以“核心概念”統(tǒng)籌單元整體教學(xué)一致性--以人教版“面積”單元為例教師在進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計時，要找到單元知識概念背后的“核心概念”，以此統(tǒng)籌單元內(nèi)容的一致性，為教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定和教學(xué)活動的設(shè)計提供依據(jù)。多數(shù)教師雖已認(rèn)識到“核心概念”的重要性，但對于如何通過“核心概念”理清單元整體教學(xué)的思路，把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，仍有困難。本文以人教版三下冊《面積》單元為例，結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱2022年版課標(biāo)）中的教學(xué)建議，為教師進(jìn)行單元整體教學(xué)設(shè)計提供參考。通過解讀教材，可知《面積》由“4節(jié)8道例題”構(gòu)成：①面積和面積單位(例1、例2、例3)；②長方形、正方形面積的計算（例4、例5）；③面積單位間的進(jìn)率（例6、例7）；④解決問題（例8）。關(guān)于面積的教學(xué)，2022年版課標(biāo)提出明確的學(xué)業(yè)要求：圖形的面積教學(xué)要讓學(xué)生在熟悉的情境中，直觀感知面積的概念，經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測量的過程，理解面積的意義，形成量感。關(guān)于量感，2022年版課標(biāo)明指明其主要表現(xiàn)有“知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；會針對真實情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算；初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結(jié)果?！薄傲浚╭uantity）”與測量活動有關(guān)，是現(xiàn)實世界一個最普遍、最基本的屬性（史寧中，2022）。為凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義，教師可從測量活動出發(fā)，將面積的測量屬性與本質(zhì)作為《面積》單元的“核心概念”，統(tǒng)籌單元整體教學(xué)的一致性。一、以“核心概念”凸顯主題一致性什么是主題？2022年版課標(biāo)就小學(xué)數(shù)學(xué)課程的“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)整合了“七主題”，這是主題的宏觀形式?！皵?shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系；基于抽象結(jié)構(gòu)，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！比绻矛F(xiàn)在流行的表述方法，那么這個課程性質(zhì)可以縮略為“研究對象＋”。從這個角度看，主題即是教學(xué)內(nèi)容的“研究對象＋”。教師要堅持主題整合原則，形式上基于抽象結(jié)構(gòu)，將主題表述為“研究對象＋”；理念上強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)，將研究對象概念的教學(xué)與性質(zhì)、運算、關(guān)系的教學(xué)有機(jī)結(jié)合，開展整體設(shè)計、分步實施以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)活動（史寧中，2022）。在此基礎(chǔ)上，單元有“單元主題”，這是主題的中觀形式；課時有“課時主題”，這是主題的微觀形式。教師在確定主題時，要把“研究對象＋”從宏觀到微觀層層遞進(jìn)、不斷細(xì)化，使主題成為單元教學(xué)的目標(biāo)、活動設(shè)計的依據(jù)。以測量活動統(tǒng)領(lǐng)的《面積》單元教學(xué)，教師應(yīng)從量感的培養(yǎng)出發(fā)，關(guān)注學(xué)生相應(yīng)的行為表現(xiàn)與能力發(fā)展。為達(dá)成這一目標(biāo)，教師可將該單元主題細(xì)化為“圖形的面積測量”，以“測量”貫穿始終，確保各課時目標(biāo)與主線任務(wù)的連貫與統(tǒng)一。教師可參考教材編排的學(xué)習(xí)內(nèi)容，將本單元劃分為6個課時（見表一）：前兩個課時主要完成“找單位”的工作，其對應(yīng)的是量感行為表現(xiàn)1“知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性”；其余課時主要完成“用單位去度量”“得到一個‘量’”的工作，其對應(yīng)的是量感行為表現(xiàn)2“會針對真實情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算”和表現(xiàn)3“初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計度量的結(jié)果”。表1《面積》單元的課時主題與教學(xué)內(nèi)容二、以“核心概念”明確目標(biāo)與過程在“核心概念“統(tǒng)攝下，教師要實現(xiàn)各課時的教學(xué)在不同方面落實同一單元主題目標(biāo)，就要基于學(xué)習(xí)對象的本質(zhì)屬性展開全面分析。1．基于教學(xué)活動，在“測量“中理解面積要度量一個量，可以像“用勺子一次次地舀空裝滿水的容器那樣，用一個單位去量那個量”（弗賴登塔爾，1995）。這個測量的過程主要有三項工作：一是找單位，二是用單位去度量，三是得到一個“量”。在實際的測量活動中，這三項工作可以各有側(cè)重，具體到面積的測量，主要包括四種活動形式。一是“疊合”，比較兩個面的大小?！隘B合”是最初始的面積測量活動，學(xué)生需要通過“疊合”初步確立面積的概念，理解面積單位的本質(zhì)含義。教材例1的編寫，意在讓學(xué)生通過“疊合法”觀察、比較下列幾組物體或圖形的表面大小：①黑板面S1和國旗的表面S2，因為a1＞a2，b1＞b2，所以S1＞S2；②門的表面S1和門窗的表面S2，因為a1＝a2，b1＞b2，所以S1＞S2；③課桌甲的表面S1和課桌乙的表面S2，因為a1＝a2，b1＝b2，所以S1＝S2(a、b分指代這些長方形圖形的長和寬）。史寧中教授認(rèn)為，對距離遠(yuǎn)近的感知是人的先天本能，是不用教的數(shù)學(xué)，因此，學(xué)生可以直觀地獲得其大小關(guān)系和相等關(guān)系。但要如何驗證觀察結(jié)果呢？比較兩個面的大小最直接的方法是觀察（其實是“疊合”），疊合一次，有“多余”的那個面其面積就大；沒有“多余”的則兩個面的面積相等。多次疊合，大的圖形正好包含多個“小單位”圖形，此時，學(xué)生對“單位”相同就有本能的認(rèn)識。二是度量，精確求一個面的大小。求某個面的面積有兩種方法：一是用“單位”圖形度量,再數(shù)出單位的個數(shù)，從這個意義上看，“方格紙”可以說是面積的度量工具；二是用公式求出圖形的面積，它被認(rèn)為是求面積的最常用方法，事實上，倘若公式?jīng)]賦予“測量”的含義，那么“S＝ab”可能僅僅是一個代數(shù)式，“5米×3米＝15平方米”也不可理解。因此，用“單位”圖形度量是求面積的最本質(zhì)方法，度量時，需要根據(jù)面的大小選擇合適的“單位”圖形。雖然面積是對二維空間的度量，用“單位”圖形度量具有一定的復(fù)雜性和難度，但學(xué)生只有經(jīng)歷具身操作，才能對面積的度量活動才會有真切的體會；這里的“單位”圖形必須是面積度量的工具性的標(biāo)準(zhǔn)圖形，即國際通用單位的圖形；只有矩形才可能被“單位”圖形量盡。精確度量是最基本的面積測量活動，學(xué)生需要通過“實測”建立面積的度量模型，方可加深對圖形特征的理解。三是估測，創(chuàng)設(shè)“非標(biāo)準(zhǔn)”單位求一個面的大小。在實際的測量中，往往可能沒有現(xiàn)成的標(biāo)準(zhǔn)化測量工具，使用國際通用單位進(jìn)行測量的工作無法正常開展。這時，需要學(xué)生利用自己熟悉的物品作為“非標(biāo)準(zhǔn)”測量單位，如A4紙的面積、數(shù)學(xué)書封面的面積、自己的“步長”等等。使用“非標(biāo)準(zhǔn)”單位進(jìn)行測量，量得的“量”不太精確，因此，數(shù)學(xué)上稱之為“估測”。估測是重要的面積測量活動，進(jìn)行估測后，學(xué)生就親身經(jīng)歷了上述測量的“三項工作”。這對學(xué)生估測意識與估測能力的培養(yǎng)，以及于積累更多的測量經(jīng)驗具有重要意義。四是建立相等關(guān)系，多樣化求一個面的大小。面積單位間的進(jìn)率中有三個核心知識點：一是“量”的相等關(guān)系，二是“數(shù)”的大小關(guān)系，三是圖形的全等關(guān)系。建立單位間的進(jìn)率有兩種思維方式：一是累加法，通常在學(xué)習(xí)整數(shù)時使用，此階段學(xué)生已積累了豐富的經(jīng)驗；二是細(xì)分法，通常在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)時使用，三年級學(xué)生還沒有這方面的經(jīng)驗，如1dm2＝100cm2，先有1個1dm2的正方形而后有100個1cm2的小方格，這是一種細(xì)分的思維方式，顯然地，用后一種方式是不利于本單元教學(xué)的。從另一個角度說，把100個1cm2的小方格排一行成為一個長方形，這時1dm2和100cm2之間并不存在單位間的進(jìn)率關(guān)系，原因是它違反了面積公理的正則性條件?；诖?，教材在“解決問題”中設(shè)置了“客廳地面鋪地磚”的問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識用1dm2、1m2、“1塊地磚”三個不同的單位度量客廳的面積，結(jié)果是“數(shù)（作南動詞）的數(shù)”不同（18、1800、200），但“數(shù)（作南動詞）的量”是相等的（18m2＝1800dm2＝200塊地磚密鋪的面積）。這一學(xué)習(xí)過程能豐富學(xué)生的測量經(jīng)歷，加深學(xué)生對面積的理解。綜上，教師立足知識本源，以“理解不同的面積測量方式”為明線，就能用核心概念“測量”將《面積》單元6課時的教學(xué)內(nèi)容有機(jī)串聯(lián)起來。實際教學(xué)中，學(xué)生在反復(fù)的測量操作中認(rèn)識面積的度量本質(zhì)與度量方法（三項工作），理解面積公式和面積的進(jìn)率，知道在解決問題時應(yīng)從從測量的過程去尋找突破口，方可實現(xiàn)量感與抽象思維的進(jìn)階發(fā)展。2．基于測量行為，理解度量本質(zhì)在進(jìn)行單元整體教學(xué)建構(gòu)時，教師還要注重“關(guān)鍵課”的教學(xué)設(shè)計，促使學(xué)生深刻領(lǐng)會單元主題目標(biāo)價值與內(nèi)涵。用公式求圖形的面積在《面積》單元中起到承上啟下的作用，是本單元的重點內(nèi)容。教材例4呈現(xiàn)用面積是1cm2的正方形拼擺長方形的情境，探索計算長方形面積。但拼擺是一個從無到有的過程，所拼擺的長方形并不是被測對象，或者說，拼擺的長方形不是度量的“研究對象”。這樣的面積公式推導(dǎo)過程等同于簡單地告訴學(xué)生一個長方形的面積公式，學(xué)生無法形成意義層次的理解。因此，教學(xué)時教師可以從測量行為角度，來探索并構(gòu)建面積的計算公式。一是用“單位”圖形進(jìn)行測量。教師要讓學(xué)生認(rèn)識到，測量一個長方形的面積，就是用面積單位的標(biāo)準(zhǔn)圖形對其進(jìn)行重復(fù)“疊合”，“數(shù)單位個數(shù)”就得到面積的“量”。例如，一個長方形長5cm、寬3cm，測得15個1cm2，它的面積就是15cm2。如何在5cm、3cm與15cm2之間賦予面積測量的含義？經(jīng)過“疊合”得到15個1cm2，這些“方格”在測量上的含義是等價的，為了得到面積的計算方法，可以把“單位個數(shù)”進(jìn)行分類，即每5個1cm2為一類，共有3類，用加法表征是15＝5＋5＋5，用乘法表征是15＝5×3。其中每行5個1cm2，正好與長邊的長度相對應(yīng)；共有3行，正好與寬邊的長度相對應(yīng)。所以，長方形的面積＝長×寬。二是用“尺子”進(jìn)行線性測量。用面積單位測量圖形的面積大小，我們稱之直接測量，常用的測量工具有“方格紙”，其測量行為是連續(xù)的、一致的；用長度單位測量圖形的長和寬，再計算出圖形的面積大小，我們則稱之線性測量，常用的測量工具有“尺子”，其測量行為是有間斷的、分步的。學(xué)生測量出長邊的長度，就應(yīng)該想象出對應(yīng)的是每行有幾個面積單位；測量出寬邊的長度，就應(yīng)該想象出對應(yīng)的是面積單位有幾行。能進(jìn)一步理解“長方形的面積＝長×寬”。三是用“單位”標(biāo)準(zhǔn)圖進(jìn)行測量。對于“單位”，若僅有數(shù)學(xué)規(guī)定（如邊長是1厘米的正方形，面積是1平方厘米），那么其認(rèn)知處于概念水平；若再加之直觀事物形成表象，其認(rèn)知處于感性認(rèn)識水平。但是，教學(xué)的目的，應(yīng)是讓學(xué)生學(xué)會用“單位”圖形度量。因此，教師要把“單位”圖形加以標(biāo)準(zhǔn)化，把“單位”圖形制作出如“尺子”那樣的實物，如“方格紙”（即“網(wǎng)格坐標(biāo)計算紙”）。有了“方格紙”這樣的面積測量工具，學(xué)生數(shù)出“方格紙”上面積的數(shù)量，使得面積測量與長度測量具有一致性；面積的測量，或者在面積單位測量的基礎(chǔ)上通過分類，得到每行的個數(shù)與長邊的長度相對應(yīng)、行數(shù)與寬邊的長度相對應(yīng)；或者在線性測量的基礎(chǔ)上，得到長邊的長度與每行的個數(shù)相對應(yīng)、寬邊的長度與行數(shù)相對應(yīng)。由于每行個數(shù)與長、行數(shù)與寬總是分別存在著其必然聯(lián)系，面積計算公式就被賦予度量的含義，體現(xiàn)