正弦定理聯(lián)系題目及答案正弦定理是解決三角形問(wèn)題中非常重要的一個(gè)定理，它描述了三角形的邊長(zhǎng)與其對(duì)應(yīng)角的正弦值之間的關(guān)系。以下是一些與正弦定理相關(guān)的題目及其答案。題目1：在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=7，b=5，且角A=60°，求邊c的長(zhǎng)度。答案1：根據(jù)正弦定理，我們有：\[\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\]將已知條件代入公式中，我們得到：\[\frac{7}{\sin60°}=\frac{c}{\sinC}\]由于角A+角B+角C=180°，我們可以求出角C：\[\sinC=\sin(180°-A-B)=\sin(180°-60°-B)=\sin(120°-B)\]因?yàn)榻荁未知，我們無(wú)法直接求出角C的正弦值，但我們可以利用余弦定理求出角B的余弦值，再通過(guò)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角B的正弦值，進(jìn)而求出角C的正弦值。不過(guò)，由于題目只要求邊c的長(zhǎng)度，我們可以直接使用正弦定理求解：\[c=\frac{7\cdot\sinC}{\sin60°}\]由于角C未知，我們無(wú)法直接計(jì)算c的值。但是，我們可以利用余弦定理求出角B的余弦值，進(jìn)而求出角B的正弦值，最后求出c的值。余弦定理為：\[b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cosB\]代入已知值：\[5^2=7^2+c^2-2\cdot7\cdotc\cdot\cosB\]\[25=49+c^2-14c\cdot\cosB\]由于角B未知，我們無(wú)法直接解出c的值。但是，我們可以利用角A和角B的和為120°，以及正弦定理求出角B的正弦值，進(jìn)而求出角C的正弦值，最后求出c的值。由于題目條件不足，我們無(wú)法直接求出c的值。題目2：在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，且角B=45°，求角A的正弦值。答案2：根據(jù)正弦定理，我們有：\[\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\]將已知條件代入公式中，我們得到：\[\frac{3}{\sinA}=\frac{4}{\sin45°}\]由于sin45°=√2/2，我們可以解出sinA：\[\sinA=\frac{3\cdot\sin45°}{4}=\frac{3\cdot\sqrt{2}}{8}\]題目3：在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=5，c=7，且角C=120°，求邊b的長(zhǎng)度。答案3：根據(jù)正弦定理，我們有：\[\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\]將已知條件代入公式中，我們得到：\[\frac{5}{\sinA}=\frac{7}{\sin120°}\]由于sin120°=√3/2，我們可以解出sinA：\[\sinA=\frac{5\cdot\sin120°}{7}=\frac{5\cdot\sqrt{3}}{14}\]接下來(lái)，我們可以使用余弦定理求出邊b的長(zhǎng)度：\[c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cosC\]代入已知值：\[7^2=5^2+b^2-2\cdot5\cdotb\cdot\cos120°\]由于cos120°=-1/2，我們可以解出b：\[49=25+b^2+5b\]\[b^2+5b-24=0\]解這個(gè)二次方程，我們得到：\[b=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-24)}}{2\cdot1}\]\[b=\frac{-5\pm\sqrt{25+96}}{2}\]\[b=\frac{-5\pm\sqrt{121}}{2}\]\[b=\frac{-5\pm11}{2}\]我們得到兩個(gè)解，b=3或b=-8。由于邊長(zhǎng)不能為負(fù)數(shù)，我們舍去負(fù)數(shù)解，得到b=3。題目4：在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=6，b=8，且角A=30°，求角B的余弦值。答案4：根據(jù)正弦定理，我們有：\[\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\]將已知條件代入公式中，我們得到：\[\frac{6}{\sin30°}=\frac{8}{\sinB}\]由于sin30°=1/2，我們可以解出sinB：\[\sinB=\frac{8\cdot\sin30°}{6}=\frac{8\cdot1/2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\]接下來(lái)，我們可以使用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosB：\[\cos^2B+\sin^2B=1\]\[\cos^2B=1-\sin^2B\]\[\cos^2B=1-\left(\frac{2}{3}\right)^2\]\[\cos^2B=1-\frac{4}{9}\]\[\cos^2B=\frac{5}{9}\]\[\cosB=\pm\sqrt{\frac{5}{9}}\]\[\cosB=\pm\frac{\sqr