專題02相似三角形重要模型之母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。TOC\o"14"\h\z\uTOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 3模型拓展 4模型運(yùn)用 4模型1.“母子型”模型（共邊共角模型） 4 13相似三角形的比例性質(zhì)源于歐幾里得《幾何原本》，但未明確形成“母子模型”的命名。其核心原理（如共角共邊的三角形相似性）已蘊(yùn)含其中。后來在直角三角形中，斜邊上的高將原三角形分割為兩個(gè)小直角三角形，三者互為相似形，由此衍生出?射影定理?，構(gòu)成母子模型的數(shù)學(xué)內(nèi)核。此時(shí)尚未出現(xiàn)“母子”的擬人化命名。直到20世紀(jì)80年代現(xiàn)代教學(xué)歸納出?形象化命名“母子模型”。?后來該模型被納入初中數(shù)學(xué)教材，作為相似三角形證明的核心模型之一。其核心價(jià)值在于簡化比例證明，例如通過母子關(guān)系直接推導(dǎo)線段比例式?！澳缸有汀蹦Ｐ停ü策吂步悄Ｐ停海ㄍǔＳ幸粋€(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似。圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.證明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，3）“母子”模型（變形）條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA4）共邊模型母子型相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。A． B．3 C．9 D．【答案】A

例3（2024·四川成都·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，；若AD＝6，BD＝2，則CD＝．【答案】【詳解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD，例4（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問題．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，故答案為：兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

例6（2024·廣東深圳·九年級?？计谥校净A(chǔ)鞏固】【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【詳解】（1）解：如圖：（3）連接，如圖所示：【答案】C

【答案】C【答案】【答案】見解析．

【答案】【答案】2

【答案】（1）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，．（2）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交于點(diǎn)．（3）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點(diǎn)．（4）畫射線．（5）以點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)．（6）連接，，分別交，于點(diǎn)，．根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是．（只填序號）【答案】①②⑤綜上所述，正確的有：①②⑤；故答案為：①②⑤．其中正確的結(jié)論是．（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①③④【答案】4

【答案】(1)見解析(2)2

13．（2024·四川·九年級期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）2【詳解】解：（1）證明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．又∵AD＝AB，∴AB＝2【答案】(1)證明見解析(2)16．（2024·遼寧大連·三模）【課堂背景】大連市某中學(xué)的王老師以“幾何題目開放探索”為主題，開展了一節(jié)“綜合與實(shí)踐”的數(shù)學(xué)課．課堂上，王老師給出了這樣一個(gè)圖形，供同學(xué)們發(fā)揮幾何思維．【設(shè)置情景】王老師給出了如下幾何圖形：【提出問題】擅長幾何的小胖同學(xué)經(jīng)過思索后，為題目增加如下條件，請你幫他作答．17．（2024·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．下面是小康對“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：

任務(wù)：(1)上述材料中的證法