安徽省“皖中聯(lián)考”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題（含答案）一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，則函數(shù)的值域?yàn)椋海?）$(-\infty,0)$（2）$(0,+\infty)$（3）$(-\infty,1)$（4）$(1,+\infty)$2.設(shè)$a$，$b$是實(shí)數(shù)，且$\sqrt{a^2+b^2}=1$，則$ab$的最大值為：（1）$\frac{1}{2}$（2）$1$（3）$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4）$2$二、填空題3.若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\sin2\alpha=\quad$。4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_4=11$，則公差$d=\quad$。三、解答題5.（1）若$a$，$b$是方程$x^2-2ax+1=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求$a+b$的值。（2）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數(shù)的極值。答案：一、選擇題1.（3）$(-\infty,1)$2.（2）$1$二、填空題3.$\sin2\alpha=1$4.$d=4$三、解答題5.（1）$a+b=2$（2）$f(x)$的極大值為$2$，極小值為$-2$。四、解答題5.（1）已知函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。（2）若數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列，且$a_1=2$，$a_2=4$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n$。五、解答題6.（1）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為$3$，$4$，$5$，求該三角形的面積。（2）若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+3$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值與最小值之差為$2$，求函數(shù)的解析式。六、解答題7.（1）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。（2）若函數(shù)$g(x)=\frac{x^2-5x+6}{x-2}$在$x=3$處的導(dǎo)數(shù)為$2$，求函數(shù)$g(x)$的解析式。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（3）$(-\infty,1)$解析思路：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$在定義域內(nèi)連續(xù)，且$\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。又因?yàn)?f(x)$在$x=1$時(shí)取得最小值$f(1)=0$，故函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,1)$。2.答案：（2）$1$解析思路：根據(jù)柯西-施瓦茨不等式，有$$(a^2+b^2)(\frac{1}{2}^2+\frac{1}{2}^2)\geq(a\frac{1}{2}+b\frac{1}{2})^2\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\geq\frac{(a+b)^2}{8}\Rightarrowab\leq\frac{(a+b)^2}{8}.$$又因?yàn)?\sqrt{a^2+b^2}=1$，即$a^2+b^2=1$，代入上式得$ab\leq\frac{1}{2}$，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$。故$ab$的最大值為$\frac{1}{2}$。二、填空題3.答案：$\sin2\alpha=1$解析思路：由$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，兩邊平方得$1+\sin2\alpha=\frac{1}{2}$，解得$\sin2\alpha=-\frac{1}{2}$。又因?yàn)?\sin2\alpha$的取值范圍是$[-1,1]$，故$\sin2\alpha=1$。4.答案：$d=4$解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)知$a_4=a_1+3d$，代入$a_1=3$和$a_4=11$得$d=4$。三、解答題5.（1）答案：$a+b=2$解析思路：由韋達(dá)定理知$a+b=2a=2$。（2）答案：$f(x)$的極大值為$2$，極小值為$-2$解析思路：$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。又因?yàn)?f''(x)=6x-6$，故$f''(1)=-6<0$，$f''(\frac{2}{3})=0$，$f''(\frac{1}{2})=0$。故$f(x)$在$x=1$處取得極大值$f(1)=2$，在$x=\frac{2}{3}$和$x=\frac{1}{2}$處取得極小值$f(\frac{2}{3})=-2$。四、解答題5.（1）答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$解析思路：由求導(dǎo)法則知$f'(x)=3x^2-6x+4$。（2）答案：$a_n=2^n$解析思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)知$a_2=a_1r$，代入$a_1=2$和$a_2=4$得$r=2$。故$a_n=a_1r^{n-1}=2^n$。五、解答題6.（1）答案：$S=\frac{3}{2}\sqrt{3}$解析思路：由海倫公式知$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{3+4+5}{2}=6$。代入$a=3$，$b=4$，$c=5$得$S=\frac{3}{2}\sqrt{3}$。（2）答案：$f(x)=x^2-4x+3$解析思路：由導(dǎo)數(shù)的定義知$f'(x)=2x-4$。令$f'(x)=0$得$x=2$。又因?yàn)?f''(x)=2>0$，故$f(x)$在$x=2$處取得極小值$f(2)=-1$。由題意知$f(1)$和$f(3)$的最大值與最小值之差為$2$，故$f(1)=0$，$f(3)=4$。代入$f(x)=x^2-4x+3$驗(yàn)證得$f(1)=0$，$f(3)=4$。六、解答題7.（1）答案：$S_n=\frac{2^n-1}{3}$解析思路：由遞推公式知$a_n=2a_{n-1}+1$，代入$a_1=1$得$a_2=3$，$a_3=7$，$a_4=15$，$a_5=31$，$\ldots$。故數(shù)列$\{a_n\}$是首項(xiàng)為$1$，公比為$2$的等比數(shù)列，其前$n$項(xiàng)和$S_n=\frac{2^n-1}{3}$。（2）答案：$g(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}$解析思路：由導(dǎo)數(shù)的定義知$g'(x)=\frac{(x-2)(2x-3)-x^2+3x-2}{(x-2)^2}=