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隱圓模型題目及答案一、題目某次數學競賽中，有一道關于隱圓模型的題目，題目如下：已知在平面直角坐標系中，點A(2,3)，點B(4,5)，點C(6,7)，點D(8,9)，求證四邊形ABCD是一個圓內接四邊形，并求出該圓的圓心和半徑。二、答案1.證明四邊形ABCD是圓內接四邊形根據圓內接四邊形的性質，若四邊形ABCD是圓內接四邊形，則對角互補。即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。首先，我們計算向量AB和向量CD的點積：向量AB=(4-2,5-3)=(2,2)向量CD=(8-6,9-7)=(2,2)向量AB·向量CD=22+22=8由于向量AB和向量CD的點積為正數，說明它們之間的夾角為銳角。同理，我們可以計算向量AD和向量BC的點積：向量AD=(8-2,9-3)=(6,6)向量BC=(6-4,7-5)=(2,2)向量AD·向量BC=62+62=24同樣，向量AD和向量BC的點積為正數，說明它們之間的夾角也為銳角。由于向量AB和向量CD的夾角為銳角，向量AD和向量BC的夾角也為銳角，所以∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，滿足圓內接四邊形的性質。因此，四邊形ABCD是一個圓內接四邊形。2.求圓心和半徑已知圓內接四邊形ABCD，我們可以求出對角線AC和BD的中點，這兩個中點的連線即為圓心所在的直線。首先，我們求出對角線AC和BD的中點：中點E=((2+6)/2,(3+7)/2)=(4,5)中點F=((4+8)/2,(5+9)/2)=(6,7)接下來，我們求出直線EF的斜率：斜率k=(7-5)/(6-4)=1由于圓心所在的直線與直線EF垂直，所以圓心所在的直線斜率為-1。設圓心為O(x,y)，則有：y-5=-1(x-4)即y=-x+9由于圓心O在直線EF上，我們可以將O的坐標代入直線EF的方程：5=-4+9這個方程成立，說明圓心O在直線EF上?，F(xiàn)在我們已經知道圓心O的坐標為(4,5)，接下來求半徑r。我們可以計算圓心O到任意一個頂點的距離，例如點A(2,3)：r=√((4-2)^2+(5-3)^2)=√(4+4)=2√2綜上所述，四邊形ABCD是一個圓內接四邊形，圓心為O(4,5)，半徑為2√2。三、分析本題考查了圓內接四邊形的性質和求解方法。首先通過向量的點積判斷四邊形是否為圓內接四邊形，然后求出對角線的中點，利用垂直

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