第05講用配方法解一元二次方程（知識清單+3大題型+好題必刷）題型梳理題型梳理題型一解一元二次方程——直接開平方法題型二解一元二次方程——配方法題型三配方法的應用知識清單知識清單知識點1．解一元二次方程直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數的平方的形式而等號右邊是一個非負數．②降次的實質是由一個二次方程轉化為兩個一元一次方程．③方法是根據平方根的意義開平方．知識點2．解一元二次方程配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項系數，使二次項系數為1，并把常數項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；⑤如果右邊是非負數，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解．知識點3．配方法的應用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關鍵是：先將一元二次方程的二次項系數化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方．2、利用配方法求二次三項式是一個完全平方式時所含字母系數的值．關鍵是：二次三項式是完全平方式，則常數項是一次項系數一半的平方．3、配方法的綜合應用．題型方法題型方法【題型一】解一元二次方程——直接開平方法【答案】B【知識點】解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題的關鍵．利用直接開平方法求解．故選：B．【舉一反三】【答案】D【知識點】解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，兩邊直接開平方即可得．故選：D．【知識點】解一元二次方程——直接開平方法3．（2425九年級上·甘肅蘭州·期中）某同學在解一元二次方程時，發(fā)現有這樣一種解法：解：原方程可變形，我們稱該同學的這種解法為“平均數法”．上述過程中“”，“○”，“☆”，“”表示的數分別是________，________，________，________；(2)見解析【知識點】運用平方差公式進行運算、解一元二次方程——直接開平方法【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．（1）根據閱讀材料中的信息確定出上述過程中的“”，“○”，“☆”，“”表示的數即可；（2）根據題干中的“平均數法”解方程即可．【題型二】解一元二次方程——配方法【答案】C【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題考查解一元二次方程—配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．方程變形后，利用完全平方公式化簡即可得到答案．故選：C．【舉一反三】【答案】D【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題考查了解一元二次方程配方法，解題的關鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟．利用解一元二次方程配方法：先把二次項系數化為1，然后方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，進行計算即可解答．故選：D．【答案】【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題考查了配方法的應用，熟練掌握配方法是解題的關鍵．故答案為：．(1)上述解題過程有誤，錯在步驟_____（填序號），錯誤的原因是________；(2)請你寫出正確的解答過程．【答案】(1)③；只在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，而右邊沒有加；(2)見解析．【知識點】解一元二次方程——配方法【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程的方法和步驟．（1）根據配方法解一元二次方程的方法和步驟，即可獲得答案；（2）利用配方法解該一元二次方程即可．【詳解】（1）解：上述解題過程有誤，錯在步驟③，錯誤的原因是只在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，而右邊沒有加．故答案為：③，只在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，而右邊沒有加；【題型三】配方法的應用A．3，4 B．，4 C．3， D．，【答案】B【知識點】配方法的應用故選B．【舉一反三】【答案】D【知識點】配方法的應用【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．先把常數項移到方程右邊，再把方程兩邊加上16，然后把方程作邊寫成完全平方形式即可．故選：D．【知識點】代入消元法、配方法的應用【分析】此題考查了配方法的應用，非負數的性質，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．利用“同族二次方程”定義列出關系式，再利用多項式相等的條件列出關于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進而利用非負數的性質確定出代數式的最小值即可．解決問題：(2)(3)4【知識點】配方法的應用【分析】本題考查配方法的應用以及非負數的性質，屬于基礎題，掌握方法是關鍵．（1）根據“完美數”的定義求解即可；好題必刷好題必刷一、單選題A．3 B． C．9 D．【答案】B【分析】根據直接開平方法解一元二次方程，即可求出答案．本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎題型．故選：B．2．將方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可變形為(

)A．(x+4)2＝7 B．(x+4)2＝25C．(x+4)2＝﹣9 D．(x+8)2＝7【答案】A故選：A．3．將關于x的方程x2﹣6x＋8＝0配方成（x﹣3）2＝p的形式，則p的值是（

）A．1 B．28 C．17 D．44【答案】A故選：A．【點睛】本題考查解一元二次方程﹣配方法，解答本題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法配方法．4．方程4x212x+9=0的解是(

)【答案】C【分析】用配方法解一元二次方程即可．故選C．【點睛】考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開方法，公式法，配方法，因式分解法是解題的關鍵．5．方程3x2－1=0的解是(

)A．x=± B．x=±3 C．x=± D．x=±【答案】C【分析】先移項，然后利用數的開方解答．【詳解】解：移項得，3x2=1，系數化1得，x2=，解得x=±=±．故選C．【點睛】用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點．A．最小值為 B．最小值為C．最大值為 D．最大值為【答案】D故選D【答案】A故選A.8．對形如(x+m)2=n的方程,下列說法正確的為()A．可用直接開平方法求得根x=± B．當n≥0時,x=±m(xù)【答案】B【分析】解形如(x+m)2=n的方程時，只有當n≥0時，方程有實數解.當n＜0時，方程沒有實數解.由此即可解答.【詳解】(x+m)2=n（n≥0），∴x=±m(xù).故選B.【點睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數，先把系數化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”．9．無論x為何值，關于x的多項式﹣x2+3x+m的值都為負數，則常數m的取值范圍是（）A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜【答案】B【分析】首先判斷出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根據偶次方的非負性質，可得（x﹣3）2+m+≤m+，再根據無論x為何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，據此判斷出常數m的取值范圍即可．【詳解】解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+∵﹣（x﹣3）2≤0，∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+，∵無論x為何值，﹣x2+3x+m＜0，∴m+＜0，解得m＜﹣．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是配方法的應用，將多項式進行配方是解此題的關鍵．10．關于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數，m≠0）的解是x1=3，x2=2，則方程m（x+h3）2+k=0的解是（

）A．x1=6，x2=1 B．x1=0，x2=5 C．x1=3，x2=5 D．x1=6，x2=2【答案】B而關于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數，m≠0）的解是x1=3，x2=2，所以x1=33=0，x2=3+2=5．故選：B．【點睛】本題考查解一元二次方程直接開平方法．二、填空題【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，直接利用開平方法解方程即可．12．一元二次方程x2﹣6x＋9＝0的實數根是．【答案】x1＝x2＝3【分析】先把左邊直接配方，得（x﹣3）2＝0，直接開平方即可．【詳解】解：配方，得（x﹣3）2＝0，直接開平方，得x﹣3＝0，∴方程的解為x1＝x2＝3，故答案為：x1＝x2＝3．【點睛】本題考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數．【答案】3故答案為：3．【點睛】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．14．若5x2=0，則方程解為.【答案】x1=x2=0【分析】首先兩邊同時除以5,再根據0的平方根是0即可得出.【詳解】解：原方程兩邊同時除以5得：x2=0，∴x=0，∴方程的根是：x1=x2=0．故答案為x1=x2=0．【點睛】本題主要考查的了解一元二次方程直接開平方，熟練掌握直接開平方解方程的方法是解決問題的關鍵，直接開平方法適合沒有一次項的方程，本題難度較小，屬于基礎題型.【答案】1.故答案為1.【點睛】本題考查了運用配方法求解二次方程的根的問題，難度很小，很容易做出，本題屬于基礎題．18．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，變形為（x+h）2＝k，則h＝，k＝．【答案】/0.75/0.0625【分析】根據配方法的定義“通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法叫做配方法”進行解答即可得．故答案為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程—配方法，解題的關鍵是掌握配方法．三、解答題19．解方程：x2﹣6x﹣9=0(用配方法)【答案】x1=3+3，x2=3﹣3【詳解】試題分析：首選移項，然后配方，解出x即可.試題解析：x2﹣6x﹣9=0，移項，得x2－6x=9，配方，得x2－6x+32=9+32，即（x－3）2=18，解得，x－3=±3，即x1=3+3，x2=3－3.20．用直接開平方法解下列方程．【點睛】本題主要考查了用開方法解一元二次方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握開方法.21．解方程【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用配方法求解即可．【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是根據方程的形式選擇不同的解法．22．用配方法解下列方程：【分析】（1）先把兩邊都除以3，再把3移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，最后把左邊根據完全平方公式寫成完全平方的形式，然后兩邊同時開平方即可.（2）先把右邊3x移到左邊，把左邊的1移到右邊，兩邊都除以2，然后方程兩邊都加，最后把左邊根據完全平方公式寫成完全平方的形式，然后兩邊同時開平方即可.【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常數項移到等號的右邊；③把二次項的系數化為1；④等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方．【答案】證明見解析．24．用配方法解下列方程：【分析】（1）第一步移項，把常數項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方式；第四步，直接開方即可；（2）第一步移項，把常數項移到右邊；第二步配方，左右兩邊加上一次項系數一半的平方；第三步左邊寫成完全平方