第五節(jié)自然界中的守恒定律[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.加深對動量守恒定律和能量守恒定律的理解，能運用這兩個守恒定律解決一些簡單的與生產(chǎn)、生活相關(guān)的實際問題.2.通過物理學(xué)中的守恒定律，體會自然界的和諧與統(tǒng)一．[導(dǎo)學(xué)探究]如圖1所示，質(zhì)量為2kg的物體靜止在與其之間動摩擦因數(shù)μ＝0.5的粗糙水平面上，現(xiàn)加一F＝20N的水平恒力使之開始向右加速運動，求物體速度達(dá)到20m/s時，需要的時間t和經(jīng)過的位移s.(請分別利用牛頓運動定律、動量定理和動能定理計算，重力加速度g＝10m/s2)圖1答案對物體受力分析如圖所示：方法一：根據(jù)牛頓第二定律F－μmg＝mav＝ats＝eq\f(1,2)at2解得t＝4s，s＝40m.方法二：根據(jù)動量定理可得：(F－μmg)t＝mv－0解得：t＝4s.根據(jù)動能定理可得：Fs－μmgs＝eq\f(1,2)mv2－0解得s＝40m.[知識梳理]解決力學(xué)問題的三個基本觀點1．力的觀點：主要是牛頓運動定律和運動學(xué)公式相結(jié)合，常涉及物體的受力、加速度或勻變速運動的問題．2．動量的觀點：主要應(yīng)用動量定理或動量守恒定律求解，常涉及物體的受力和時間問題，以及相互作用物體的問題．3．能量的觀點：在涉及單個物體的受力和位移問題時，常用動能定理分析；在涉及系統(tǒng)內(nèi)能量的轉(zhuǎn)化問題時，常用能量守恒定律．一、滑塊—木板模型1．把滑塊、木板看做一個整體，摩擦力為內(nèi)力，在光滑水平面上滑塊和木板組成的系統(tǒng)動量守恒．2．由于摩擦生熱，機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，應(yīng)由能量守恒求解問題．3．注意：若滑塊不滑離木板，就意味著二者最終具有共同速度，機(jī)械能損失最多．例1如圖2所示，C是放在光滑的水平面上的一塊木板，木板的質(zhì)量為3m，在木板的上表面有兩塊質(zhì)量均為m的小木塊A和B，它們與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ.最初木板靜止，A、B兩木塊同時以相向的水平初速度v0和2v0滑上長木板，木板足夠長，A、B始終未滑離木板也未發(fā)生碰撞．求：圖2(1)木塊B的最小速度是多少？(2)木塊A從剛開始運動到A、B、C速度剛好相等的過程中，木塊A所發(fā)生的位移是多少？答案(1)eq\f(v0,5)(2)eq\f(21v\o\al(2,0),50μg)，向左解析(1)由題知，B向右減速，A向左減速，此時C靜止不動；A先減速到零后與C一起反向向右加速，B向右繼續(xù)減速，三者共速時，B的速度最?。∠蛴覟檎较?，根據(jù)動量守恒定律：m·2v0－mv0＝5mv解得B的最小速度v＝eq\f(v0,5)(2)A向左減速的過程，根據(jù)動能定理有－μmgs1＝0－eq\f(1,2)mv02向左的位移為s1＝eq\f(v\o\al(2,0),2μg)A、C一起向右加速的過程，根據(jù)動能定理有μmgs2＝eq\f(1,2)×4m(eq\f(v0,5))2向右的位移為s2＝eq\f(2v\o\al(2,0),25μg)取向左為正方向，整個過程A發(fā)生的位移為s＝s1－s2＝eq\f(21v\o\al(2,0),50μg)即此過程中A發(fā)生的位移向左，大小為eq\f(21v\o\al(2,0),50μg).二、子彈打木塊模型1．子彈打木塊的過程很短暫，認(rèn)為該過程內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，則系統(tǒng)動量守恒．2．在子彈打木塊過程中摩擦生熱，系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，機(jī)械能向內(nèi)能轉(zhuǎn)化．3．若子彈不穿出木塊，二者最后有共同速度，機(jī)械能損失最多．例2如圖3所示，在水平地面上放置一質(zhì)量為M的木塊，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v射入木塊(未穿出)，若木塊與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，求：圖3(1)子彈射入后，木塊在地面上前進(jìn)的距離；(2)射入的過程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能；(3)子彈在木塊中打入的深度．答案(1)eq\f(m2v2,2M＋m2μg)(2)eq\f(Mmv2,2M＋m)(3)eq\f(Mv2,2μgM＋m)解析因子彈未射出，故碰撞后子彈與木塊的速度相同，而系統(tǒng)損失的機(jī)械能為初、末狀態(tài)系統(tǒng)的動能之差．(1)設(shè)子彈射入木塊后，二者的共同速度為v′，取子彈的初速度方向為正方向，則由動量守恒得：mv＝(M＋m)v′ ①二者一起沿地面滑動，前進(jìn)的距離為s，由動能定理得：－μ(M＋m)gs＝0－eq\f(1,2)(M＋m)v′2 ②由①②兩式解得：s＝eq\f(m2v2,2M＋m2μg).(2)射入過程中損失的機(jī)械能ΔE＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)(M＋m)v′2 ③解得：ΔE＝eq\f(Mmv2,2M＋m).(3)設(shè)子彈在木塊中打入的深度，即子彈相對于木塊的位移為s相對，則ΔE＝μmgs相對得：s相對＝eq\f(ΔE,μmg)＝eq\f(Mv2,2μgM＋m).三、彈簧類模型1．對于彈簧類問題，在作用過程中，若系統(tǒng)合外力為零，則滿足動量守恒．2．整個過程往往涉及到多種形式的能的轉(zhuǎn)化，如：彈性勢能、動能、內(nèi)能、重力勢能的轉(zhuǎn)化，應(yīng)用能量守恒定律解決此類問題．3．注意：彈簧壓縮最短時，或彈簧拉伸最長時，彈簧連接的兩物體速度相等，此時彈簧彈性勢能最大．例3兩物塊A、B用輕彈簧相連，質(zhì)量均為2kg，初始時彈簧處于原長，A、B兩物塊都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上運動，質(zhì)量為4kg的物塊C靜止在前方，如圖4所示．B與C碰撞后二者會粘在一起運動．則在以后的運動中：圖4(1)當(dāng)彈簧的彈性勢能最大時，物塊A的速度為多大？(2)系統(tǒng)中彈性勢能的最大值是多少？答案(1)3m/s(2)12J解析(1)當(dāng)A、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大．由A、B、C三者組成的系統(tǒng)動量守恒得：(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC，解得vABC＝eq\f(2＋2×6,2＋2＋4)m/s＝3m/s.(2)B、C碰撞時B、C組成的系統(tǒng)動量守恒，設(shè)碰后瞬間B、C兩者速度為vBC，則mBv＝(mB＋mC)vBC得：vBC＝eq\f(2×6,2＋4)m/s＝2m/s，物塊A、B、C速度相同時彈簧的彈性勢能最大為Ep，根據(jù)能量守恒定律，則Ep＝eq\f(1,2)(mB＋mC)vBC2＋eq\f(1,2)mAv2－eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)vABC2＝eq\f(1,2)×(2＋4)×22J＋eq\f(1,2)×2×62J－eq\f(1,2)×(2＋2＋4)×32J＝12J.針對訓(xùn)練如圖5所示，A、B兩個木塊用輕彈簧相連接，它們靜止在光滑水平面上，A和B的質(zhì)量分別是99m和100m，一顆質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射入木塊A內(nèi)沒有穿出，則在以后的過程中彈簧彈性勢能的最大值為()圖5A.eq\f(mv\o\al(2,0),400) B.eq\f(mv\o\al(2,0),200)C.eq\f(99mv\o\al(2,0),200) D.eq\f(199mv\o\al(2,0),400)答案A解析子彈射入木塊A的過程中，動量守恒，有mv0＝100mv1，子彈、A、B三者速度相等時，彈簧的彈性勢能最大，100mv1＝200mv2，彈性勢能的最大值Ep＝eq\f(1,2)×100mv12－eq\f(1,2)×200mv22＝eq\f(mv\o\al(2,0),400).處理動量和能量結(jié)合問題時應(yīng)注意：(1)守恒條件：動量守恒條件是系統(tǒng)所受合外力為零，而機(jī)械能守恒條件是合外力做的功為零．(2)分析重點：判斷動量是否守恒研究系統(tǒng)的受力情況，而判斷機(jī)械能是否守恒及能量的轉(zhuǎn)化情況研究系統(tǒng)的做功情況．(3)表達(dá)式：動量為矢量式，能量為標(biāo)量式．(4)注意：某一過程中系統(tǒng)動量守恒，但機(jī)械能不一定守恒，反之，機(jī)械能守恒的過程動量不一定守恒．1．(多選)矩形滑塊由不同材料的上、下兩層粘合在一起組成，將其放在光滑的水平面上，質(zhì)量為m的子彈以速度v水平射向滑塊，若射擊下層，子彈剛好不射出，若射擊上層，則子彈剛好能射進(jìn)一半厚度，如圖6所示，上述兩種情況相比較()圖6A．子彈對滑塊做功一樣多B．子彈對滑塊做的功不一樣多C．系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量一樣多D．系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量不一樣多答案AC解析兩次都沒射出，則子彈與滑塊最終達(dá)到共同速度，設(shè)為v共，由動量守恒定律可得：mv＝(M＋m)v共，得v共＝eq\f(m,M＋m)v；子彈對滑塊所做的功等于滑塊獲得的動能，故選項A正確；系統(tǒng)損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱量，故選項C正確．2.如圖7所示，木塊A、B的質(zhì)量均為2kg，置于光滑水平面上，B與一輕質(zhì)彈簧的一端相連，彈簧的另一端固定在豎直擋板上，當(dāng)A以4m/s的速度向B撞擊時，由于有橡皮泥而粘在一起運動，那么彈簧被壓縮到最短時，彈簧具有的彈性勢能大小為()圖7A．4JB．8JC．16JD．32J答案B解析A、B在碰撞過程中動量守恒，碰后粘在一起共同壓縮彈簧的過程中機(jī)械能守恒．由碰撞過程中動量守恒得：mAvA＝(mA＋mB)v，代入數(shù)據(jù)解得v＝eq\f(mAvA,mA＋mB)＝2m/s，所以碰后A、B及彈簧組成的系統(tǒng)的機(jī)械能為eq\f(1,2)(mA＋mB)v2＝8J，當(dāng)彈簧被壓縮至最短時，系統(tǒng)的動能為0，只有彈性勢能，由機(jī)械能守恒得此時彈簧的彈性勢能為8J.3．如圖8所示，質(zhì)量為M、長為L的長木板放在光滑水平面上，一個質(zhì)量也為M的物塊(視為質(zhì)點)以一定的初速度從左端沖上長木板，如果長木板是固定的，物塊恰好停在長木板的右端，如果長木板不固定，則物塊沖上長木板后在木板上最多能滑行的距離為()圖8A．LB.eq\f(3L,4)C.eq\f(L,4)D.eq\f(L,2)答案D解析長木板固定時，由動能定理得：μMgL＝eq\f(1,2)Mv02，若長木板不固定有Mv0＝2Mv，μMgs＝eq\f(1,2)Mv02－eq\f(1,2)×2Mv2，得s＝eq\f(L,2)，D項正確，A、B、C三項錯誤．4．如圖9所示，固定的光滑圓弧面與質(zhì)量為6kg的小車C的上表面平滑相接，在圓弧面上有一個質(zhì)量為2kg的滑塊A，在小車C的左端有一個質(zhì)量為2kg的滑塊B，滑塊A與B均可看做質(zhì)點．現(xiàn)使滑塊A從距小車的上表面高h(yuǎn)＝1.25m處由靜止下滑，與B碰撞后瞬間粘合在一起共同運動，最終沒有從小車C上滑出．已知滑塊A、B與小車C的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，小車C與水平地面的摩擦忽略不計，取g＝10m/s2.求：圖9(1)滑塊A與B碰撞后瞬間的共同速度的大小；(2)小車C上表面的最短長度．答案(1)2.5m/s(2)0.375m解析(1)設(shè)滑塊A滑到圓弧末端時的速度大小為v1，由機(jī)械能守恒定律得：mAgh＝eq\f(1,2)mAv12①代入數(shù)據(jù)解得v1＝eq\r(2gh)＝5m/s ②設(shè)A、B碰后瞬間的共同速度為v2，滑塊A與B碰撞瞬間與車C無關(guān)，滑塊A與B組成的系統(tǒng)動量守恒，mAv1＝(mA＋mB)v2 ③代入數(shù)據(jù)解得v2＝2.5m/s ④(2)設(shè)小車C上表面的最短長度為L，滑塊A與B最終沒有從小車C上滑出，三者最終速度相同設(shè)為v3，根據(jù)動量守恒定律有：(mA＋mB)v2＝(mA＋mB＋mC)v3 ⑤根據(jù)能量守恒定律有：μ(mA＋mB)gL＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v22－eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)veq\o\al(2,3) ⑥聯(lián)立⑤⑥式代入數(shù)據(jù)解得L＝0.375m． ⑦一、選擇題(1～2題為單選題，3～4題為多選題)1．如圖1所示，位于光滑水平桌面上的小滑塊P和Q質(zhì)量相等，都可視作質(zhì)點．Q與輕質(zhì)彈簧相連．設(shè)Q靜止，P以某一初速度向Q運動并與彈簧發(fā)生碰撞．在整個碰撞過程中，彈簧具有的最大彈性勢能等于()圖1A．P的初動能 B．P的初動能的eq\f(1,2)C．P的初動能的eq\f(1,3) D．P的初動能的eq\f(1,4)答案B解析把小滑塊P和Q以及彈簧看成一個系統(tǒng)，系統(tǒng)的動量守恒．在整個碰撞過程中，當(dāng)小滑塊P和Q的速度相等時，彈簧的彈性勢能最大．設(shè)小滑塊P的初速度為v0，兩滑塊的質(zhì)量均為m，則mv0＝2mv，v＝eq\f(v0,2)所以彈簧具有的最大彈性勢能Ep＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)×2mv2＝eq\f(1,4)mv02＝eq\f(1,2)Ek0，故B正確．2．如圖2所示，在光滑水平面上，有一質(zhì)量M＝3kg的薄板和質(zhì)量m＝1kg的物塊都以v＝4m/s的初速度相向運動，它們之間有摩擦，薄板足夠長，當(dāng)薄板的速度為2.7m/s時，物塊的運動情況是()圖2A．做減速運動 B．做加速運動C．做勻速運動 D．以上運動都有可能答案A解析開始階段，物塊向左減速，薄板向右減速，當(dāng)物塊的速度為零時，設(shè)此時薄板的速度為v1，規(guī)定向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：(M－m)v＝Mv1代入數(shù)據(jù)解得：v1≈2.67m/s＜2.7m/s，所以物塊處于向左減速的過程中．3．如圖3所示，輕質(zhì)彈簧的一端固定在墻上，另一端與質(zhì)量為m的物體A相連，A放在光滑水平面上，有一質(zhì)量與A相同的物體B，從離水平面高h(yuǎn)處由靜止開始沿光滑曲面滑下，與A相碰后一起將彈簧壓縮，彈簧復(fù)原過程中某時刻B與A分開且沿原曲面上升．下列說法正確的是()圖3A．彈簧被壓縮時所具有的最大彈性勢能為mghB．彈簧被壓縮時所具有的最大彈性勢能為eq\f(mgh,2)C．B與A分開后能達(dá)到的最大高度為eq\f(h,4)D．B與A分開后能達(dá)到的最大高度不能計算答案BC解析根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得B剛到達(dá)水平面的速度v0＝eq\r(2gh)，根據(jù)動量守恒定律可得A與B碰撞后的速度為v＝eq\f(1,2)v0，所以彈簧被壓縮時所具有的最大彈性勢能為Epm＝eq\f(1,2)·2mv2＝eq\f(1,2)mgh，即A錯誤，B正確；當(dāng)彈簧再次恢復(fù)原長時，A與B分開，B以大小為v的速度向左沿曲面上滑，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得mgh′＝eq\f(1,2)mv2，B能達(dá)到的最大高度為h′＝eq\f(1,4)h，即C正確，D錯誤．4．如圖4所示，用輕繩將兩個彈性小球緊緊束縛在一起并發(fā)生微小的形變，現(xiàn)正在光滑水平面上以速度v0＝0.1m/s向右做直線運動，已知兩彈性小球質(zhì)量分別為m1＝1kg和m2＝2kg.一段時間后輕繩突然自動斷開，斷開后兩球仍沿原直線運動．經(jīng)過t＝5.0s兩球的間距為s＝4.5m，則下列說法正確的是()圖4A．剛分離時，a、b兩球的速度方向相同B．剛分離時，b球的速度大小為0.4m/sC．剛分離時，a球的速度大小為0.7m/sD．兩球分開過程中釋放的彈性勢能為0.27J答案CD解析在輕繩突然自動斷開過程中，兩球組成的系統(tǒng)動量守恒．設(shè)水平向右為正方向，斷開后兩球仍沿原直線運動，速度分別為v1和v2，設(shè)剛分離時，a、b兩球的速度方向相同，由動量守恒定律，(m1＋m2)v0＝m1v1＋m2v2，根據(jù)題述，經(jīng)過t＝5.0s兩球的間距為s＝4.5m，有v1t－v2t＝s，聯(lián)立解得：v1＝0.7m/s，v2＝－0.2m/s，負(fù)號說明b球的速度方向向左，選項A、B錯誤，C正確．由機(jī)械能守恒定律，兩球分開過程中釋放的彈性勢能為Ep＝eq\f(1,2)m1veq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)m2veq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)(m1＋m2)veq\o\al(2,0)＝0.27J，選項D正確．二、非選擇題5．如圖5所示，在光滑水平地面上的木塊M緊挨輕彈簧靠墻放置．子彈m以速度v0沿水平方向射入木塊并在極短時間內(nèi)相對于木塊靜止下來，然后木塊壓縮勁度系數(shù)未知彈簧至彈簧最短．已知子彈質(zhì)量為m，木塊質(zhì)量M＝9m，彈簧最短時彈簧被壓縮了Δx.勁度系數(shù)為k、形變量為x的彈簧的彈性勢能可表示為Ep＝eq\f(1,2)kx2.求：圖5(1)從子彈射入木塊到剛相對于木塊靜止的過程中損失的機(jī)械能；(2)彈簧的勁度系數(shù)．答案(1)eq\f(9,20)mv02(2)eq\f(mv\o\al(2,0),10Δx2)解析(1)設(shè)子彈剛相對于木塊靜止時的速度為v，由動量守恒定律mv0＝(m＋M)v，解得v＝eq\f(v0,10).設(shè)從子彈射入木塊到剛好相對于木塊靜止的過程中損失的機(jī)械能為ΔE，由能量守恒定律ΔE＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)(m＋M)v2代入數(shù)據(jù)得ΔE＝eq\f(9mv\o\al(2,0),20).(2)設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k′，根據(jù)題述，彈簧最短時彈簧被壓縮了Δx，其彈性勢能可表示為Ep′＝eq\f(1,2)k′(Δx)2，木塊壓縮輕彈簧過程，由機(jī)械能守恒定律eq\f(1,2)(m＋M)v2＝Ep′，解得彈簧的勁度系數(shù)k′＝eq\f(mv\o\al(2,0),10Δx2).6．如圖6所示，在光滑水平面上有一輛質(zhì)量M＝8kg的平板小車，車上有一個質(zhì)量m＝1.9kg的木塊(木塊可視為質(zhì)點)，車與木塊均處于靜止?fàn)顟B(tài)．一顆質(zhì)量m0＝0.1kg的子彈以v0＝200m/s的初速度水平向左飛，瞬間擊中木塊并留在其中．已知木塊與小車平板之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，g＝10m/s2.求：圖6(1)子彈射入木塊后瞬間子彈和木塊的共同速度大??；(2)若木塊不會從小車上落下，求三者的共同速度大?。?3)若是木塊剛好不會從車上掉下，則小車的平板至少多長？答案(1)10m/s(2)2m/s(3)8m解析(1)子彈射入木塊過程系統(tǒng)動量守恒，以水平向左為正，則由動量守恒有：m0v0＝(m0＋m)v1，解得：v1＝eq\f(m0v0,m0＋m)＝eq\f(0.1×200,0.1＋1.9)m/s＝10m/s(2)子彈、木塊、小車組成的系統(tǒng)動量守恒，以水平向左為正方向，由動量守恒定律得：(m0＋m)v1＝(m0＋m＋M)v，解得v＝eq\f(m0＋mv1,m0＋m＋M)＝eq\f(0.1＋1.9×10,0.1＋1.9＋8)m/s＝2m/s(3)子彈擊中木塊到木塊相對小車靜止過程，由能量守恒定律得：eq\f(1,2)(m0＋m)v12＝μ(m0＋m)gL＋eq\f(1,2)(m0＋m＋M)v2，解得L＝8m.7．如圖7所示，物體A置于靜止在光滑水平面上的平板小車B的左端，在A的上方O點用細(xì)線懸掛一小球C(可視為質(zhì)點)，線長L＝0.8m．現(xiàn)將小球C拉至水平無初速度釋放，并在最低點與A物體發(fā)生水平正碰，碰撞后小球C反彈的最大高度為h＝0.2m．已知A、B、C的質(zhì)量分別為mA＝4kg、mB＝8kg和mC＝1kg，A、B間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，A、C碰撞時間極短，且只碰一次，取重力加速度g＝10m/s2.求：圖7(1)小球C與物體A碰撞前瞬間受到細(xì)線的拉力大小；(2)A、C碰撞后瞬間A的速度大??；(3)若物體A