量子計算QuantumComputing

第1章

量子奇旅第2章

空間的秘密第3章

量子比特第4章

單量子比特基礎邏輯門第5章

單量子比特旋轉邏輯門第6章

多量子比特邏輯門第7章

量子測量第8章Deutsch-Josza算法第9章

振幅放大第10章Grover算法第11章

量子傅里葉變換第12章

量子相位估計全套可編輯PPT課件

本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算的發(fā)展階段量子優(yōu)勢量子計算模型和技術探索最新進展理論奠基1980年代末1980年代末，Feynman在1982年的一次演講中首次提出了用量子系統(tǒng)模擬物理系統(tǒng)的想法。Deutsch在1985年發(fā)表的一篇論文中提出了量子計算機的概念。1990年代中期到2000年代1998年，IBM成功實現了用核磁共振技術構建的量子計算機的實驗驗證。在2001年，IBM和其他研究機構開始在實驗室中建立更復雜的量子比特系統(tǒng)。理論發(fā)展1990年代初在1994年，PeterShor提出了著名的Shor算法，該算法展示了量子計算在因數分解等問題上的巨大優(yōu)勢。同時，LovGrover提出了Grover搜索算法，展示了量子計算在搜索問題上的優(yōu)勢。2010年代在這一時期，大型科技公司如IBM、Google、微軟和IBM等開始投入大量資源開發(fā)量子計算技術。2019年，Google聲稱實現了所謂的“量子優(yōu)勢”，即量子計算機在某些任務上超越了傳統(tǒng)計算機。2020年代隨著量子計算技術的不斷進步，越來越多的研究機構和公司開始投入量子計算的研究和開發(fā)。量子計算在諸如材料科學、密碼學、優(yōu)化問題等領域展示出巨大的潛力。量子計算的發(fā)展歷程，可分為5個階段：本課件是可編輯的正常PPT課件量子信息技術：量子計算，量子通信量子力學信息科學量子信息技術是量子力學與信息科學交叉學科。它利用量子力學中的量子疊加態(tài)和量子糾纏等特性，能夠實現超越傳統(tǒng)計算機和通信系統(tǒng)的功能和性能。量子計算主要包括量子計算機、量子算法和量子機器學習三個技術領域。利用量子疊加態(tài)和量子糾纏等特性進行并行計算，從而在某些特定問題上具有指數級的計算能力優(yōu)勢。量子信息技術量子信息技術量子計算量子信息技術的兩個主要領域：量子通信量子通信利用量子糾纏特性實現安全的通信和密鑰分發(fā)。量子通信可以提供絕對安全的通信方式，通過量子態(tài)傳輸信息可以檢測到任何對信息的竊聽和干擾。本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1900Start物體通過分立的跳躍非連續(xù)地改變它們的能量，能量值只能取某個最小能量元的整數倍。能量量子化普朗克（1858—1947年）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1905金屬表面在光輻照作用下發(fā)射電子的效應，發(fā)射出來的電子叫做光電子。光電效應

愛因斯坦（1879—1955年）本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1913提出了量子不連續(xù)性，成功地解釋了氫原子和類氫原子的結構和性質。提出了原子結構的玻爾模型。玻爾模型玻爾（1885—1962年）本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1923實物粒子也有波粒二象性，認為與運動粒子相應的還有一正弦波，兩者總保持相同的位相。德布羅意波(物質波)德布羅意（1892—1987年）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1925實物粒子也有波粒二象性，認為與運動粒子相應的還有一正弦波，兩者總保持相同的位相。薛定諤方程薛定諤（1887—1961年）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1927量子力學中的基本方程之一。它描述了算符隨時間的演化規(guī)律，為我們理解微觀世界的動態(tài)過程，提供了重要的工具。海森堡方程海森堡（1901—1976年）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1928研究氫原子能級分布時，考慮有自旋角動量的電子作高速運動時的相對論性效應，給出了氫原子能級的精細結構。狄拉克方程狄拉克（1902—1984年）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算簡史–量子力學主要人物1949Start費曼圖、費曼規(guī)則和重正化的計算方法，這是研究量子電動力學和粒子物理學不可缺少的工具。費曼圖和費曼規(guī)則理查德·費曼（1918—1988年）Theworldisstrange.Thewholeuniverseisverystrange,butyouseewhenyoulookatthedetailsthattherulesofthegameareverysimple–themechanicalrulesbywhichyoucanfigureoutexactlywhatisgoingtohappenwhenthesituationissimple.

Butitisnotcomplicated.Itisjustalotofit.

看似復雜的世界是由眾多的簡單規(guī)則構建而成。本課件是可編輯的正常PPT課件量子系統(tǒng)的兩個特性

量子疊加量子糾纏

量子糾纏(entanglement)：量子世界中不同粒子之間有無法用經典規(guī)律理解的整體關聯性，不能分開來描述個別粒子，一旦改變某個粒子，會影響到其他粒子。>>量子行為的兩個特性，也就是疊加和糾纏，使量子計算機有能力解決目前的常規(guī)或傳統(tǒng)機器無能為力的問題。

本課件是可編輯的正常PPT課件退相干相干：相干性是波的屬性，相干性可以是一個波或者一組波的物理量之間的任何相關關系。相干波具有相同的頻率并且具有恒定的相位差（PhaseDifference）。退相干：退相干是由于環(huán)境噪聲而導致的信息丟失。相干的量子比特位于布洛赫球上，長度為1，而退相干的量子比特位于布洛赫球內，長度小于1。本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算機量子計算機的計算過程量子處理單元（QPU）經典計算機（CPU）數據輸入數據輸出量子編程應用接口初態(tài)制備量子測量幺正變換

一般而言，量子計算機的計算過程可以分為：數據輸入、初態(tài)制備、量子邏輯門操作、量子測算和數據輸出等步驟。本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算目前的局限性

01

控制難量子比特的狀態(tài)很容易受到環(huán)境的干擾，例如溫度、磁場和電磁輻射等。03糾錯難量子糾錯是目前最大的瓶頸。盡量降低資源消耗和錯誤概率成為量子糾錯算法領域的重要研究問題，但仍然比較困難。02測量難量子比特的測量是非常困難的，因為它會破壞比特的量子態(tài)，發(fā)生“退相干”。量子計算局限性本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算主要應用領域組合優(yōu)化模擬仿真信息加密人工智能金融材料化工其它場景垂直行業(yè)生物醫(yī)藥本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

本課件是可編輯的正常PPT課件從線性運算說起

3456-1012

本課件是可編輯的正常PPT課件復平面

.本課件是可編輯的正常PPT課件復數向量表示

本課件是可編輯的正常PPT課件復數三角函數表示

本課件是可編輯的正常PPT課件復數極坐標表示

本課件是可編輯的正常PPT課件歐拉公式(1/2)

公式1公式2公式3

本課件是可編輯的正常PPT課件歐拉公式(2/2)

由此可得歐拉公式：

本課件是可編輯的正常PPT課件復數加法的幾何意義復數：復數加法的幾何意義可以概括為平行四邊形法則：結果為兩個復數向量形成的平行四邊形的對角線。則：

令：

本課件是可編輯的正常PPT課件復數乘法的幾何意義

本課件是可編輯的正常PPT課件復數加法與向量加法

結合線性代數的知識，復數的幾何性質與二維向量。于是復數c1

，c2

的向量形式為：復數加法向量形式：

本課件是可編輯的正常PPT課件復數乘法與矩陣乘法

本課件是可編輯的正常PPT課件復數乘法與矩陣乘法

并且：

本課件是可編輯的正常PPT課件結論矩陣表示或者向量二元組表示，更能體現復數的本質：復數是矩陣或者向量在2維上的子集。

(所謂子集是因為復數要滿足交換律，也就是滿足交換律的2維矩陣)實現了從1維到多維的第一次跨越。

本課件是可編輯的正常PPT課件歐拉公式–矩陣證明法(1/4)

泰勒公式：

1234本課件是可編輯的正常PPT課件歐拉公式–矩陣證明法(2/4)

……本課件是可編輯的正常PPT課件歐拉公式–矩陣證明法(3/4)

本課件是可編輯的正常PPT課件歐拉公式–矩陣證明法(4/4)

歐拉公式：歐拉恒等式：本課件是可編輯的正常PPT課件希爾伯特空間與歐式空間轉換–向量單量子態(tài)復向量表示：

單量子態(tài)實向量表示：

（α、β都是復數）本課件是可編輯的正常PPT課件希爾伯特空間與歐式空間轉換–矩陣

由于：

可得：如此，我們就可以實現復數矩陣與實數矩陣的轉換。本課件是可編輯的正常PPT課件實數矩陣類型實數矩陣實對稱矩陣可逆矩陣正交矩陣I-I實對稱正交矩陣本課件是可編輯的正常PPT課件實對稱矩陣AT=A

N階實對稱方陣具有以下重要性質：本課件是可編輯的正常PPT課件厄米矩陣A?

=

A

如果沒有共軛條件，其等價的實數矩陣并不對稱！結論：1、厄米矩陣A?

其等價的實數矩陣是實對稱矩陣。

2、所以厄米矩陣具有實對稱矩陣同樣性質。

3、唯獨性質2不滿足，即所有特征向量均為實向量不成立，有可能是復向量。本課件是可編輯的正常PPT課件實正交矩陣

1、行向量和列向量組皆為正交的單位向量。2、任意兩行或列正交就是兩行或列點乘結果為0，而因為是單位向量，所以任意行或列點乘自己結果為1。3、行列式的絕對值為1，也就意味著對任何向量變換，只旋轉或者反射，不縮放。

實正交矩陣具有以下重要性質：本課件是可編輯的正常PPT課件幺正矩陣（酉矩陣）

幺正矩陣的行（列）向量組是酉空間的標準正交向量組。具備實正交矩陣的所有性質。轉換成實數矩陣后，就很清晰的發(fā)現，其等價的實數矩陣是實正交矩陣。本課件是可編輯的正常PPT課件矩陣類型對比復數矩陣厄米矩陣可逆矩陣幺正矩陣I-I實數矩陣實對稱矩陣可逆矩陣正交矩陣I-I本課件是可編輯的正常PPT課件希爾伯特空間矩陣類型復數矩陣厄米矩陣可逆矩陣幺正矩陣I-I

Pauli矩陣即是厄米矩陣也是幺正矩陣。本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

本課件是可編輯的正常PPT課件狄拉克符號

狄拉克符號ket：狄拉克符號bra：

本課件是可編輯的正常PPT課件狄拉克符號

外積：內積：

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特疊加態(tài)

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特疊加態(tài)

（α、β都是復數）本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特–實數表示

單量子比特的復向量表示：

則有單量子比特的實向量表示：

單量子態(tài)可以理解為4維實數空間中的向量本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特–復數表示

那么有：

本課件是可編輯的正常PPT課件多量子比特

歸一化條件為：

本課件是可編輯的正常PPT課件布洛赫球介紹在布洛赫球上，一個單量子比特的狀態(tài)可以用一個點表示，這個點的位置和方向對應著量子比特的狀態(tài)。量子比特狀態(tài)的操作和變化可以在布洛赫球上用旋轉和移動的方式進行描述。

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子態(tài)

那么有：

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子態(tài)-

全局相位因為：

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子態(tài)-

全局相位因為：

可得：

有:

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子態(tài)–降維因為：單量子態(tài)的復向量表示：單量子態(tài)的實向量表示：

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子態(tài)–降維

由于其中一個維度為0，那么可以用三維空間來表示單量子比特：

但是，這仍不是布洛赫球！本課件是可編輯的正常PPT課件布洛赫球半角問題（HalfAngles）

本課件是可編輯的正常PPT課件布洛赫球半角問題（HalfAngles）

本課件是可編輯的正常PPT課件布洛赫球(BlochSphere)其中：

如此，得到布洛赫球！單量子態(tài):由于半角問題，上述單量子態(tài)公式調整為：

本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

本課件是可編輯的正常PPT課件酉（幺正）變換

本課件是可編輯的正常PPT課件酉（幺正）變換性質

本課件是可編輯的正常PPT課件厄米共軛算符–常用公式

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特邏輯門-

幺正變換矩陣的計算方法

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特邏輯門-

幺正變換矩陣的計算方法

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特邏輯門-

幺正變換矩陣的計算方法

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特邏輯門-

幺正變換矩陣的計算方法

本課件是可編輯的正常PPT課件H(Hadamard)門-矩陣計算Hadamard門是一種可以將基態(tài)變?yōu)榀B加態(tài)的量子邏輯門，簡稱H門。

可得H門的矩陣：本課件是可編輯的正常PPT課件H(Hadamard)門

量子線路符號：H門其它性質：H本課件是可編輯的正常PPT課件常用幾何變換–

鏡像

證明：

本課件是可編輯的正常PPT課件H(Hadamard)門–舉例

本課件是可編輯的正常PPT課件H(Hadamard)門–舉例

參考來源：QuantumComputingforComputerScientists

12342341…

本課件是可編輯的正常PPT課件泡利算符（矩陣）

本課件是可編輯的正常PPT課件泡利算符

本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-X門-矩陣計算

Pauli-X作用在單量子比特上，跟經典計算機的NOT門量子等價，將量子態(tài)翻轉，量子態(tài)變換規(guī)律是：|0?

|1?|1?

|0?

本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-X門

XOr本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-X門

+1+11

1

布洛赫球幾何意義：將操作的量子比特繞x軸旋轉180度。

本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-X門–舉例

24112343

X門作用在基態(tài)：X門作用在疊加態(tài)：本課件是可編輯的正常PPT課件X，H門結合使用例子

H量子態(tài)

量子態(tài)X量子態(tài)XXH

如圖所示交替操作之后：

11

23344

525本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-Y門-矩陣計算

本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-Y門

布洛赫球幾何意義：將操作的量子比特繞y軸旋轉180度。

Y本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-Z門-矩陣計算

Pauli-Z作用在單量子比特上，作用相當于繞布洛赫球Z軸旋轉角度

，量子態(tài)變換規(guī)律是：|0?

|0?|1?

-|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Pauli-Z門

譜分解的等價寫法

布洛赫球幾何意義：將操作的量子比特繞z軸旋轉180度。

Z本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

本課件是可編輯的正常PPT課件RX(θ)門RX門由Pauli-X矩陣作為生成元生成，其矩陣形式為：

本課件是可編輯的正常PPT課件RX(θ)門

本課件是可編輯的正常PPT課件RY(θ)門RY門由Pauli-Y矩陣作為生成元生成，其矩陣形式為：

本課件是可編輯的正常PPT課件RY(θ)門

本課件是可編輯的正常PPT課件RY(θ)門-重要性質

….

兩角和與差的三角函數公式：本課件是可編輯的正常PPT課件RY(θ)門-舉例

….+1+11

1

本課件是可編輯的正常PPT課件RZ(θ)門RZ門又稱為相位轉化門(phase-shiftgate)，由Pauli-Z矩陣作為生成元生成，其矩陣形式為：

本課件是可編輯的正常PPT課件RZ(θ)門

本課件是可編輯的正常PPT課件RZ(θ)門

本課件是可編輯的正常PPT課件RZ(θ)門–T門,S門,Z門

+1+i1

ie

i

ei/2=iei=1

(歐拉恒等式)e3i/2=ie2i=e0=1

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本課件是可編輯的正常PPT課件張量積（tensorproduct）張量積是兩個或多個向量空間張成一個更大向量空間的運算。在量子力學中，量子的狀態(tài)由希爾伯特空間(Hilbertspaces)中的單位向量來描述。本質上復合系統(tǒng)中量子態(tài)的演化也是矩陣的乘法，其與單個子系統(tǒng)相比，只是多了張量積的運算。

本課件是可編輯的正常PPT課件張量積–重要公式

本課件是可編輯的正常PPT課件張量積–重要公式1.不同子空間的張量積的矩陣乘，相當于各自子空間下的矩陣乘，再把結果張量積。

本課件是可編輯的正常PPT課件張量積–量子線路例子

本課件是可編輯的正常PPT課件張量積–量子線路例子

本課件是可編輯的正常PPT課件多量子比特邏輯門不論是在經典計算還是量子計算中，兩量子比特門無疑是建立量子比特之間聯系的最重要橋梁。不同于經典計算中的與或非門及它們的組合，量子邏輯門要求所有的邏輯操作必須是酉變換，所以輸入和輸出的比特數量是相等的。對于一個兩量子比特的系統(tǒng)，其計算基分別為：

在本系列教程里約定：基態(tài)|00?中，左側0對應的位為高位，右側的0對應的位為低位。

本課件是可編輯的正常PPT課件兩量子比特邏輯門

本課件是可編輯的正常PPT課件兩量子比特邏輯門

本課件是可編輯的正常PPT課件兩量子比特邏輯門-

幺正變換矩陣的計算方法

本課件是可編輯的正常PPT課件CNOT門-高位作為控制比特

對應的CNOT門在線路中的顯示：控制比特控制非門(Control-NOT)，通常用CNOT表示，是一種普遍使用的兩量子比特門。如果高位作為控制比特，則它的矩陣形式：約定：量子線路從上到下為從低比特到高比特位。含實點的線路對應的量子比特為控制比特(controlqubit)，含+號的線路對應的量子比特為目標比特(targetqubit)。

目標比特

本課件是可編輯的正常PPT課件CNOT門-矩陣計算

CNOT門作用在兩量子比特上，高位為1時(高位為控制比特)，將低位量子態(tài)翻轉，量子態(tài)變換規(guī)律是：

ABA’B’|00?

|00?

|01?

|01?

|10?

|11?

|11?

|10?

InputOutput控制比特

目標比特

本課件是可編輯的正常PPT課件CNOT門-矩陣計算

本課件是可編輯的正常PPT課件CNOT門-低位作為控制比特如果低位作為控制比特，則它的矩陣形式：

對應的CNOT門在線路中的顯示：B-TargetA-ControlB’A’本課件是可編輯的正常PPT課件CNOT門-矩陣計算-低位作為控制比特

CNOT門作用在兩量子比特上，低位為1時(低位為控制比特)，將高位量子態(tài)翻轉，量子態(tài)變換規(guī)律是：

InputOutputBAB’A’|00?

|00?

|01?

|11?

|10?

|10?

|11?

|01?

控制比特

目標比特

A’B’本課件是可編輯的正常PPT課件CNOT門-低位作為控制比特–計算例子

本課件是可編輯的正常PPT課件SWAP門SWAP門是一種量子門，它可以交換兩個量子比特之間的狀態(tài)，SWAP門的矩陣形式：

對應的CNOT門在線路中的顯示：

本課件是可編輯的正常PPT課件SWAP門-矩陣計算

SWAP門可以將|01?

態(tài)變?yōu)閨10?

，|10?

變?yōu)?/p>

|01?，量子態(tài)變換規(guī)律是：ABA’B’|00?

|00?

|01?

|10?

|10?

|01?

|11?

|11?

InputOutput

本課件是可編輯的正常PPT課件SWAP門SWAP門性質：

SWAPij=CNOTijCNOTjiCNOTij|00?

|00?

|00?

|00?

|01?

|01?

|11?

|10?

|10?

|11?

|01?

|01?

|11?

|10?

|10?

|11?

本課件是可編輯的正常PPT課件SWAP門

本課件是可編輯的正常PPT課件CR門控制相位門(Controlphasegate)和控制非門類似，通常用CR（CPhase）表示，它的矩陣形式：

對應的CR門在線路中的顯示：當控制比特為|0?態(tài)時，目標比特不發(fā)生改變，當控制比特為|1?態(tài)時，對目標比特執(zhí)行相轉變門(phase-shiftgate)，其特殊之處在于，控制相位門里交換控制比特和目標比特的角色，矩陣形式不會發(fā)生任何改變。含實點的線路對應的量子比特為控制比特(controlqubit)，含CR的線路對應的量子比特為目標比特(targetqubit)?？刂票忍?/p>

目標比特

本課件是可編輯的正常PPT課件三量子比特邏輯門U變換的表達式為：

本課件是可編輯的正常PPT課件三量子比特邏輯門

本課件是可編輯的正常PPT課件三比特張量積詳細計算過程

本課件是可編輯的正常PPT課件

本課件是可編輯的正常PPT課件三量子比特邏輯門-

幺正變換矩陣的計算方法量子態(tài)變換列表：

本課件是可編輯的正常PPT課件Toffoli(

CCNOT)Toffoli門即CCNOT門，它涉及3個量子比特，兩個控制比特，一個目標比特，兩個高位都為1時(高位為控制比特)，將低位量子態(tài)翻轉，量子態(tài)變換規(guī)律是：ABA’B’|000?

|000?

|001?

|001?

|010?

|010?

|011?

|011?

|100?

|100?

|101?

|101?

|110?

|111?

|111?

|110?

InputOutput本課件是可編輯的正常PPT課件Toffoli(

CCNOT)-矩陣計算

ABA’B’|000?

|000?

|001?

|001?

|010?

|010?

|011?

|011?

|100?

|100?

|101?

|101?

|110?

|111?

|111?

|110?

本課件是可編輯的正常PPT課件Toffoli(

CCNOT)Toffoli門，即CCNOT門的矩陣形式：

Toffoli門在線路中的顯示：

xyzxy

本課件是可編輯的正常PPT課件Toffoli(

CCNOT)–計算例子

本課件是可編輯的正常PPT課件Fredkin(

CSWAP)Fredkin門即CSWAP門，它涉及3個量子比特，一個控制比特，兩個目標比特，高位為1時(高位為控制比特)，將兩個低位量子態(tài)交換，量子態(tài)變換規(guī)律是：ABA’B’|000?

|000?

|001?

|001?

|010?

|010?

|011?

|011?

|100?

|100?

|101?

|110?

|110?

|101?

|111?

|111?

InputOutput本課件是可編輯的正常PPT課件Fredkin(

CSWAP)

-矩陣計算

ABA’B’|000?

|000?

|001?

|001?

|010?

|010?

|011?

|011?

|100?

|100?

|101?

|110?

|110?

|101?

|111?

|111?

本課件是可編輯的正常PPT課件Fredkin(

CSWAP)Fredkin門的矩陣形式：

Fredkin門在線路中的顯示：本課件是可編輯的正常PPT課件Fredkin(

CSWAP)

–計算例子

本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

本課件是可編輯的正常PPT課件量子態(tài)演化過程根據量子力學原理，量子態(tài)演化過程由兩部分組成：其一是線性演化過程：如果一個物理系統(tǒng)沒有被測量，它將按照薛定諤方程以一種確定的、線性的方式演化；其二是非線性的塌縮過程：

如果對系統(tǒng)進行一個測量，系統(tǒng)將立即非線性地、隨機地從初始的疊加態(tài)躍遷到正被測量的可觀測量的一個本征態(tài)，這時，實驗者就會感知到一個確定的觀察值，即本征態(tài)相應的本征值。線性演化塌縮初始化本課件是可編輯的正常PPT課件測量與塌縮

本課件是可編輯的正常PPT課件希爾伯特空間矩陣類型矩陣厄米矩陣可逆矩陣幺正矩陣*厄米矩陣、幺正矩陣、對角陣都是正規(guī)矩陣。本課件是可編輯的正常PPT課件正規(guī)矩陣

一個復方陣是正規(guī)矩陣當且僅當它可酉相似于對角矩陣。

《LinearAlgebraDongRight》本課件是可編輯的正常PPT課件標準正交基和完備性方程

令：由于：可得：完備性方程：

本課件是可編輯的正常PPT課件標準正交基和完備性方程—簡單驗證一個特例

本課件是可編輯的正常PPT課件特征分解

本課件是可編輯的正常PPT課件特征分解

本課件是可編輯的正常PPT課件厄米共軛算符及常用公式

本課件是可編輯的正常PPT課件投影算子

滿足如下性質：

本課件是可編輯的正常PPT課件投影算子

可得：

本課件是可編輯的正常PPT課件投影算子–例子令：則投影算子為：完備性方程：正交條件：

本課件是可編輯的正常PPT課件譜分解

本課件是可編輯的正常PPT課件投影測量

測量后，量子系統(tǒng)的最新狀態(tài)為：

投影測量的平均值：

本課件是可編輯的正常PPT課件投影測量-

測量算子

其它概率下會將量子態(tài)投影到它的正交態(tài)上去，即：測量之后量子態(tài)就坍縮到測量到的態(tài)上。

本課件是可編輯的正常PPT課件投影測量并且測量后的系統(tǒng)狀態(tài)變?yōu)橛捎谒锌赡芮闆r的概率和為1，即因此，測量算子需滿足該方程被稱為完備性方程(completenessequation)。

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特的測量單量子比特的測量，有兩個測量算子：兩個測量算子都是自伴的（厄米矩陣），即：且因此該測量算子滿足完備性方程：設系統(tǒng)被測量前的狀態(tài)是：測量結果為0的概率為：測量后的狀態(tài)為：測量結果為1的概率為：測量后的狀態(tài)為

本課件是可編輯的正常PPT課件單量子比特的測量

本課件是可編輯的正常PPT課件量子線路與測量操作在真實的量子計算機上，最后要對量子系統(tǒng)末態(tài)進行測量操作，才能得到末態(tài)的信息，因此也把測量操作作為量子線路的一部分，測量操作有時也稱為測量門。測量背后的原理就是之前講到的投影測量。它表示對該量子線路代表的量子比特進行測量操作。

本課件是可編輯的正常PPT課件測量操作：單量子比特量子線路測量一個簡單的單量子比特量子線路：

測量結果為0的概率為：測量后的狀態(tài)為：

測量后的狀態(tài)為：

測量結果為1的概率為：本課件是可編輯的正常PPT課件測量操作：兩量子比特量子線路測量兩量子比特量子線路：該系統(tǒng)的復合量子態(tài)為|00?:

系統(tǒng)的演化過程：T1時刻，同時分別經過H門和X門T2時刻，經過CNOT門T3時刻，進行整體測量操作。矩陣運算過程：

T1時刻，同時分別經過H門和X門，演化為：T2時刻，經過CNOT門，演化為：

本課件是可編輯的正常PPT課件T3時刻，進行整體測量操作：測量操作：兩量子比特量子線路測量

得到新的量子態(tài)為：

本課件是可編輯的正常PPT課件測量操作：兩量子比特量子線路測量

本課件是可編輯的正常PPT課件測量操作：兩量子比特量子線路測量對高比特位q[1]進行測量：因此通過測量，得到測量結果0和1概率為：此時測量對應的測量操作矩陣為：

測量后，量子系統(tǒng)的狀態(tài)分別變?yōu)椋?/p>

本課件是可編輯的正常PPT課件對低比特位q[0]進行測量：測量操作：兩量子比特量子線路測量因此通過測量，得到測量結果0和1概率為：此時測量對應的測量操作矩陣為：

測量后，量子系統(tǒng)的狀態(tài)演化為量子狀態(tài)：

本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch問題

Deutsch

的問題就是：

如果有一個符合以上條件的未知函數，那么如何嘗試最少且足夠的次數，來確定它是常數函數還是平衡函數。本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算算法-單量子比特4種可能操作

平衡函數：常數函數：現在問題是：假設有一個函數操作，我們只知道它是四種操作里的一種，但我們可以用輸入輸出進行測試，那么，要確定屬于平衡函數還是常數函數，我們最少做幾次測試？本課件是可編輯的正常PPT課件Oracle

Oracle

注：古希臘時期，Oracle是Delphi的阿波羅神廟女祭司，她們有時會對詢問的問題給出yes或no的回復。而在量子計算里：Oracle代表的功能是輸入數據，輸出1（yes）

或0(no)。

量子計算里，Oralce可以表示為：本課件是可編輯的正常PPT課件Oracle-量子計算算法

Oracle

000011101110本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特HHH|0?

|1?

輸入兩個量子比特，一個|0?

一個|1?

，所以：

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特

HHH|0?

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特

HHH|0?

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特

HHH|0?

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特

測量0結果都為1，即說明是常數函數。

HHH|0?

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特

HHH|0?

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch（多伊奇）算法推導-2個量子比特

測量0結果都為0，即說明是平衡函數。HHH|0?

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特HHH

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

所以有：

HHH

|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

所以有：HHH|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

HHH|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

由于：本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特HHH|1?

|

0?

|

1?

|

2?

|

3?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特HHH|1?

|

0?

|

1?

|

2?

|

3?

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特HHH|1?

|

0?

|

1?

|

2?

|

3?

這里，我們只關注如下取值情形：

所以有：

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–推廣到n個量子比特

所以有：同樣，我們只關注如下取值情形：

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–2個量子比特線路設計（1/3）

|0?

|1?

InputAInputBOutputAOutputB輔助輸入冗余輸出X

常數函數：本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–2個量子比特線路設計（2/3）f(x)=x平衡函數：|0?

|1?

InputAInputBOutputAOutputB輔助輸入冗余輸出+Oracle

本課件是可編輯的正常PPT課件Deutsch-Jozsa算法–2個量子比特線路設計（3/3）

|0?

|1?

InputAInputBOutputAOutputB輔助輸入冗余輸出X+Oracle

平衡函數：本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

—算法篇本課件是可編輯的正常PPT課件向量內積的幾何意義

他們的內積如下：

本課件是可編輯的正常PPT課件向量內積的幾何意義

其空間幾何意義是：

反過來也成立：

即：

本課件是可編輯的正常PPT課件

線性代數，在任意維度空間中，有如下反射變換，對應的矩陣為：

本課件是可編輯的正常PPT課件

本課件是可編輯的正常PPT課件

根據我們之前總結的實向量與復向量的變換關系，我們可以得到下面等價的公式：

本課件是可編輯的正常PPT課件

如果我們將公式改為下面的寫法，也就是增加一個負號，我們看看它的幾何性質：

本課件是可編輯的正常PPT課件

根據我們之前總結的實向量與復向量的變換關系，我們可以得到下面等價的公式：

本課件是可編輯的正常PPT課件兩次反射變換定義旋轉第一次反射變換：

本課件是可編輯的正常PPT課件兩次反射變換定義旋轉第二次反射變換：

本課件是可編輯的正常PPT課件兩次鏡像變換定義旋轉第一次鏡像映射：

本課件是可編輯的正常PPT課件兩次鏡像變換定義旋轉第二次鏡像映射：

本課件是可編輯的正常PPT課件振幅放大

那么就完成了所需的振幅放大量子線路構建。

本課件是可編輯的正常PPT課件振幅放大量子線路圖：QQ|???

假設基于集合

Ω

和分類標準

??

的量子態(tài)

∣???

已經完成制備，關鍵在于構造振幅放大算子

??。定義振幅放大算子：

*我們可以看到，??1

和??都符合鏡像公式。

*我們可以看到，??1

和??都符合反射公式。

本課件是可編輯的正常PPT課件振幅放大-實現指定態(tài)的相位翻轉（鏡像）

指定態(tài)的相位翻轉算子：

Uw量子線路圖：QQ|???

|??1?

|??2?

|???

本課件是可編輯的正常PPT課件振幅放大-鏡像翻轉

Uw量子線路圖：QQ|???

|??1?

|??2?

??=

2∣??????∣???鏡像映射：??=????1連續(xù)兩次鏡像映射可以定義一次旋轉，我們也可以通過兩次反射定義旋轉。振幅放大算子：

本課件是可編輯的正常PPT課件振幅放大

實質上可以視為一個角度為

??

的旋轉量子門（RY(??)門

）操作。因此有：

本課件是可編輯的正常PPT課件算子

??-性質

….+1+11

1

本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

—算法篇本課件是可編輯的正常PPT課件搜索算法

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover搜索算法介紹

本源量子：<<量子計算與編程入門>>本課件是可編輯的正常PPT課件Grover搜索算法介紹

UfOracle

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover‘sSearchAlgorithm

-

初態(tài)

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover‘sSearchAlgorithm

-

初態(tài)

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover‘sSearchAlgorithm

-

相位翻轉(鏡像翻轉)

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover‘sSearchAlgorithm

-

鏡像翻轉第二種對稱操作，是將量子態(tài)關于|???對稱的操作，這個操作由三個部分構成:

1.將量子態(tài)經過一個H門

2.對量子態(tài)進行一個相位變換，將|0????態(tài)的系數保持不變，將其他的量子態(tài)的系數增加一個負號，相當于2|0?????0???|

???酉變換算子;

3.再經過一個H門。這三步操作的數學表述為:

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover‘sSearchAlgorithm

-

旋轉(連續(xù)兩次鏡像)

其中:

實質上可以視為一個角度為

??

的旋轉門操作。本課件是可編輯的正常PPT課件Grover‘sSearchAlgorithm

-

旋轉-

Grover迭代

本課件是可編輯的正常PPT課件

本課件是可編輯的正常PPT課件

HH|0?

|0?

H|0?

……

測量H|1?

量子態(tài)準備

Uf

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover算法量子線路-兩比特例子|0?

|0?

SHHSHHHHXXHHXXHH

|??0?

平均值鏡像翻轉

本課件是可編輯的正常PPT課件

SHHS|??1?

|??2?

|??3?

|??4?

|??5?

本課件是可編輯的正常PPT課件

HHXXHHXXHH|??1?

|??2?

|??3?

|??4?

|??5?

|??6?

|??7?

本課件是可編輯的正常PPT課件

HH|0?

|0?

H|0?

……

測量H|1?

量子態(tài)準備

參考D-J算法章節(jié)推導過程

本課件是可編輯的正常PPT課件

Uf2、然后，我們可以通過

Uf?

的作用，把想要搜索的態(tài)的幅值翻轉過來，其他正交的態(tài)不變。然后可以得到右圖的效果：

本課件是可編輯的正常PPT課件

于是有：

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover算法量子線路–平均值鏡像翻轉3、最后，可以根據各個基態(tài)的幅值計算出均值，然后按照這個均值鏡像翻轉各個基態(tài)的幅值，就可以得到如下圖所示的結果。

本課件是可編輯的正常PPT課件Grover算法量子線路–平均值鏡像翻轉可以直觀發(fā)現，通過上面三個步驟，目標態(tài)的幅值增大了。事實上，使用Grover迭代一定次數，目標態(tài)的幅值可以比較接近1。然后進行測量，可以大概率地測量到目標態(tài)，也就是說搜索到了目標態(tài)。

本課件是可編輯的正常PPT課件平均值鏡像翻轉我們通過一個簡單的例子，看看平均值鏡像翻轉的作用。

從圖中可以看出，源數據集合中唯一的那個負值，經過平均值翻轉后，變得更加突出。本課件是可編輯的正常PPT課件平均值鏡像翻轉因為：

Uf|1?

本課件是可編輯的正常PPT課件平均值鏡像翻轉

本課件是可編輯的正常PPT課件平均值鏡像翻轉

本課件是可編輯的正常PPT課件平均值鏡像翻轉

本課件是可編輯的正常PPT課件YouThank本課件是可編輯的正常PPT課件量子計算QuantumComputing

—算法篇本課件是可編輯的正常PPT課件以簡御繁–本輪&均輪2世紀Start托勒密全面繼承了亞里士多德的地心說，并利用前人積累和他自己長期觀測得到的數據，寫成了8卷本的《偉大論》。地心說托勒密使用古希臘本輪–均輪系統(tǒng)具有類似級數展開的功能，即為了增加推算的精確度，可以在本輪上再加一個小輪，讓此小輪之心在本輪上繞行，而讓天體在小輪上繞行。只要適當調諸輪的半徑、繞行方向和速度，即可達到要求。從理論上說，小輪可以不斷增加，以求得更高的精度。托勒密（約90年—168年）之后哥白尼在《天體運行論》中放棄了這種表示，改用了更為簡潔的日心說，之后開普勒改用橢圓代替圓。（地心說可以理解為以地球為參照點觀察其它星體軌跡）本課件是可編輯的正常PPT課件以簡御繁–泰勒展開式1712Start在局部用一個多項式函數近似地替代一個復雜函數。泰勒展開式

泰勒(Taylor)（1685—1731年）

本課件是可編輯的正常PPT課件以簡御繁–傅里葉級數&傅里葉變換1811Start傅里葉級數能夠將任意周期函數表示成一組三角函數基函數依照各自的系數的累加。傅里葉級數（即三角級數）傅里葉(Fourier)（1768—1830年）本課件是可編輯的正常PPT課件傅里葉級數

不同頻率的三角函數即正交基(Basis)，也被稱為特征函數(Eigenfunction)，傅立葉級數的本質就是利用無窮多組正交的傅立葉基進行線性組合得到任意周期函數。本課件是可編輯的正常PPT課件傅里葉級數-圓周運動的投影正弦波或者余弦波都是一個圓周運動在一條直線上的投影。所以傅里葉級數基本單元也可以理解為一系列始終在旋轉的圓。本課件是可編輯的正常PPT課件傅里葉級數-頻域圖泰勒級數將任何函數表示為無限的單項之和；傅里葉級數可將任何周期函數表示為正弦/余弦函數之和。傅里葉級數，在時域是一個周期且連續(xù)的函數，而在頻域是一個非周期離散的函數。本課件是可編輯的正常PPT課件頻域分析-

分解周期函數這些正弦波（正弦函數）和正弦波（余弦函數）按照頻率從低到高從前向后排列。本課件是可編輯的正常PPT課件頻域分析-頻譜頻譜這些按照頻率從低到高從前向后排列的周期函數，投影形成的頻域圖像就是頻譜。其中每一個波的振幅都是不同的。本課件是可編輯的正常PPT課件傅里葉變換時域分析：以時間作為參照來觀察動態(tài)世界的方法。傅立葉變換使我們可以將信號分解為單個頻率和頻率幅度。換句話說，它將信號從時域轉換到頻域，結果稱為頻譜。頻域分析：應用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經典方法。頻域圖時域圖本課件是可編輯的正常PPT課件傅里葉變換傅里葉變換，將一個時域非周期的連續(xù)信號，轉換為一個在頻域非周期的連續(xù)信號。也可以理解為對一個周期無限大的函數進行傅里葉變換。本課件是可編輯的正常PPT課件傅立葉級數的復數形式

傅立葉級數的復數形式本課件是可編輯的正常PPT課件傅里葉變換-快速傅里葉變換（FFT）快速傅里葉變換（FFT）是一種可以有效計算傅立葉變換的算法，它廣泛用于信號處理。

傅立葉變換本課件是可編輯的正常PPT課件離散傅里葉變換（DFT）離散傅里葉變換（DFT-

DiscreteFourierTransform）是離散傅里葉級數（DFS）引申出來的，這二者的時域、頻域都是離散的，因而它們的時域、頻域又必然是周期的。但是DFT是有限長序列。

本課件是可編輯的正常PPT課件離散傅里葉變換（DFT）

本課件是可編輯的正常PPT課件離散傅里葉變換（DFT）

本課件是可編輯的正常PPT課件

…

本課件是可編輯的正常PPT課件

因為：

本課件是可編輯的正常PPT課件

由于：所以有：

即：

同樣可得：本課件是可編輯的正常PPT課件

由于：

所以有：

本課件是可編輯的正常PPT課件逆離散傅里葉變換（IDFT）于是，我們得到了逆離散傅里葉變換（IDFT）公式：

由于：所以有：

本課件是可編輯的正常PPT課件逆離散傅里葉變換（IDFT）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子傅里葉變換（QFT）傅立葉變換的本質是將一個函數（通常是時間域或空間域中的函數）轉換為其頻率域表示。在量子計算中，這種轉換是通過量子傅立葉變換（QuantumFourierTransform，QFT）來實現的。在這個轉換過程中，QFT會將函數的振幅信息轉換為相位信息。這種轉換對于許多量子算法（如量子相位估計等）是至關重要的。量子傅里葉變換/逆變換，實質上可以視為一種振幅和基向量的相互轉化。量子傅里葉變換不加速計算經典數據的傅里葉變換,但它可以用做相位估計。量子傅里葉（Fourier）變換要點本課件是可編輯的正常PPT課件量子傅里葉變換（QFT）

經典的逆離散傅里葉變換（IDFT）：

即：

本課件是可編輯的正常PPT課件量子傅里葉變換（QFT）

由于：所以有：本課件是可編輯的正常PPT課件量子傅里葉變換（QFT）

本課件是可編輯的正常PPT課件量子態(tài)的二進制表示計算基矢態(tài)的二進制表示：

同樣，二進制分數的表示：

本課件是可編輯的正常PPT課件量子態(tài)的二進制表示

于是有：由于：

最后可得：本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

對∣???

進行量子傅里葉變換的結果可表示為：本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

兩邊求和可得：

本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

于是有：本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

于是得到：更近一步有：

本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

于是得到：本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

更近一步有：

本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

于是有：

由于：則有：本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的求和形式與張量積形式

直積形式

本課件是可編輯的正常PPT課件二進制展開與量子態(tài)制備

本課件是可編輯的正常PPT課件二進制展開與量子態(tài)制備

……本課件是可編輯的正常PPT課件QFT的量子線路圖H

XX

……