過(guò)教材要點(diǎn)概覽4探索三角形相似的條件

第1課時(shí)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似1.相似三角形的定義三角分別相等,三邊

的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.

2.相似三角形的判定定理1兩角分別

的兩個(gè)三角形相似.如圖所示,△ABC與△DEF中,若∠A

,∠B

,則△ABC∽△DEF.

成比例相等=∠D=∠E精講練新知探究探究點(diǎn)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似例1如圖所示,已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn),BF⊥AE于點(diǎn)F.求證:△ABF∽△EAD.證明:∵四邊形ABCD為矩形,∴∠BAD=∠D=90°.∴∠DAE+∠BAE=90°.∵BF⊥AE于點(diǎn)F,∴∠BFA=∠D=90°.∴∠ABF+∠BAE=90°.∴∠DAE=∠ABF.∴△ABF∽△EAD.例2如圖所示,點(diǎn)B,C,D在一條直線上,AB⊥BC,ED⊥CD,∠1+∠2=90°.那么△ABC與△CDE相似嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:△ABC∽△CDE.理由如下:∵AB⊥BC,ED⊥CD,∴∠B=∠D=90°.∴∠A+∠1=90°.又∠1+∠2=90°,∴∠A=∠2.∴△ABC∽△CDE.由兩角相等判定兩個(gè)三角形相似是最常見(jiàn)的方法.其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角,挖掘圖形中的公共角、對(duì)頂角等.方法點(diǎn)撥鞏固訓(xùn)練1.下列說(shuō)法中正確的是()A.兩個(gè)等腰三角形相似B.有一個(gè)內(nèi)角是30°的兩個(gè)直角三角形相似C.兩個(gè)直角三角形相似D.有一個(gè)銳角是30°的兩個(gè)等腰三角形相似B2.含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)與含45°角的直角三角板BCD如圖所示放置,它們的斜邊AC與BD相交于點(diǎn)E.下列結(jié)論正確的是()A.△ABE∽△CDE B.△ABE∽△BCEC.△BCE∽△DCE D.△ABC∽△DCBA3.(教材P90T3變式)如圖所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D.求證:AB2=BD·BC.4.如圖所示,△PMN是等邊三角形,∠APB=120°,求證:AM·PB=PN·AP.證明:∵△PMN是等邊三角形,∴∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN.∴∠A+∠APM=60°,∠AMP=∠PNB=120°.∵∠APB=120°,∴∠APM+∠NPB=60°.∴∠A=∠NPB.∴△PMA∽△BNP.∴AM∶PN=AP∶PB.∴AM·PB=PN·AP.4探索三角形相似的條件

第1課時(shí)兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似基礎(chǔ)鞏固練011.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例B.兩個(gè)全等三角形一定相似C.兩個(gè)等腰三角形一定相似D.相似的兩個(gè)三角形不一定全等C2.已知△ABC∽△A′B′C′,∠A=55°,∠B=100°,則∠C′的度數(shù)等于()A.55° B.100° C.25° D.30°3.如圖所示的三個(gè)三角形中,相似的是()(1)

(2)

(3)A.(1)和(2) B.(1)和(3)C.(2)和(3) D.(1)(2)和(3)CC4.在△ABC與△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,則以下條件中,不能說(shuō)明△ABC與△A′B′C′相似的是()A.∠A′=30° B.∠C′=60°C.∠C=60° D.∠A′=2∠C′CC6.(2024富順一模)如圖所示,AB∥CD,AC,BD交于點(diǎn)E,若AE∶EC=1∶2,AB=3.5,則CD的長(zhǎng)為

.

77.開(kāi)放性題如圖所示,在△ABC中,D為AB上一點(diǎn),連接CD,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,使△ACD∽△ABC,并說(shuō)明理由.解:添加∠ACD=∠B(答案不唯一).理由如下:∵∠A=∠A,∠ACD=∠B,∴△ACD∽△ABC.8.如圖所示,CA⊥AD,ED⊥AD,點(diǎn)B是線段AD上的一點(diǎn),且CB⊥BE.(1)求證:△ABC∽△DEB;(2)若AB=8,AC=6,DE=4,求線段BD的長(zhǎng).(1)證明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°,∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB.能力提升練029.如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,如果DE∥BC,且∠DCE=∠B,那么下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是()A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△DCB D.△DEC∽△CDBC10.(2023東營(yíng))如圖所示,△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AB上,∠ADE=60°,若BD=4DC,DE=2.4,則AD的長(zhǎng)為()A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2C11.(2024眉山二模)如圖所示,M是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn),F是AM的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作AM的垂線,交DC于點(diǎn)N,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:△ABM∽△EFA;(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B=∠DAB=90°.∵EF⊥AM,∴∠AFE=90°,∴∠B=∠DAB=∠AFE,∴∠BAM=∠AEF=90°-∠EAM,∴△ABM∽△EFA.(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12,MC=7,求DE的長(zhǎng).素養(yǎng)培優(yōu)練0312.(2024合肥期中)如圖所示,在△PAB中,C,D為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),PC=PD.(1)若PC⊥AB(即C,D重合),則∠APB=

時(shí),△APC∽△PBD.

解:(1)90°(2)若PC=CD,∠APB=120°,則△APC與△PBD相似嗎?為什么?解:(2)結(jié)論:相似.理由:∵PC=PD=CD,∴△PCD是等邊三角形,∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠ACP=∠BDP=120°,則∠APC+∠BPD=∠APB-∠CPD=120°-60°=60°.∵∠ACP=120°,∴∠A+∠APC=60°,∴∠A=∠BPD.∴△APC∽△PBD.(3)當(dāng)∠CPD和∠APB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí),△APC∽△PBD?請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(3)2∠APB-∠CPD=180°.理由:∵PC=PD,∴∠PCD=∠PDC,∴∠P