試題試題2024北京北師大實驗中學高三（上）統(tǒng)練一數(shù)學試卷說明：1．本次考試時間120分鐘，總分150分．2．試卷共有三道大題，21道小題．3．請將全部答案答在答題紙上．一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填在答題紙上1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.若復數(shù)為純虛數(shù)，則的值為（）A. B.0 C.1 D.23.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.4 C. D.64.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.5.設(shè)，且，則（）A. B.C. D.6.已知圓過點，，則圓心到原點距離的最小值為（）A. B. C.1 D.7.已知正方形的邊長為2，點P滿足，則的值為（）A.2 B. C.4 D.8.已知函數(shù)．則“”是“為偶函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為，則該四棱錐的高為（）A. B. C. D.10.若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上．11.拋物線y2=2x的焦點坐標為____．12.若與關(guān)于軸對稱，寫出一個符合題意的值______．13.如圖，在正三棱柱中，是棱上一點，，則三棱錐的體積為___________.14.設(shè)為原點，雙曲線的右焦點為，點在的右支上.則的漸近線方程是___________；的取值范圍是___________.15.對于數(shù)列，令，給出下列四個結(jié)論：①若，則；②若，則；③存在各項均為整數(shù)的數(shù)列，使得對任意的都成立；④若對任意的，都有，則有.其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在三棱錐中，平面，．（1）求證：平面PAB；（2）求二面角的大?。?7.在中，．（1）求；（2）若的面積為，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求a的值．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．18.地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1），考慮到受市場影響，預測該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購價格情況如表1（該預測價格與畝產(chǎn)量互不影響）.明年冬小麥統(tǒng)一收購價格（單位：元）概率表1假設(shè)圖1中同組的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值估算，并以頻率估計概率.（1）試估計地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為元的概率；（2）設(shè)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為元，求的分布列和數(shù)學期望；（3）地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入元的成本進行某項技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增加.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良？并說明理由.19.如圖，已知橢圓的一個焦點為，離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點作斜率為k的直線交橢圓E于兩點A，B，的中點為M．設(shè)O為原點，射線交橢圓E于點C．當與的面積相等時，求k的值．20.已知函數(shù)（），（）（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：1是的唯一極小值點；（Ⅲ）若存在，，滿足，求的取值范圍.（只需寫出結(jié)論）21.若數(shù)列：，，，（）中（）且對任意的，恒成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列1，，，7為“數(shù)列”，寫出所有可能的、；（2）若“數(shù)列”：，，，中，，，求的最大值；（3）設(shè)為給定的偶數(shù)，對所有可能的“數(shù)列”：，，，，記，其中表示，，，這s個數(shù)中最大的數(shù)，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．每題只有一個正確答案，將正確答案的序號填在答題紙上1.【答案】A【分析】先求，再求并集即可【詳解】易得，故故選：A2.【答案】C【分析】由復數(shù)乘法化為代數(shù)形式，然后由復數(shù)的分類求解．【詳解】∵為純虛數(shù)，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)的分類，掌握復數(shù)概念是解題關(guān)鍵．3.【答案】A【分析】寫出的二項展開式的通項公式，再進行整理化簡，要求的系數(shù)，可令，進而可得結(jié)果.【詳解】的第項為：，由得，∴的展開式中的系數(shù)為.故選：A4.【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.5.【答案】C【分析】舉反例即可求解ABD,根據(jù)導數(shù)求證即可判斷C.【詳解】對于A，取，則，故A錯誤，對于B，，則，故B錯誤，對于C，由于，故在單調(diào)遞減，故，因此，由于，所以，故，C正確，對于D,,則，故D錯誤，故選：C6.【答案】B【分析】由題意可知圓心在線段的垂直平分線上，將所求的最值轉(zhuǎn)化為原點到該直線的距離，即可得解.【詳解】由圓過點，，可知圓心在線段的垂直平分線上又，則又的中點為，則直線的方程為圓心到原點距離的最小值即為原點到直線的距離為故選：B7.【答案】C【分析】利用數(shù)量積的定義和性質(zhì)，即可計算結(jié)果.【詳解】由條件可知.故選：C8.【答案】C【分析】根據(jù)充分，必要條件的定義，結(jié)合三角函數(shù)變換，即可判斷選項.【詳解】當，即則，化簡為，即，，當時，，為偶函數(shù)，當時，，為偶函數(shù)，所以，能推出函數(shù)是偶函數(shù)反過來，若函數(shù)是偶函數(shù)，則有，所以“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選：C9.【答案】D【分析】根據(jù)題意分析可知平面平面，可知平面，再結(jié)合等體積法，即可求解．【詳解】底面為正方形，邊長為4，當相鄰的棱長相等時，不妨設(shè)，，分別取，的中點，，連接，，，如圖所示：則，，且，，平面，故平面，且平面，所以平面平面，過作的垂線，垂足為，即，由平面平面，平面，所以平面，由題意可得：，，，則，即，則，故，所以四棱錐的高為，當相對的棱長相等時，不妨設(shè)，，因為，此時不能形成三角形，與題意不符，這樣情況不存在．故選：D．10.【答案】B【分析】首先得到函數(shù)的定義域，再分析當時的取值，即可得到，再對時分和兩種情況討論，求出此時的取值，即可得到的值域，從而得到不等式，解得即可；【詳解】解：因為，所以的定義域為，，當時，則在上單調(diào)遞增，所以；要使定義域和值域的交集為空集，顯然，當時，若則，此時顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，若時在上單調(diào)遞減，此時，則，所以，解得，即故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題紙上．11.【答案】（，0）．【詳解】試題分析：焦點在x軸的正半軸上，且p=1，利用焦點為（，0），寫出焦點坐標．解：拋物線y2=2x的焦點在x軸的正半軸上，且p=1，∴=，故焦點坐標為（，0），故答案為（，0）．考點：拋物線的簡單性質(zhì)．12.【答案】（答案不唯一）【分析】先由關(guān)于軸對稱得出關(guān)系式，再由誘導公式求解即可.【詳解】由題意得，，由誘導公式知，顯然滿足題意，解得.故答案為：（答案不唯一）.13.【答案】【分析】利用線面垂直的判定定理確定三棱錐的高，再用錐體體積公式求解即可.【詳解】取中點為,連接，因為為正三角形，所以，又因為平面，平面，所以,且平面，所以平面，,即到平面的距離為，又因為,平面,平面,所以平面，又因為是棱上一點，所以到平面的距離為,所以,故答案為:.14.【答案】①.②.【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程與漸近線方程的關(guān)系可寫出雙曲線的漸近線方程；求出的取值范圍，可得出，結(jié)合余弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】在雙曲線中，，，，則，所以，雙曲線的漸近線方程為，直線的傾斜角為，由題意可知，則，所以，.故答案為：；.15.【答案】①②④【分析】逐項代入分析求解即可.【詳解】對于①：因為，且因為，所以，所以，故選項①正確；對于②：若，則所以，所以兩式相減得，所以，所以，所以，故選項②正確；對于③：，，所以若對任意的都成立，則有，所以，因為各項為整數(shù)，則不等式串中絕對值只能從越來越小，之后甚至會出現(xiàn)大于某數(shù)絕對值的情況，例如：，后續(xù)還會有絕對值，但是會有矛盾，故選項③錯誤；對于④：若對任意的，都有，則有..故選項④正確；故答案為：①②④.三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【小問1詳解】因為平面平面，所以，同理，所以為直角三角形，又因為，，所以，則為直角三角形，故，又因為，，所以平面.【小問2詳解】由（1）平面，又平面，則，以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因為二面角為銳二面角，所以二面角的大小為.17.【答案】（1）（2）選②或③，【分析】（1）利用正弦定理：邊轉(zhuǎn)角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出結(jié)果；（2）條件①，由，角可以是銳角或鈍角，不滿足題設(shè)中的條件，故不選①；條件②，利用條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；條件③，利用正弦定理，先把角轉(zhuǎn)邊，再結(jié)合條件建立，邊與的方程組，求出與，再利用余弦定理，即可求出結(jié)果；【小問1詳解】因為，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.【小問2詳解】選條件①：由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，，即，所以角有銳角或鈍角兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件.選條件②：因為，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.選條件③：因為，所以，由，得到，又，由(1)知，所以又由正弦定理得，，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.18.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，（3）建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良，理由見解析【分析】（1）計算出畝產(chǎn)量是的概率，結(jié)合表1以及獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知隨機變量的可能取值有、、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值；（3）設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為，增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為，則，設(shè)增產(chǎn)后的每畝動漫小麥總價格為元，計算出增產(chǎn)的會產(chǎn)生增加的收益，與比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：由圖可知，畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，估計地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購總價為元的概率為【小問2詳解】解：由題意可知，隨機變量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：.【小問3詳解】解：建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良，設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為，增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為，則，設(shè)增產(chǎn)后的每畝動漫小麥總價格為元，分析可知，所以，增產(chǎn)的會產(chǎn)生增加的收益為，故建議農(nóng)科所推廣該項技術(shù)改良.19.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意得到，解出即可.（2）的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，設(shè),得到兩根之和式，設(shè),根據(jù)，從而，結(jié)合其在橢圓上得到，解出即可.【小問1詳解】由題設(shè),，解得.所以橢圓的方程為.【小問2詳解】直線的方程為.由得.設(shè),則.因為與的面積相等,所以點和點到直線的距離相等.所以為線段的中點,即四邊形為平行四邊形.設(shè),則.所以.將上述兩式代入，得.解得.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問得到兩根之和式，通過面積相等則得到為線段的中點，則為線段的中點，利用向量加法得到，從而用表示出點坐標，最后結(jié)合其在橢圓上，代入橢圓方程即可.20.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）見解析（3）【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極小值即可；（Ⅲ）結(jié)合題意寫出的范圍即可．【詳解】（Ⅰ）因為，令，得因為，所以當變化時，，的變化情況如下：0極大值故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）證明：，設(shè)，則故在是單調(diào)遞增函數(shù)，又（1），故方程只有唯一實根當變化時，，的變化情況如下：10極小值故在時取得極小值（1），即1是的唯一極小值點；（Ⅲ）21.【答案】（1），或；（2）的最大值為；(3)．【分析】（1）利用“數(shù)列”，能求出數(shù)列1，，，7為“數(shù)列”，所有可能的，．（2）由，推導出對任意的恒成立，從而，進而；取，則對任意的，，故數(shù)列為“