廣東省汕頭英華外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2011屆高三上學(xué)期第三次月考（數(shù)學(xué)文理卷）一、選擇題1.若函數(shù)$f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$（$a>0$，$b\neq0$，$c>0$）的圖像與$y=x$的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.$a+b+c>0$，$b^2-4ac>0$B.$a+b+c<0$，$b^2-4ac>0$C.$a+b+c>0$，$b^2-4ac<0$D.$a+b+c<0$，$b^2-4ac<0$2.設(shè)$a>0$，$b>0$，$x>0$，若$\frac{a}{x}+\frac{x-1}=\frac{a+b}{x-1}$，則$\frac{a}{x}+\frac{x-1}$的取值范圍是（）A.$[a+b,2\sqrt{ab}]$B.$[2\sqrt{ab},a+b]$C.$[2\sqrt{ab},+\infty)$D.$[a+b,+\infty)$3.設(shè)$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=3$，$ab+bc+ca=2$，則$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$的值為（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{6}$C.$\sqrt{9}$D.$\sqrt{12}$4.若$e^{\lnx}=1$，則$x$的值為（）A.$0$B.$1$C.$e$D.$e^2$5.設(shè)$f(x)=\sinx$，$g(x)=\cosx$，則$f(x)+g(x)$的值域?yàn)椋ǎ〢.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$B.$[-1,1]$C.$[0,1]$D.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$或$[-1,1]$二、填空題6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_6=16$，則該數(shù)列的公差$d=$______。7.若函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，則$f(x)$的極值點(diǎn)為$x=$______。8.設(shè)$f(x)=\sqrt{x^2-2x+1}$，則$f(x)$的定義域?yàn)開(kāi)_____。9.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q\neq1$，且$a_1+a_2+a_3=12$，$a_1a_2a_3=64$，則該數(shù)列的公比$q=$______。10.若$a$，$b$，$c$是等差數(shù)列，且$a+b+c=12$，$ab+bc+ca=36$，則$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$的值為_(kāi)_____。四、解答題11.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求：（1）函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)$f'(x)$；（2）函數(shù)$f(x)$的極值點(diǎn)；（3）函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,3]$上的最大值和最小值。12.設(shè)數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，已知$a_1=3$，$a_4=24$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、證明題13.證明：若$ab+bc+ca=0$，則$a+b+c=0$或$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$。六、應(yīng)用題14.某商品的原價(jià)為$1000$元，現(xiàn)進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，設(shè)折扣率為$x$（$x\in[0,1]$），求：（1）商品打折后的價(jià)格；（2）商品打折后的利潤(rùn)（利潤(rùn)=原價(jià)-打折后價(jià)格）；（3）求折扣率$x$使得利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A.$a+b+c>0$，$b^2-4ac>0$解析：由于$f(x)=\sqrt{ax^2+bx+c}$的圖像與$y=x$的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明方程$ax^2+bx+c=x$有兩個(gè)實(shí)根，即$ax^2+(b-1)x+c=0$有兩個(gè)實(shí)根。根據(jù)韋達(dá)定理，實(shí)根之和為$-\frac{b-1}{a}$，實(shí)根之積為$\frac{c}{a}$。由于實(shí)根之和大于0，且實(shí)根之積大于0，故$a+b+c>0$。又因?yàn)橛袃蓚€(gè)實(shí)根，所以判別式$b^2-4ac>0$。2.B.$[2\sqrt{ab},a+b]$解析：由題意得$\frac{a}{x}+\frac{x-1}=\frac{a+b}{x-1}$，整理得$(a+b)x^2-(a+b)x+ab=0$。這是一個(gè)關(guān)于$x$的二次方程，其判別式$\Delta=(a+b)^2-4ab=(a-b)^2\geq0$，因此方程有實(shí)數(shù)解。由于$a>0$，$b>0$，$x>0$，且$x-1>0$，所以$\frac{a}{x}+\frac{x-1}$的取值范圍是$[2\sqrt{ab},a+b]$。3.B.$\sqrt{6}$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=\frac{a_1+a_6}{2}$，代入$a_1=2$，$a_6=16$得$a_3=9$。又因?yàn)?a_1+a_2+a_3=3a_3=3$，所以$a_3=1$。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_2=a_3-a_1=8$，$a_4=a_3+a_1=10$。因此，$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+8^2+10^2}=\sqrt{6}$。4.B.$1$解析：由$e^{\lnx}=1$，得$\lnx=0$，即$x=e^0=1$。5.D.$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$或$[-1,1]$解析：由于$f(x)=\sinx$的值域?yàn)?[-1,1]$，$g(x)=\cosx$的值域也為$[-1,1]$，所以$f(x)+g(x)$的值域?yàn)?[-2,2]$。但是，由于$\sinx$和$\cosx$不能同時(shí)取到-1和1，所以值域?qū)嶋H上是$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$或$[-1,1]$。二、填空題6.$d=2$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_6=a_1+5d$，代入$a_1=2$，$a_6=16$得$d=2$。7.$x=\frac{1}{2}$解析：由$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。8.$[1,+\infty)$解析：由$f(x)=\sqrt{x^2-2x+1}$，得$x^2-2x+1\geq0$，即$(x-1)^2\geq0$，解得$x\geq1$，所以$f(x)$的定義域?yàn)?[1,+\infty)$。9.$q=2$解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_2=a_1q$，$a_3=a_2q$，代入$a_1=3$，$a_3=24$得$q=2$。10.$\sqrt{6}$解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_3=\frac{a_1+a_6}{2}$，代入$a_1=2$，$a_6=16$得$a_3=9$。又因?yàn)?a_1+a_2+a_3=3a_3=3$，所以$a_3=1$。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_2=a_3-a_1=8$，$a_4=a_3+a_1=10$。因此，$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+8^2+10^2}=\sqrt{6}$。四、解答題11.（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：由導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$，代入$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，得$f'(x)=3x^2-6x+4$。（2）極值點(diǎn)為$x=\frac{2}{3}$和$x=2$解析：令$f'(x)=0$，得$3x^2-6x+4=0$，解得$x=\frac{2}{3}$和$x=2$。由于$f'(x)$在$x=\frac{2}{3}$左側(cè)為正，右側(cè)為負(fù)，所以$x=\frac{2}{3}$是極大值點(diǎn)；在$x=2$左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，所以$x=2$是極小值點(diǎn)。（3）最大值為$f(3)=8$，最小值為$f(-1)=-1$解析：由于$f'(x)$在$x=\frac{2}{3}$和$x=2$之間為負(fù)，所以$f(x)$在$[-1,3]$上的最大值和最小值分別發(fā)生在端點(diǎn)。計(jì)算得$f(3)=8$，$f(-1)=-1$。12.$a_n=3\cdot2^{n-1}$解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_4=a_1q^3$，代入$a_1=3$，$a_4=24$得$q=2$。因此，$a_n=3\cdot2^{n-1}$。五、證明題13.證明：若$ab+bc+ca=0$，則$a+b+c=0$或$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$。解析：由$ab+bc+ca=0$，得$(a+b+c)(a+b+c-1)=0$。因此，$a+b+c=0$或$a+b+c-1=0$。如果$a+b+c=0$，則證明成立。如果$a+b+c-1=0$，則$a+b+c=1$，代入$ab+bc+ca=0$得$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$。六、應(yīng)用題14.（1）商品打折后的價(jià)格為$1000(1-x)$元解析：商品打折后的價(jià)格為原價(jià)乘以折扣率，即$1000(1-x)$元。（2）商品打折后的利潤(rùn)為$1000x-