此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號達(dá)標(biāo)檢測卷數(shù)學(xué)（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知盒中裝有大小形狀完全相同的個紅球、個白球、個黑球．甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是白球的前提下，第二次拿到黑球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)第1次拿到白球為事件，第2次拿到黑球為事件，則，，則，故選C．2．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點分布，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從兩點分布，，根據(jù)兩點分布概率性質(zhì)可知：，解得，故選C．3．某學(xué)習(xí)小組有三名男生、三名女生共計六名同學(xué)，選出四人進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，這四人中所含女生人數(shù)記為，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，故選C．4．設(shè)某地胡柚（把胡柚近似看成球體）的直徑（單位：服從正態(tài)分布，則在隨機(jī)抽取的1000個胡柚中，直徑在內(nèi)的個數(shù)約為（）附：若，則，．A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，，則．故直徑在內(nèi)的個數(shù)約為，故選B．5．氣象資料表明，某地區(qū)每年七月份刮臺風(fēng)的概率為，在刮臺風(fēng)的條件下，下大雨的概率為，則該地區(qū)七月份既刮臺風(fēng)又下大雨的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)某地區(qū)每年七月份刮臺風(fēng)為事件A，設(shè)某地區(qū)每年七月份下大雨為事件B，則該地區(qū)七月份既刮臺風(fēng)又下大雨為事件AB，由題得，，所以，所以，故選B．6．甲進(jìn)行3次投籃訓(xùn)練，甲每次投中目標(biāo)的概率為，則甲恰投中目標(biāo)2次的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】甲恰投中目標(biāo)2次的概率為，故選A．7．隨機(jī)變量X的分布列如表，則（）X01PA． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)隨機(jī)變量期望的計算公式，可得，所以方差為，故選B．8．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布定義可知它的圖像是關(guān)于對稱，因為，所以，所以，故選C．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．若，則（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】因為，，所以，，，，故選CD．10．已知隨機(jī)變量的分布列如下：其中、，若，則（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】由分布列知，則，，，，所以，，，．因為，所以，，所以，故選AB．11．若隨機(jī)變量且，則（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，該正態(tài)曲線的對稱軸是，，，，，，故選AD．12．如城鎮(zhèn)小汽車的普及率為，即平均每個家庭有個家庭擁有小汽車，若從如城鎮(zhèn)中任意選出個家庭，則下列結(jié)論成立的是（）A．這個家庭均有小汽車的概率為B．這個家庭中，恰有三個家庭擁有小汽車的概率為C．這個家庭平均有個家庭擁有小汽車D．這個家庭中，四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為【答案】ACD【解析】由題得小汽車的普及率為，A．這個家庭均有小汽車的概率為，所以該命題是真命題；B．這個家庭中，恰有三個家庭擁有小汽車的概率為，所以該命題是假命題；C．這個家庭平均有個家庭擁有小汽車，是真命題；D．這個家庭中，四個家庭以上(含四個家庭)擁有小汽車的概率為，所以該命題是真命題，故選ACD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．袋中裝有完全相同的個小球，其中有紅色小球個，黃色小球個，如果不放回地依次摸出個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是___．【答案】【解析】記事件第一次摸出紅球，事件第二次摸出紅球，則，，因此，，故答案為．14．若隨機(jī)變量的分布列如下表，且，則表中的值為_______．【答案】【解析】由于概率之和為，則，，解得，故答案為．15．投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為，那么針尖向下的概率為．若連續(xù)擲一枚圖釘次，則至少出現(xiàn)次針尖向上的概率為_________．【答案】【解析】投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為，針尖向下的概率為，∴連續(xù)擲一枚圖釘次，出現(xiàn)次針尖向上的概率為，出現(xiàn)次針尖向上的概率為，故至少出現(xiàn)次針尖向上的概率，故答案為．16．已知隨機(jī)變量的所有可能取值為、，其中，則________；當(dāng)取最小值時，________．【答案】，【解析】由分布列的性質(zhì)得，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，故答案為；．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）甲、乙二人進(jìn)行一場比賽，該比賽采用三局兩勝制，即先獲得兩局勝利者獲得該場比賽勝利．在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率都為．在①，②，③中任選一個，若時，比賽結(jié)束時，設(shè)甲獲勝局?jǐn)?shù)為，求其分布列和期望．【答案】見解析．【解析】選①時，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、，則，，．隨機(jī)變量的分布列如下：則．選②時，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、，則，，．隨機(jī)變量的分布列如下：則．選③時，由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、，則，，．隨機(jī)變量的分布列如下：則．18．（12分）甲、乙兩位同學(xué)各有張卡片，現(xiàn)以投擲一枚骰子的形式進(jìn)行游戲，當(dāng)擲出奇數(shù)點時．甲贏得乙卡片一張，當(dāng)擲出偶數(shù)點時，乙贏得甲卡片一張．規(guī)定投擲的次數(shù)達(dá)到次，或在此之前某人贏得對方所有卡片時，游戲終止．（1）設(shè)表示游戲終止時投擲的次數(shù)，求的分布列及期望；（2）求在投擲次游戲才結(jié)束的條件下，甲、乙沒有分出勝負(fù)的概率．【答案】（1）分布列見解析，；（2）．【解析】（1）可能取值為、、，，，．隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．（2）令投次沒分出勝負(fù)的事件為，投擲次游戲才結(jié)束為事件，投次能分出勝負(fù)的事件為，則，，，．19．（12分）年月日，中華蘇維埃共和國臨時中央政府根據(jù)中央革命軍事委員會月日的建議，決定月日為中國工農(nóng)紅軍成立紀(jì)念日，中華人民共和國成立后，將此紀(jì)念日改稱為中國人民解放軍建軍節(jié)．為慶祝建軍節(jié)，某校舉行“強國強軍”知識競賽，該校某班經(jīng)過層層篩選，還有最后一個參賽名額要在，兩名學(xué)生中間產(chǎn)生，該班委設(shè)計了一個測試方案：，兩名學(xué)生各自從個問題中隨機(jī)抽取個問題作答．已知這個問題中，學(xué)生能正確回答其中的個問題，而學(xué)生能正確回答每個問題的概率均為，，兩名學(xué)生對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的．（1）求恰好答對兩個問題的概率；（2）求恰好答對兩個問題的概率；（3）設(shè)答對題數(shù)為，答對題數(shù)為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）選擇投票給學(xué)生，詳見解析．【解析】（1），兩名學(xué)生各自從6個問題中隨機(jī)抽取3個問題作答．這6個問題中，學(xué)生能正確回答其中的4個問題，而學(xué)生能正確回答每個問題的概率均為，，兩名學(xué)生對每個問題回答正確與否都是相互獨立、互不影響的．恰好答對兩個問題的概率為．（2）恰好答對兩個問題的概率為．（3）所有可能的取值為1，2，3，；；，所以．由題意，隨機(jī)變量，所以，，，因為，，可見，與的平均水平相當(dāng)，但比的成績更穩(wěn)定．所以選擇投票給學(xué)生．20．（12分）某車站每天上午發(fā)出兩班客車，每班客車發(fā)車時刻和發(fā)車概率如下：第一班車：在，，發(fā)車的概率分別為，，；第二班車：在，，發(fā)車的概率分別為，，，兩班車發(fā)車時刻是相互獨立的，一位旅客到達(dá)車站乘車．求：（1）該旅客乘第一班車的概率；（2）該旅客候車時間（單位：分鐘）的分布列；（3）該旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析；（3）分鐘．【解析】（1）該旅客可能乘的車，也可能乘的車，這兩個時間乘車互斥，概率為．（2）該旅客候車時間設(shè)為，由題意的可能值依次為（單位：分鐘）：，，，在第一班車已經(jīng)發(fā)出的情況下，他只能乘第二班車，，，．分布列為：1030507090（3）由（2）得該旅客候車時間的期望值為：，∴旅客候車時間的數(shù)學(xué)期望分鐘．21．（12分）一批用于手電筒的電池，每節(jié)電池的壽命服從正態(tài)分布（壽命單位：小時）．考慮到生產(chǎn)成本，電池使用壽命在內(nèi)是合格產(chǎn)品．（1）求一節(jié)電池是合格產(chǎn)品的概率（結(jié)果四舍五入，保留一位小數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)結(jié)果，若質(zhì)檢部門檢查節(jié)電池，記抽查電池合格的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）；（2）分布列見解析，，．【解析】（1）一節(jié)電池是合格產(chǎn)品的概率為．（2）變量的值可能為0，1，2，3，4，變量服從二項分布，所以，，，，．則隨機(jī)變量的分布列為：01234則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，方差為．22．（12分）某大型超市抽查了100天該超市的日純利潤數(shù)據(jù)，并將日純利潤數(shù)據(jù)分成以下幾組（單位：萬元）：，，，，，，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組別頻數(shù)以上述樣本分布的頻率估計總體分布的概率，解決下列問題：（1）從該大型超市近幾年的銷售記錄中抽出5天，求其中日純利潤在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)不少于2的概率；（2）該超市經(jīng)理由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，該大型超市每天的純利潤服從正態(tài)分布，其中，近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值）．①試?yán)迷撜龖B(tài)分布，估計該大型超市1000天內(nèi)日純利潤在區(qū)間內(nèi)的天數(shù)（精確到個位）；②該大型超市負(fù)責(zé)人根據(jù)每日的純利潤給超市員工制定了兩種不同的獎勵方案：方案一：直接發(fā)放獎金，日純利潤低于時每名員工發(fā)放獎金70元，日純利潤不低于時每名員工發(fā)放獎金90元；方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中日純利潤不低于時每位員工均有兩次抽獎機(jī)會，日純利潤低于時每位員工只有一次抽獎機(jī)會；每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率分別為金額50元100元概率小張恰好為該大型超市的一名員工，則從數(shù)學(xué)期望的角度看，小張選擇哪種獎勵方案更有利？參考數(shù)據(jù)：若，則，．【答案】（1）；（2）①約為819天；②獎勵方案二