B，C四點(diǎn)共面，對空間任意一點(diǎn)O，若，則______.【解析】P，A，B，C四點(diǎn)共面,則存在實(shí)數(shù)，使得所以即所以，解得故答案為：16．（2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【解析】對于A選項(xiàng)，設(shè)，所以，，無解；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，故B選項(xiàng)中的三個(gè)向量共面；對于C選項(xiàng)，設(shè)，所以，，無解；對于D選項(xiàng)，設(shè)，所以，，矛盾.故選：B.17．（2023·江西·臨川一中高二期末（理））已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－6【解析】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D18．（2023·全國·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則λ=___________.【解析】由P，A，B，C四點(diǎn)共面，可得共面，，，解得.故答案為：考點(diǎn)三空間向量基本定理的應(yīng)用（一）用基底表示空間向量19．（2023·重慶長壽·高二期末）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．【解析】-＝，.故選：A．20．（2023·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．【解析】.故選：A21．（2023·廣東梅州·高二期末）已知四棱錐，底面為平行四邊形，M，N分別為棱BC，PD上的點(diǎn)，，，設(shè)，，，則向量用為基底表示為（

）A． B．C． D．【解析】即故選：D．22．（2023·河北滄州·高二期末）如圖，在正方體中，，，，若為的中點(diǎn)，在上，且，則等于（

）A． B．C． D．【解析】.故選：B.23．【多選】（2023·湖南省臨湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使成為空間的一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【解析】A：因?yàn)椋?，利用平面向量基本定理知：點(diǎn)M不在平面ABC內(nèi)，向量能構(gòu)成一個(gè)空間基底；B：因?yàn)?，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能?gòu)成一個(gè)空間基底；C：由，利用平面向量基本定理和空間平行六面體法知：OM是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的對角線，向量能構(gòu)成一個(gè)空間基底；D：由，根據(jù)平面向量的基本定理知：向量共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.故選：AC.（二）利用空間向量基本定理求參數(shù)24．（2023·甘肅·民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））在長方體中，M、N分別是BC、的中點(diǎn)，若，則______．【解析】，∴，，，．故答案為：－2.25．（2023·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高二期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C． D．【解析】連接如下圖：由于是的中點(diǎn)，.根據(jù)題意知..故選：C.26．（2023·山東聊城·高二期末）如圖，在空間平移到，連接對應(yīng)頂點(diǎn).是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，若，則（

）A． B． C．1 D．【解析】由題意可知.所以，故.故選：B27．（2023·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室高二期末（理））已知向量，，不共線，點(diǎn)在平面內(nèi)，若存在實(shí)數(shù)，，，使得，那么的值為________.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，則由平面向量基本定理得：存在，使得：即，整理得：，又，所以，，，從而.故答案為：128．（2023·四川雅安·高二期末（理））設(shè)是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)槿忮F是正三棱錐，G是的重心，所以，因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以為，故選：B考點(diǎn)四空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系29．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（

）A． B． C． D．【解析】故選：B.30．（2023·福建寧德·高二期末）已知，，，則的坐標(biāo)為______．【解析】由題設(shè)，，所以.故答案為：31．（2023·福建莆田·高二期末）已知在空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，因?yàn)榕c的中點(diǎn)相同，所以，解得，所以.故選：D.32．（2023·貴州遵義·高二期末（理））在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為.故選：A.33．（2023·江蘇無錫·高二期末）已知點(diǎn)B是A（3，4，5）在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)的射影，則||＝（）A． B． C．5 D．5【解析】∵點(diǎn)B是點(diǎn)A（3，4，5）在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，∴B（3，4，0），則||＝＝5．故選：C．34．（2023·貴州貴陽·高二期末（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，若點(diǎn)P滿足，則_______．【解析】設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以，所以；故答案為?5．（2023·江西贛州·高二期末（文））在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（

）A． B． C．2 D．3【解析】，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A36．（2023·江蘇蘇州·高二期末）若，則與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為____________.【解析】因?yàn)?，所以，所以與向量同方向的單位向量的坐標(biāo)為，故答案為：.考點(diǎn)五空間向量數(shù)量積的應(yīng)用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算37．（2023·江蘇連云港·高二期末）已知=(3，2，－1)，(2，1，2)，則=___________．【解析】因?yàn)?，故答案為?38．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意，空間向量，，，可得，則.故選：A.39．（2023·福建省華安縣第一中學(xué)高二期末）三棱錐中，，，，則______．【解析】由題意得，故，,故答案為：-240．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．【解析】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：2441．（2023·廣西欽州·高二期末（理））如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．4 D．8【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點(diǎn)，正四棱柱的三個(gè)邊的方向分別為軸、軸和看軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個(gè)數(shù)為1.故選：A.42．（2023·安徽·安慶市第二中學(xué)高二期末）已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，為圓的直徑，為圓上的點(diǎn)，則的最大值為（

）A．4 B． C．5 D．【解析】如圖所示由題意可知，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,所以，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，所以的最大值為4.故選:A.利用空間向量的數(shù)量積求夾角43．（2023·福建廈門·高二期末）在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【解析】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B44．（2023·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，，所以所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)椋?；故選：C45．（2023·吉林遼源·高二期末）已知空間向量，是單位向量，，則向量與的夾角為______.【解析】，，因?yàn)椋?，所以，由，得向量與的夾角為.故答案為：46．（2023·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.【解析】∵向量與的夾角為鈍角，∴·＝解得.當(dāng)與共線時(shí)，設(shè)＝k(k<0)，可得，解得，即當(dāng)時(shí)，向量與共線且反向，此時(shí)·<0，但與的夾角不是鈍角.綜上：λ的取值范圍是.故答案為：利用空間向量的數(shù)量積解決垂直問題47．（2023·福建莆田·高二期末）已知向量，且與互相垂直，則k的值為（

）A．－2 B．－ C． D．2【解析】由與互相垂直，則，解得故選：A48．（2023·河北保定·高二期末）已知，，若，則實(shí)數(shù)______．【解析】∵，，∴=，∵，故答案為：49．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→=(?1，0，?1)，c→=(0，2，1)，且向量A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，易得a→∵

與兩向量互相垂直，∴

0+2+k+2=0，解得.故選：D50．（2023·廣東茂名·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿足，則實(shí)數(shù)的值為__________.【解析