專(zhuān)題9.1不等式及不等式的基本性質(zhì)【十大題型】

【人教版】

【題型1不等式的概念及意義】..................................................................1

【題型2取值是否滿(mǎn)足不等式】..................................................................1

【題型3根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等式〕.............................................................2

【題型4在數(shù)軸上表示不等式〕.................................................................2

【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】............................................................3

【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】.............................................................4

【題型8利用不等式性質(zhì)證明（不）等式】.......................................................5

【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】.....................................................6

【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】.................................................................6

0*卒一及三

【知識(shí)點(diǎn)1認(rèn)識(shí)不等式】

定義：用符號(hào)“V"（或（或“2"），“=”連接而成的式子，叫做不等式。用符號(hào)

這些用來(lái)連接的符號(hào)統(tǒng)稱(chēng)不等式.

【題型1不等式的概念及意義】

［例I］（2022春?鄭縣期中）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：①-3V0：②41+3）>0；③x=3；④f+xy+p⑤吐5；⑥x+2

>）葉3中，不等式有（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式1-1］（2022春?蒼溪縣期末）下列式子是不等式的是（）

A.x+4y=3B.xC.x+yD.x-3>0

【變式1-2］（2022春?平泉市期末）某種牛奶包裝盒上表明“凈重205g,蛋白質(zhì)含量23%”.則這種牛奶

蛋白質(zhì)的質(zhì)量是（）

A.3%以上B.6.15g

C.6.15g及以上D.不足6.15g

【變式1-3］（2022春?曲陽(yáng)縣期末）學(xué)校組織同學(xué)們春游，租月45座和30座兩種型號(hào)的客車(chē)，若租用45

座客車(chē)x輛，租用30座客車(chē)），輛，則不等式“45X+3QG500”表示的實(shí)際意義是.

【題型2取值是否滿(mǎn)足不等式】

【例21（2022春?臥龍區(qū)期中）下列數(shù)值?2、?1.5、?1、0、1、1.5、2中能使1?2x>0成立的個(gè)數(shù)有個(gè).

【變式2-1］（2022春?瀘縣期末）X=3是下列哪個(gè)不等式的解（）

A.x+2V4B.23C.2.-K3D.3/2>1。

【變式2-2］（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）下列x的值中，是不等式x>2的解的是（）

A.-2B.0C.2D.3

【變式2-3］（2022春?夏津縣期中）請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的一個(gè)不等式.

（1）0是這個(gè)不等式的一個(gè)解：；

（2）-2,-I,（）,I都是不等式的解：；

（3）0不是這個(gè)不等式的解：:

【題型3根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出不等式】

【例3】（2022春?川匯區(qū)期末）小麗和小華先后進(jìn)入電梯，當(dāng)小華進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而警示音響起，

且這個(gè)過(guò)程中沒(méi)有其他人進(jìn)出，已知當(dāng)電梯乘教的重量超過(guò)300公斤時(shí)警示音響起，且小麗、小華的體

重分別為40公斤，50公斤，若小麗進(jìn)入電梯前，電梯內(nèi)已乘載的重量為x公斤，則所有滿(mǎn)足題意的x

可用下列不等式表示的是（）

A.210<A<260B.210cxW300C.210cxW250D.250Vx《260

【變式3-1］（2022?南京模擬）據(jù)深圳氣象臺(tái)“天氣預(yù)報(bào)”報(bào)道，今天深圳的最低氣溫是25C,最高氣溫

是32C,則今天氣溫/（℃）的取值范圍是（）

A./<32B./>25C.t=25D.25W/W32

【變式3-2］（2022春?玉田縣期末）用不等式表示“。是負(fù)數(shù)”應(yīng)表示為—.

【變式3-3］（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）某種藥品的說(shuō)明書(shū)上貼有如圖所示的標(biāo)簽，一次服用藥品的劑量

設(shè)為-則％的取值范圍是.

用法用量：口服，每天30?分37次服用

規(guī)格：□□□口

貯藏：口□□口

【題型4在數(shù)軸上表示不等式】

【例4】（2（）22?嘉善縣模擬）數(shù)軸上所表示的關(guān)于x的不等式組的解集為.

------?------1>

-2-10123

【變式4-1］（2022春?永豐縣期中）不等式上2。的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則。=

-----------1???A

012345

【變式4-2］（2022秋?衢州期中）在數(shù)軸上表示下列不等式

（1）x<-1（2）-2<x^3.

【變式4-3］（2022?防城港模擬）在數(shù)軸上表示-2<xVl正確的是（）

A.-2-1()1

B.-2-101

C.-2-101

D.-2-101

【知識(shí)點(diǎn)2不等式的基本性質(zhì)】

性質(zhì)1：若aVb,bVc,則aVc.這個(gè)性質(zhì)叫做不等式的傳遞性.

性質(zhì)2：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。

若a>b,則a±c>b±c.

性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。

不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。

若a>b,c>0,則ac>bc,

若a>b,c<（）,則acVbc,-<-

cc

【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】

【例5】（2022春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如果有理數(shù)仇那么下列各式中，不一定成立的是（）

A.3-a>3-bB.cr<abC.2a<2bD.一：>一:

33

【變式5-1］（2022?禪城區(qū)校級(jí)三模）下列結(jié)論中，正確的是（）

A.若a>b,cHO,則B.若ahV0,則〃>0,b<（）

C.若。>0,bVO,則abVOD.若￡>1，則

【變式5-2］（2022春?大埔縣期末）下列結(jié)論正確的有（填序號(hào)）.

①如果a>b,c〈d,那么a-c>b-d；②如果a>b,那么三>1；③如果a>h,那么!<1；④如果持<芻,

babczcz

那么a<b.

【變式5-3］（2022春?天津期末）判斷以下各題的結(jié)論是否正確（對(duì)的打“J”，錯(cuò)的打"X"）.

(1)若〃?3〃<0,則bV3a；

(2)如果?5%>20,那么x>?4；

(3)若a>b,貝ija(r>b(r^

(4)若〃/>反2,則。>力；

(5)若則a(d+l)>b(/+1)

(6)若〃>/?>(),則工<7.

ab--------------------

【題型6利用不等式性質(zhì)比較大小】

【例6】（2022春?閔行區(qū)期中）如果女V4時(shí)，那么7%-31.（填“>”，"="，或“V”）.

【變式6-1］（2022春?輝縣市期中）若a〈b,用或“V”填空

(1)a-4b~4

（3）-2a-2b.

【變式6-2］（2022春?饒平縣校級(jí)期末）要比較兩個(gè)數(shù)心。的大小，有時(shí)可以通過(guò)比較〃-〃與0的大小

來(lái)解決：

（1）如果a-b>0,則a>bf

（2）如果a-》=0,則a=b；

（3）如果.■匕V0,則aVA.

若工=2.2+3力，y=a2+3b-1,試比較x、y的大小.

【變式6-3］（2022春?灘溪縣期中）如果那么。（。-力；b（a-b）（填或“V”）

【題型7利用不等式性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式】

【例7】（2022秋?余杭區(qū)期中）利用不等式的性質(zhì)解不等式：-5x+5<-10.

【變式7-1］（2022秋?郴州校級(jí)月考）把下列不等式化成工或xVa的形式.

（1）2r+5>3；

（2）-6（x-1）<0.

【變式7?2】（2022秋?余杭區(qū)期中）試依據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為或xVa的形式（a

為常數(shù)）.

(1)-x>--x-2(2)-x<-(6-x)

3322

【變式7?3】(2022秋?湖州期中)根據(jù)不等式的性質(zhì)把下列不等式化成x>a或xVa的形式.

(1)x+7>9

(2)6x<5x-3

(3)-x<-.

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【題型8利用不等式性質(zhì)證明(不)等式】

【例8】(2022春?西城區(qū)校級(jí)期中)閱讀下列材料，解決問(wèn)題：

【問(wèn)題背景】

小明在學(xué)習(xí)完不等式的性質(zhì)之后，思考：

“如何利用不等式的性質(zhì)1和2證明不等式的性質(zhì)3呢？”

在老師的啟發(fā)下，小明首先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以下的形式：

①已知：a>b,c<0.

求證：ac<bc.

②已知：a>b,c<0.

—XX?-r-ClI)

求址：-cc

【問(wèn)題探究】

(1)針對(duì)①小明給出如下推理過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并填寫(xiě)依據(jù)：

Vc<0,即c是一個(gè)負(fù)數(shù)

???c的相反數(shù)是正數(shù)，即-c>0

'：a>b

??a*(-c)>b*(-c)(依據(jù)：)

即-ac>-be

不等式的兩端同時(shí)加(ac+bc)可得：

-(ac+bc)>-bc+(ac+Ac)(依據(jù)：)

合并同類(lèi)項(xiàng)可得：bc>ac

即：acV僅?得證.

(2)參考(1)的結(jié)論或證明方法，完成②的證明.

【變式8-1](2022春?武侯區(qū)期末)求證：如果〃>〃，e>f,c>0,那么廣“eV。?

【變式8-2]（2022春?江西期末）已知：b<c,\<a<b+c<a^\,求證：h<a.

【變式8-3]（2022春?夏津縣期中）已知實(shí)數(shù)小b,。滿(mǎn)足：。+力+c=0,c>0,3a+2b+c>0.

求證：（1）a>c；

（2）-2<-<-l.

a

【題型9利用不等式性質(zhì)求取值范圍或最值】

【例9】（2022春?龍鳳區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x,y,z滿(mǎn)足x+y=3,x-z=6.若x寸-2）。則x+y+z的最大值

為（）

A.3B.4C.5D.6

【變式9-1]（2022春?鄲都區(qū)校級(jí)期中）若XV），，且（6“）x>（6-a）y,則。的取值范圍是.

【變式9-2]（2022?天門(mén)校級(jí)自主招生）已知正數(shù)〃、b、c滿(mǎn)足。2+d=i6,從+d=25,則&=/+〃的取值

范圍為.

【變式9-3]（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）已知a,b,c為整數(shù)，且。+。=2006,c-a=2005,若a<b,求

B+A+C?的最大值.

【題型10不等關(guān)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用】

【例10】（2022春?饒平縣校級(jí)期末）有一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)字為小十位上的數(shù)字為乩如果把這個(gè)

兩位數(shù)的個(gè)位與十位上的數(shù)字對(duì)調(diào)，得到的兩位數(shù)大于原來(lái)的兩位數(shù)，那么。與〃哪個(gè)大？

【變式10-1】（