...wd......wd......wd...河北衡水中學2019屆全國高三第一次摸底聯(lián)考理科數(shù)學本試卷4頁，23小題，總分值150分?？荚嚂r間120分鐘。本卷須知：1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上相應的位置。2.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。3.答復選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答復非選擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上。4.考試完畢后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的。1.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.全集，，則A. B.C. D.3.某地某所高中2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地比照該校考生的升學情況，統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如下柱狀圖：2015年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計 2018年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計則以下結論正確的選項是A.與2015年相比，2018年一本達線人數(shù)減少B.與2015年相比，2018年二本達線人數(shù)增加了0.5倍C.與2015年相比，2018年藝體達線人數(shù)一樣D.與2015年相比，2018年不上線的人數(shù)有所增加4.等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且，則的值為A.11B.12C.13D.145.是定義在上的奇函數(shù)，假設時，，則時，A. B. C. D.6.橢圓和直線，假設過的左焦點和下頂點的直線與平行，則橢圓的離心率為A. B. C. D.7.如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則A. B.C. D.8.某幾何體的三視圖如以以下列圖，則此幾何體A.有四個兩兩全等的面B.有兩對相互全等的面C.只有一對相互全等的面D.所有面均不全等9.趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖〞，亦稱“趙爽弦圖〞〔以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的〕.類比“趙爽弦圖〞，可類似地構造如以以下列圖的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，假設在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊亞角形的概率是A. B. C. D.10.函數(shù)〔為自然對數(shù)的底數(shù)〕，假設關于的方程有兩個不相等的實根，則的取值范圍是A.B.C.D.11.雙曲線的左、右焦點分別為，，過作圓的切線，交雙曲線右支于點，假設，則雙曲線的漸近線方程為A.B.C.D.12.如圖，在正方體中，點，分別為棱，的中點，點為上底面的中心，過，，三點的平面把正方體分為兩局部，其中含的局部為，不含的局部為，連結和的任一點，設與平面所成角為，則的最大值為A.B.C.D.二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為________.14.數(shù)列，假設數(shù)列的前項和，則的值為________.15.由數(shù)字0，1組成的一串數(shù)字代碼，其中恰好有7個1，3個0，則這樣的不同數(shù)字代碼共有____________個.16函數(shù)的圖像關于直線對稱，當時，的最大值為____________.三、解答題：共70分。解容許寫出文學說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個考試都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：60分。17.〔12分〕如圖，在中，是邊上的一點，，，.〔1〕求的長；〔2〕假設，求的值.18.〔12分〕在中，，分別為，的中點，，如圖1.以為折痕將折起，使點到達點的位置，如圖2.〔1〕證明：平面平面；〔2〕假設平面平面，求直線與平面所成角的正弦值。如圖1 如圖219.〔12分〕某高校為了對2018年錄取的大一理工科新生有針對性地進展教學，從大一理工科新生中隨機抽取40名，對他們2018年高考的數(shù)學分數(shù)進展分析，研究發(fā)現(xiàn)這40名新生的數(shù)學分數(shù)在內(nèi)，且其頻率滿足〔其中，〕.〔1〕求的值；〔2〕請畫出這20名新生高考數(shù)學分數(shù)的頻率分布直方圖，并估計這40名新生的高考數(shù)學分數(shù)的平均數(shù)〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表〕；〔3〕將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查4名該校的大一理工科新生，記調(diào)查的4名大一理工科新生中“高考數(shù)學分數(shù)不低于130分〞的人數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學期望.20.(12分〕拋物線的焦點為，是上一點，且.〔1〕求的方程；〔2〕設點是上異于點的一點，直線與直線交于點，過點作軸的垂線交于點，證明：直線過定點.21.(12分〕函數(shù).〔1〕當時，求證：；〔2〕討論函數(shù)的零點的個數(shù)?！捕尺x考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］〔10分〕在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建設極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，直線與曲線分別交于，兩點.〔1〕寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；〔2〕假設點的極坐標為，，求的值.23.［選修4-5：不等式選講］〔10分〕函數(shù).〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設函數(shù)的值域為，求實數(shù)的取值范圍.參考答案及解析河北衡水中學2019屆全國高三第一次摸底聯(lián)考·理科數(shù)學一、選擇題1.D【解析】復數(shù).對應的點為，位于第四象限.應選D.2.C【解析】由，得，解得.所以或.應選C.3.D【解析】設2015年該校參加高考的人數(shù)為，則2018年該校參加高考的人數(shù)為.對于選項A.2015年一本達線人數(shù)為.2018年一本達線人數(shù)為，可見一本達線人數(shù)增加了，應選項A錯誤；對于選項B，2015年二本達線人數(shù)為，2018年二本達線人數(shù)為，顯然2018年二本達線人數(shù)不是增加了0.5倍，應選項B錯誤；對于選項C，2015年和2018年.藝體達線率沒變，但是人數(shù)是不一樣的，應選項C錯誤；對于選項D，2015年不上線人數(shù)為.2018年不上線人數(shù)為.不達線人數(shù)有所增加.應選D.4.C【解析】由及公差為2.得.所以，故.應選C.5.B【解析】設，則，所以.又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以.應選B.6.A【解析】直線的斜率為，所以，又，所以，應選A.7.C【解析】.應選C.8.B【解析】幾何體的直觀圖為四棱錐.如圖.因為，，.所以≌.因為平面，所以.同理，.因為，，，所以≌.又與不全等.應選B.9.A【解析】在中，，，，由余弦定理，得，所以.所以所求概率為.應選A.10.C【解析】畫出函數(shù)的圖像如以以下列圖，由圖可知，所以.應選C.11.A【解析】如圖，作于點.于點.因為與圓相切，，所以，，，.又點在雙曲線上.所以.整理，得.所以.所以雙曲線的漸近線方程為。應選A.12.B【解析】連結.因為平面.所以過的平面與平面的交線一定是過點且與平行的直線.過點作交于點，交于點，則，連結，.則平行四邊形即為截面.則五棱柱為，三棱柱為，設點為的任一點，過點作底面的垂線，垂足為，連結，則即為與平面所成的角，所以.因為，要使的正弦值最大，必須最大，最小，當點與點重合時符合題意.故.應選B.二、填空題13.【解析】可行域如以以下列圖，當直線經(jīng)過點時，取得最小值.解方程組可得點，所以.故填.14.16【解析】據(jù)題意，得，所以當時，.兩式相減，得.所以當時，，故.15.120【解析】.故填120.16.4【解析】據(jù)題意知，函數(shù)的圖像關于直線對稱，曲線關于直線對稱，所以，.所以，.因為，所以.所以.又與在區(qū)間上都為減函數(shù)，所以.三、解答題17.解：〔1〕由，得………………1分又，，在中，由余弦定理，得，……4分整理，得.解得.…………6分〔2〕由〔1〕知，，所以在中，由正弦定理.得，…………8分解得.………9分因為，所以，從而，即是銳角，……11分所以.……………………12分18.〔1〕證明：在題圖1中，因為，且為的中點。由平面幾何知識，得.…………………1分又因為為的中點，所以……………2分在題圖2中，，，且，所以平面，所以平面.…………………4分又因為平面，所以平面平面.…………5分〔2〕解：因為平面平面，平面平面，平面，.所以平面.………………6分又因為平面，所以.…………7分以為坐標原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建設如以以下列圖的空間直角坐標系.…………………8分在題圖1中，設，則，，，.則，，，.所以，，.……………9分設為平面的法向量，則，即令，則.所以.…………………11分設與平面所成的角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.…………………12分9.解：〔1〕由題意知：，所以的取值為10，11，12，13，14，………1分代入，可得，………………3分解得.……………4分〔2〕由〔1〕，得，頻率分布直方圖如圖：……………6分這40名新生的高考數(shù)學分數(shù)的平均數(shù)為.……8分〔3〕由題意可知，，且“高考數(shù)學分數(shù)不低于130分〞的概率為，所以～……………………10分所以.…………………12分10.〔1〕解：根據(jù)題意知，，①……………1分因為，所以.②.…………………2分聯(lián)立①②解的，.…………4分所以的方程為.………………5分證明：方法一，設，.由題意，可設直線的方程為，代入，得.由根與系數(shù)的關系.得，.③…………6分由軸及點在直線上，得，則由，，三點共線，得，………………8分整理，得.將③代入上式并整理，得.……………………10分由點的任意性，得，所以.即直線恒過定點.……………12分方法二，設，，則，，.…………6分由，，三點共線，得，即，即.…………8分當時，點坐標為，與重合，不合題意；當時，，整理，得.③因為，所以直線的方程為.……10分結合③.得，所以直線恒過定點.………12分21.〔1〕證明：當時，，則.………………1分由.得.當時，；當時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)。在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，………3分所以是的極小值點，也是最小值點.且，故當時.恒成立.………5分〔2〕解：據(jù)題意，得.①當時，恒成立.則函數(shù)在上是減函數(shù)。又，所以函數(shù)有且只有一個零點.…………………6分②當時.由，得.當時，；當時，，所以在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)。所以是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，即.…………7分令，則，當時，；當時，；當時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，從而是函數(shù)的極大值點.也是最大值點，所以，即〔當且僅當時取等號〕………9分當，即時，函數(shù)只有一個零點…………10分當，即，且時，分和兩種情況討論：〔i〕當時，，因為，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點；又，因此有兩個零點.〔ii〕當時，；由〔1〕，得.即，亦即.令.則得，即，所以，所以在區(qū)間內(nèi)有一個等點.又，因此函數(shù)有兩個零點.由〔i〕和〔ii〕，得當或時，函數(shù)有兩個零點.綜上，當或時，函數(shù)只有一個零點；當.且時，函數(shù)有兩個零點?！?2分22.解：〔1〕由，得，所以曲線的直角坐標方程為，即，…………3分直線的普通方程為.…………5分將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理，得.……………………5分因為直線與曲線交于，兩點。所以，解得.…………………6分由根與系數(shù)的關系，得，.