第1章基本概念與性質(zhì)1.1基本概念與性質(zhì)及其應(yīng)用同步練習(xí)11.【解析】由雙曲線的定義知,則或(舍。故選(參考【例1.2】)2.【解析】設(shè)為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則，設(shè)點(diǎn)則。所以,即,解得或舍,所以點(diǎn)到軸的距離為。故選。(參考【例1.6】)3.【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為,則。則,所以,所以雙曲線方程為。故選。(參考【變式1.10.2】)4.【解析】由題意,即,所以焦點(diǎn)為,將點(diǎn)代入方程得點(diǎn),所以。故選。5.【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以。又，所以，拋物線準(zhǔn)線與橢圓的交點(diǎn)為,所以。故選?！窘馕觥?1)若圓錐曲線為橢圓,又,則,,所以,即。(2)若圓錐曲線為雙曲線,又,則,,所以,則。,所以,即。綜上所述,曲線的離心率為或。故選。(參考【例1.4】)7.【解析】顯然漸近線為,即漸近線的夾角為。不妨設(shè)直線與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),顯然,則為底角為的等腰三角形,所以。又,則。故選(參考【例1.11】)8.【解析】曲線方程可化為,由題意得曲線解得故填：。(參考【例曲線1.4】)9.【解析】由題意知?jiǎng)t,即。所以,即。故填：.(參考【例1.8】)10.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn),則因?yàn)榈淖钚≈禐?所以這等價(jià)于當(dāng)時(shí),取最小值。注意到,故且,解得。故填：。同步練習(xí)21.【解析】由定義可得,得或(舍),故填11。(參考【例1.2】)2.【解析】根據(jù)題意知右焦點(diǎn)為,所以,點(diǎn)在雙曲線上,可得,則,解得或又因?yàn)辄c(diǎn)在右支上,所以,故,故填2。(參考【例1.6】)3.【解析】雙曲線,即的焦點(diǎn)為,漸近線方程為,則點(diǎn)到漸近線的距離為。故選。(參考【例1.9】)4.【解析】由題意右焦點(diǎn)為,則點(diǎn),即。故選。（參考【例)5.【解析】雙曲線的漸近線方程為,又一條漸近線過(guò)點(diǎn),則,所以。故選。(參考【例1.7】)6.【解析】由題意知雙曲線的漸近線為,且過(guò)點(diǎn),則。又拋物線的準(zhǔn)線為,且該準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn),則雙曲線的焦點(diǎn)為,所以,則,即雙曲線的方程為。故選。(參考【例1.11】)7.【解析】設(shè)點(diǎn),由題意,則,所以雙曲線的方程為。又點(diǎn)在雙曲線的右支上,則。又易知在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),取得最小值,即的最小值為。所以的取值范圍為。故選。(參考【例1.6】)8.【解析】設(shè)點(diǎn),則矩形的面積。由得,則,當(dāng)時(shí),有最大,此時(shí),且有,故當(dāng)最大時(shí),有,解得,故填。9.【解析】對(duì)于橢圓方程得,對(duì)于雙曲線方程得,則,解得,因此雙曲線的漸近線方程為。故選。參考【例1.10】)10.【解析】因?yàn)檩S,不妨設(shè)點(diǎn)在軸的上方,則已知點(diǎn)。又,故,解得,即,解得,即,故選。(參考【例1.7】)1.2焦點(diǎn)三角形同步練習(xí)11.【解析】由題知,即,由可知。又的周長(zhǎng)為解得,故橢圓方程為,故填。(參考【例1.12】)2.【解析】由雙曲線的性質(zhì)知,即又,所以,所以,則,所以。故填。(參考【例1.12】)3.【解析】過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為。設(shè)線段的中點(diǎn)為,可得為的中位線,即,因此點(diǎn),代入雙曲線方程得。故填(參考【例例】4.【解析】,于是,所以。故選。(參考【例1.14】)5.【解析】設(shè)為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng),故橢圓的方程表示為,與直線方程聯(lián)立可得,因?yàn)闄E圓與直線只有一個(gè)交點(diǎn),故,解得或。又,則。故選。(參考【例1.30】)6.【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,則的周長(zhǎng)為當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)取得最大值,此時(shí)。故填3。(參考【例1.24】)7.【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為垂直準(zhǔn)線于,則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。故選。(參考【例1.28】)8.【解析】由橢圓的定義可得即。因?yàn)?所以(1)。又因?yàn)?所以(2)。聯(lián)合(1)和(2)可得,解得再由橢圓的定義可知。由,可得,故,解得。故填。(參考【例1.13】)9.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為,涉及了線段的中點(diǎn),則考慮橢圓中兩焦點(diǎn)的天然中點(diǎn)―原點(diǎn),因此利用對(duì)稱(chēng)性找到橢圓另外一個(gè)焦點(diǎn),連接,可知為中位線,即。因?yàn)榍?所以,即。又因?yàn)?所以,得,故。(原題【例1.21】)10.【解析】設(shè)的內(nèi)切圓分別與切于點(diǎn),與切于點(diǎn),則,由點(diǎn)在雙曲線右支上,所以,故,而,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則由,可得,解得,顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)的連線垂直于軸,故填。(參考【例1.16】)同步練習(xí)21.【解析】由題意可知的周長(zhǎng)為。故選。(參考【例1.12】)2.【解析】設(shè)到軸的距離為,由焦點(diǎn)三角形面積公式知,即,所以。故選B。(參考【例1.14】)3.設(shè)拋物線焦點(diǎn)為垂直于準(zhǔn)線且垂足為H,則,當(dāng)且.僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值。此時(shí),則。故選(參考【例1.28】)4.【解析】由雙曲線的離心率為2可得,再由雙曲線的定義可得(1)。又(2)。聯(lián)立(1)與(2)可得由余弦定理可得解得。故選。(參考【例1.14】)5.【解析】由得,故設(shè)橢圓方程為,因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),代入方程解得,故焦點(diǎn)為。設(shè)角平分線所在直線與軸交點(diǎn)為,則解得,則,所以直線方程為。故填。6.【解析】因?yàn)檩S,所以點(diǎn)。設(shè)點(diǎn),因?yàn)槠叫?所以(1)同理可得(2)比較(1)和(2)可得,即,因此。故選。(參考【例～例1.22】)7.【解析】設(shè),則,在中,由余弦定理可得即,解得,故解得,則,故橢圓方程為,故填。8.【解析】(1)當(dāng)時(shí),由線是以為頂點(diǎn),為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線。作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn),則由拋物線定義可知最小即最小,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),有最小為3,此時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,代入由線方程解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,滿足題意。(2)當(dāng)時(shí),由線為軸,。又,故。綜上可得的最小值為3。故填3。9.【解析】設(shè)橢圓方程為,右焦點(diǎn)為,由題易知,故為直角,從而,即,則由可得。故,即,故橢圓方程為。故填。10.【解析】設(shè),則,故又,在中,由余弦定理可得即,化筒得。又因?yàn)?所以,即。故,即,因此,則。故填.1.3離心率同步練習(xí)11.【解析】因?yàn)?所以為直角三角形。又,所以由雙曲線的定義可知,所以。故填。(參考【例1.31】)2.【解析】由于滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,則對(duì)橢圓上任意一點(diǎn)均為銳角,只需頂點(diǎn)位置的頂角為銳角即可,即,所以。故選C。(參考【例例3.【解析】由雙曲線的定義知,則,即。整理得,即,解得。故選。(參考【例1.32】)4.【解析】由于共焦點(diǎn),所以可得。設(shè)的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為它們的共同交點(diǎn)。設(shè),由相同,可得,可知,可得,即,故,即。故選。(參考【例例】)5.【解析】由題意,又,則,所以。又,所以。故選D。(參考【例1.40】)6.【解析】根據(jù)題意可知點(diǎn),因?yàn)榍?所以為等邊三角形,因此點(diǎn)到的距離為,故。(參考【例例】)7.【解析】據(jù)題意得點(diǎn)。故.因?yàn)?所以,即,整理得,即。故故。(參考【例1.38】)8.【解析】根據(jù)題意可知,以線段為直徑的圓是以點(diǎn)為圓心、為半徑的。據(jù)于圓與直線相切,可得圓心到直線的距離等于半徑,于是,所以,故選。(參考【例例】)9.【解析】設(shè)過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且平行于一條漸近線的直線方程為,聯(lián)立直線與雙曲線,解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,可得或(舍)。故填。10.【解析】設(shè)雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為,橢圓左、右焦點(diǎn)為,,則由題意可知,易知。曲橢圓定義可知,即,故橢圓的離心率為。又,故雙曲線的離心率為。故填。同步練習(xí)1.【解析】根據(jù)題意可知為直角三角形,且根據(jù)橢圓的定義可得,所以,可得。故選。(參考【例1.32】)【解析】曲雙曲線的定義知,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上,又,則。曲題意知,所以為的最小邊,則,曲余弦定理可知,整理得,解得。故填。(參考【例1.38】)3.【解析】因?yàn)檫^(guò)左焦點(diǎn)的直線滿足,所以,即是直角三角形,且,則所以,解得。故填。(參考【例例】)4.【解析】根據(jù)雙曲線定義可知,又因?yàn)?所以,,可得,因此。故選。(參考【例1.32】)5.【解析】由于四邊形為矩形,所以,所以可得,即,所以,即。以選D。(參考【例例】)6.【解析】不妨設(shè)點(diǎn),右焦點(diǎn)為,則由題意知,。又,即,所以,解得,所以。故填(參考【例1.38】)由題意可知即||。故由雙曲線的定義知||,整理得,即,解得。故選。(參考【例1.31】)8.【解析】曲正弦定理得,可得。曲橢圓的第一定義有,可得。曲,即,可得,解得或,曲,可得橢圓的離心率。故填。(參考【例1.32】)【解析】因?yàn)?所以,即。同理,點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為8,則,所以,即。故填。(參考【例1.32】)10.【解析】雙曲線的漸近線方程為,聯(lián)立漸近線方程與拋物線方程,解得點(diǎn)。拋物線的焦點(diǎn)為,因?yàn)榈拇剐臑?則,即。整理得,解得。故填。(參考【例1.38】)第2章軌跡2.1幾何運(yùn)算同步練習(xí)1【解析】根據(jù)題意可知,點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等,由拋物線的定義,故選D。（參考【例2.1】)2.【解析】設(shè)點(diǎn),則由題意有,化簡(jiǎn)得,故填。（參考【例2.1】)3.【解析】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為,由題意或舍去。即圓的圓心軌跡為拋物線,故選(參考【例例)4.【解析】設(shè)點(diǎn),由題意,即。所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓。所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積為。故選B。(參考【例2.5】)5.【解析】由題知,化簡(jiǎn)得,故填。(參考【例2.1】)6.【解析】因?yàn)閳A心在直線上,所以圓的方程為。設(shè)點(diǎn),又,則,即。所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心、2為半徑的圓。由題意點(diǎn)在圓上,所以圓與圓有公共點(diǎn),則,即,解得。故填。7.【解析】由題意知兩定圓間的關(guān)系是相離關(guān)系,兩圓的圓心分別為點(diǎn),則圓與這兩個(gè)圓分別外切和內(nèi)切。設(shè)的半徑為,如下圖所示,則有可見(jiàn)的軌跡是雙曲線,且焦點(diǎn)在軸上,其中,故圓心的軌跡方程為(參考【例例)8.【解析】如右圖所示,由題意可知圓與圓內(nèi)切,設(shè)圓的半徑為,因?yàn)閳A與圓外切,可得。又圓與圓內(nèi)切,可得,則由橢圓的定義可知,由線是以為左、右焦點(diǎn),長(zhǎng)半軸為2,短半軸為的橢圓左頂點(diǎn)除外,其軌跡方程為。參考【例例)9.【解析】因?yàn)?當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí),等號(hào)成立;同理,當(dāng)點(diǎn)重合,即軸時(shí),等號(hào)成立。所以橢圓的中心為原點(diǎn),長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為4,短半軸長(zhǎng)為2,故其方程為?！窘馕觥坑深}意可知,所以,由橢圓定義可知,點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓,且,則,即,故橢圓方程為,故填。2.2代數(shù)運(yùn)算同步練習(xí)11.【解析】由的方程可知點(diǎn),又也是的一個(gè)焦點(diǎn),故。又因?yàn)榕c的公共弦長(zhǎng)為都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),易得與的公共點(diǎn)坐標(biāo)為,代入的方程得,解得,故的方程為,故填。2.【解析】由題意知點(diǎn),又為拋物線與直線的交點(diǎn),故,即,即。所以,由拋物線的性質(zhì),點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,即,所以由題意,即,解得或(舍),所以,故填。3.【解析】由題意得。又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn),代入橢圓方程得,解得,所以,故填。4.【解析】由題意知,又,故。設(shè)為橢圓上任-點(diǎn),則,所以,故(1)當(dāng)時(shí),若,則有最大值,解得;(2)當(dāng)時(shí),,不合題意。故,橢圓的方程為。故填。5.【解析】由題可知,代入式子可得,整理得。故填。6.【解析】由兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可知,可得,故橢圓方程化為,聯(lián)立橢圓與直線方程,消去變量并整理可得因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn),故,解得,故,所以橢圓方程為,故填。7.【解析】設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為,圓的半徑為,則是中點(diǎn)。因?yàn)?所以設(shè)點(diǎn),由拋物線定義得點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,又,解得,故點(diǎn),所以圓的方程為,故填。8.【解析】因?yàn)?所以,解得(1)。故的方程為,且點(diǎn)設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為,為結(jié)合(1)解得。故橢圓的方程為。(參考【例2.9】)9.【解析】設(shè)點(diǎn),由題意知。因?yàn)?所以,即。因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,整理得。(1)當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的雙曲線;(2)當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上的橢圓。10.【解析】設(shè)點(diǎn)，則切線的方程分別為,聯(lián)立兩切線方程可解得點(diǎn)的坐標(biāo)為。因?yàn)辄c(diǎn)在上,所以(1)。設(shè)點(diǎn),因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以,故(2),注意到(1)中有關(guān)于和的關(guān)系,化簡(jiǎn)可得,代入(2)中可得,即。故的中點(diǎn)的軌跡方程為。(參考【例2.11】)第3章硬計(jì)算3.1有幾個(gè)交點(diǎn)?同步練習(xí)11.【解析】當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線與軸垂直時(shí),與拋物線兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為,因此橫坐標(biāo)之和為5這樣的直線有且僅有兩條,故選B。2.【解析】拋物線焦點(diǎn)為,由題易知等邊三角形關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),過(guò)焦點(diǎn)的兩邊斜率為,故直線方程為,聯(lián)立拋物線與直線方程,消去變量并整理可得,故直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),分別連結(jié)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與焦點(diǎn)可構(gòu)成兩個(gè)等邊三角形,故選C。3.【解析】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙甴線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn),說(shuō)明直線的斜率小于等于漸近線的斜率所以離心率即故選。4.【解析】(1)當(dāng)時(shí),與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意。(2)易知在拋物線內(nèi),所以當(dāng)時(shí),與拋物線恒有兩個(gè)交點(diǎn),要使直線與曲線有且只有兩個(gè)不同交點(diǎn),只雪丆需使在上與無(wú)交點(diǎn)。(i)當(dāng)時(shí),與在:上無(wú)交點(diǎn)。 (ii)當(dāng)時(shí),設(shè)拋物線頂點(diǎn)為,使在上與無(wú)交點(diǎn),即。綜上所述,的取值范圍為。5.【解析】(I)設(shè)點(diǎn),依題意得,即,化簡(jiǎn)整理得,故點(diǎn)的軌跡的方程為. (II)在點(diǎn)的軌跡中,記,依題意,可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去變量并整理可得(i)當(dāng)時(shí),,代入曲線得。故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)。 (ii)當(dāng)時(shí),。設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,則曲得。(1)若,解得或,即當(dāng)時(shí),直線與沒(méi)有公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)。(2)若或,解得或。即當(dāng)時(shí),直線與只有一個(gè)公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),直線與有兩個(gè)公共點(diǎn),與沒(méi)有公共點(diǎn)。故當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)。若,解得或。即當(dāng)時(shí),直線與有兩個(gè)公共點(diǎn),與有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí)直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)。綜上所述,當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí),直線與軌跡恰好有三個(gè)公共點(diǎn)。3.2韋達(dá)定理（一）同步練習(xí)11.【解析】由題意,設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線方程并消去變量可得由韋達(dá)定理可知,故,所以,故填4。2.【解析】設(shè)點(diǎn),聯(lián)立直線與拋物線得,解得點(diǎn),所以,所以。故選D。3.【解析】由題意拋物線與過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線沒(méi)有交點(diǎn),即方程無(wú)解,解得或。故填。4.【解析】(I)因?yàn)閽佄锞€,即,故,即焦點(diǎn)為。 (1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),顯然有;(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)它的方程為,故,化簡(jiǎn)可得,即,故,解得,即的斜率存在時(shí),不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn),所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)。(II)當(dāng)時(shí),直線的斜率顯然存在,設(shè)直線方程為。則由(I)可得,化簡(jiǎn)可得,解得,故直線的方程為。5.【解析】根據(jù)題意可知直線不與軸重合,設(shè)的方程為,直線與橢圓聯(lián)立,消去變量并整理可得,設(shè)直線與橢圓交于點(diǎn),由韋達(dá)定理得。故圓心到直線的距離,則,故有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即當(dāng)時(shí),有最大值,故所求直線的方程為。(參考【例例同步練習(xí)21.【解析】設(shè)點(diǎn),聯(lián)立直線與拋物線,消去變量并整理可得或則。故選。(參考【例3.21】)2.【解析】聯(lián)立直線與拋物線,消去變量并整理可得設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,故,故選。(參考【例例)3.【解析】設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),因?yàn)樵谏?所以,消去,整理得關(guān)于的方程,因?yàn)楹愠闪?所以方程恒有解。故選。4.【解析】(I)設(shè)直線方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去變量并整理可得因不共點(diǎn),故,解得或,故的取值范圍為(II)易知點(diǎn),故,設(shè)點(diǎn),則,由(I)得,則,要使與共線,即,解得,由(I)知不符合題意,故不存在滿足題意的值。5.【解析】(I)由題意知橢圓的半焦距,由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上,故,所以。 (II)(1)當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇視r(shí),設(shè)的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去變量并整理可得設(shè)點(diǎn),則由韋達(dá)定理可得。故因?yàn)?故,同理可得,所以當(dāng)時(shí)取等號(hào)。當(dāng)?shù)男甭驶蛐甭什淮嬖跁r(shí),易證。綜上所述,四邊形的面積的最小值為。3.3韋達(dá)定理（二）同步練習(xí)11.【解析】設(shè)點(diǎn),由焦半徑公式知,則,所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo),即線段的中點(diǎn)到軸的距離為。故選【解析】由拋物線的焦半徑公式得,則。故填。(參考【例3.42】)3.【解析】聯(lián)立直線與橢圓,消去變量并整理可得由韋達(dá)定理可得,則解得,故,所以,故填。4.【解析】由題知點(diǎn),準(zhǔn)線,要使以點(diǎn)為圓心的圓與準(zhǔn)線有交點(diǎn),則,即。又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以有,代入不等式解得或(舍),故選。5.【解析】設(shè)傾斜角為,由橢圓的焦半徑公式可得。再由,可得,已知離心率,可得,故,故斜率為,故選B。6.【解析】設(shè)直線方程為,易得點(diǎn),設(shè)點(diǎn),則注意到與同號(hào),故出現(xiàn)了和,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去變量并整理可得由韋達(dá)定理得,所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為16,故填16。7.【解析】由題意可知三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,因?yàn)?所以由弦長(zhǎng)公式可得,同理可得,,即,由題意可知,解得,代入橢圓方程可得,因此點(diǎn)的坐標(biāo)為。8.【解析】(I)因?yàn)榍?所以,直線的方程為。注意到點(diǎn)必在的內(nèi)部,即,可得。 (II)假設(shè)存在這樣的,使得四點(diǎn)在同一個(gè)圓上,故。因?yàn)橹本€的斜率為,所以的斜率為1。設(shè)點(diǎn),利用弦長(zhǎng)公式可得聯(lián)立直線與橢圓方程,消去變量并整理可得,由韋達(dá)定理可得.因?yàn)榇怪逼椒?所以可設(shè)直線的方程為,即。聯(lián)立直線與橢圓方程,消去變量并整理可得,由韋達(dá)定理可得。驗(yàn)證可得。故當(dāng)時(shí),四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。同步練習(xí)21.【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,由拋物線焦半徑公式知,解得。故選A。(參考【例3.39】)2．【答案】【解析】由題意知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以，由基本不等式得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故填．3．【答案】C【解析】由焦半徑公式知，，． 又，則，即．故選C．

4．【答案】B【解析】設(shè)拋物線焦點(diǎn)為，由題意，則，所以拋物線方程為，則點(diǎn)，所以．故選B．

5．【答案】C【解析】設(shè)點(diǎn)，由拋物線焦半徑公式知，解得， 所以．則．故選C．

（參考例）6．【答案】A【解析】由題意可知直線與的斜率存在，設(shè)與軸正半軸的夾角為，則直線與軸正半軸的夾角為．由拋物線焦半徑傾斜角公式得，，同理．所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值）．故選A．

7．【解析】（1）若直線與軸垂直，直線與橢圓交于，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）若直線與軸不垂直，可設(shè)直線．設(shè)點(diǎn)， 因?yàn)?，，?/p>

因此由可得， 出現(xiàn)了兩根之和與兩根之積，故聯(lián)立直線和橢圓，消去變量并整理可得

， 由韋達(dá)定理可知，， 代入上式可得要記得我們的目標(biāo)是求的軌跡,又因?yàn)槭且氲淖兞?現(xiàn)在的關(guān)鍵是利用點(diǎn)表示,很顯然,代入到上式可得,本題的一個(gè)難點(diǎn)是確定這個(gè)軌跡方程中的變量的取值范圍.由于直線過(guò)的是橢圓外一點(diǎn),所以并不是對(duì)所有的斜率都使得直線與橢圓相交.也就是說(shuō)有一個(gè)范圍,也就是相應(yīng)的軌跡的變量，也有一個(gè)范圍約束.因?yàn)橹本€交橢圓于兩點(diǎn),所以,解得.另一方面因?yàn)?則,即.注意到也在曲線上,所以.(參考【例例】)8.【解析】1設(shè)與軸正半軸的夾角為,因?yàn)樗耘c軸正半軸的夾角為.由橢圓傾斜角式焦半徑公式得,,同理.則又.,則.綜上所述,存在,使得恒成立.(參考【例】)第4章軟計(jì)算可解得同步練習(xí)11.【解析】設(shè)點(diǎn)，直線，聯(lián)立直線與橢圓，消去變量并整理可得又,則,即,即因?yàn)?所以,即.即因此直線的斜率滿足.（參考【例4.5】）2.【解析】設(shè)點(diǎn),，直線與直線聯(lián)立可得.聯(lián)立橢圓與直線可得故，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則，，因?yàn)?所以,為化簡(jiǎn)可得,解得或.(1)當(dāng)時(shí),上面等式左邊為負(fù),右端為正,矛盾:(2)當(dāng)時(shí),上面等式左邊、右邊均為正,故滿足題意.綜上所述,的值為.(參考【例】)3.【解析】(I)設(shè)點(diǎn),由題意知,當(dāng)時(shí),的方程為,設(shè)點(diǎn).由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知,直線的傾斜角為,所以直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓方程,解得或含因此.（=2\*ROMANII）由題意，，點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，消去變量并整理得.由韋達(dá)定理得,則,故由題意,設(shè)直線的方程為,同理可得.由得,整理得.當(dāng)時(shí),上式不成立,因此，等價(jià)于.即.由此得或,解得,因此的取值范圍是同步練習(xí)21.【解析】設(shè)點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn),，所以.聯(lián)立直線與橢圓，消去變量并整理可得，解得.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn),所以.把代入橢圓,解得,由題意知在第一象限,所以.又點(diǎn),所以.因?yàn)?所以,解得,即.故.(參考【例例】)2.【解析】(I)依題設(shè)得橢圓的方程為,直線，的方程分別為，.設(shè)點(diǎn),，其中,且，滿足方程4,故=1\*GB3①.由知,則;由點(diǎn)在上知,知.所以,解得或.(II)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和=1\*GB3①知,點(diǎn)，到的距離分別為又,所以四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)上式取等號(hào).故的最大值為.3.【解析】設(shè)過(guò)右頂點(diǎn)的直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，消去變量并整理可得，則,所以.又取點(diǎn),則,所以則與垂直的直線的方程為,聯(lián)立，，因?yàn)?所以,即，所以,解得,即或.則直線斜率的取值范賜為.(參考【】)不妨設(shè)同步練習(xí)11.【解析】設(shè)點(diǎn)，，則，.又因?yàn)?所以則直線的斜率為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最值）故為(參考【】)2.【解析】設(shè)點(diǎn),直線的方程為,聯(lián)立直線與橢橢,消去變量并整理可得，因?yàn)橹本€的斜率大于,即,所以,解得或.又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以.故直線的斜率為,則.(1)當(dāng)時(shí),,則,即,則;(2)當(dāng)時(shí),,則,即,則.綜上所述,直線的斜率的取值范圍為.(參考【例】)3.【解析】設(shè)點(diǎn)，.因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn).要證明點(diǎn)在直線上，即證與共線.即.這等價(jià)于要證.因?yàn)槌霈F(xiàn)的是和，所以直線和拋物線聯(lián)立消去的是變量，因此設(shè)直線.聯(lián)立直線和拋物線，消去變量并整理可得由韋達(dá)定理可得，故，即與共線.因此點(diǎn)在直線上.（參考【例】）4.【解析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，于是.設(shè)直線.聯(lián)立直線和橢圓方程，消去變量并整理可得由韋達(dá)定理得，因?yàn)椋?，則.所以又，所以，即，解得.又且，則.存在，使得對(duì)任意，都有.（參考【例】）第5章轉(zhuǎn)化5.1向量問(wèn)題同步練習(xí)11.【解析】因?yàn)?，所以由拋物線的焦半徑公式可得，解得.代入拋物線方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.【解析】聯(lián)立直線與拋物線，消去變量并整理可得設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，.又，則，由于和的關(guān)系簡(jiǎn)潔，因此構(gòu)造關(guān)于和的兩根之和與兩根之積可得，則，即，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.（參考【例】）3.【解析】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，延長(zhǎng)交橢圓與，因?yàn)?，所?設(shè)點(diǎn)，，，則.由于和的關(guān)系簡(jiǎn)潔，因此構(gòu)造關(guān)于和的兩根之和與兩根之積可得，則①.聯(lián)立直線與橢圓方程，消去參數(shù)并整理可得由韋達(dá)定理可得，，代入①可得，解得.若，聯(lián)立后的方程為，此時(shí)，即點(diǎn)；若，聯(lián)立后的方程為，此時(shí)，即點(diǎn).綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn).4.【解析】?jī)蓹E圓的離心率相同，設(shè)方程分別為，，設(shè)直線為，直線方程分別于橢圓方程聯(lián)立可得點(diǎn)，，因?yàn)殡x心率為，所以，故.5.【解析】設(shè)點(diǎn)，，由題意可設(shè)，即.聯(lián)立直線與雙曲線，消去變量并整理可得則，結(jié)合題意知且.由韋達(dá)定理得，則，解得或，故的取值范圍為.（參考【例】）6.【解析】由題意可知直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立直線和拋物線，消去變量并整理可得因?yàn)?，所以，解得?又因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，解得或，所以或.（參考【例】）5.2角度問(wèn)題同步練習(xí)11.【解析】因?yàn)檩S是的角平分線，所以.設(shè)，且直線的方程為，則①聯(lián)立直線與拋物線方程，消去變量并整理可得由韋達(dá)定理可得，，代入①可得，即直線的方程為.故直線過(guò)定點(diǎn).2.【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn).又為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，故，.因?yàn)榍?，所以，解?故，即.（參考【例】）3.【解析】（Ⅰ）在的兩邊平方可得，即.設(shè)圓上的點(diǎn)，因?yàn)椋跃€段是圓的直徑.（Ⅱ）由可得，設(shè)圓的圓心為，則，故所以圓心的軌跡方程為.設(shè)圓心到直線的距離為，則當(dāng)時(shí)，有最小值，由題意得，即.4.【解析】（Ⅰ）由拋物線的方程的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線，消去變量并整理可得由韋達(dá)定理可得，故.同理可得.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由和可得故線段的中點(diǎn)在軸上.（Ⅲ）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以.由（Ⅱ）可知，，即點(diǎn).由可得，，即點(diǎn).于是，.因?yàn)闉殁g角且、、三點(diǎn)互不相同，故必有，即解得或.又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)為鈍角時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為.同步練習(xí)21.【解析】設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，.因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得.直線與雙曲線方程聯(lián)立，整理化簡(jiǎn)可得，由韋達(dá)定理可得，，，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得.2.【解析】設(shè)點(diǎn)，又點(diǎn)，，則，，可得則的正切值的最大值為.（參考【例】）3.【解析】設(shè)點(diǎn)，又點(diǎn)，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓，消去變量并整理可得由韋達(dá)定理可得，則，所以.又以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以則有點(diǎn),以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為。設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為,圓心到直線的距離為。又直線與該圓相切,所以,即,解得或。故直線的斜率為或。(參考【例5.18】)4.【解析】設(shè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線的方程為。聯(lián)立直線與橢圓,消去變量并整理得由韋達(dá)定理得,即因?yàn)?所以0,即,則所以直線的方程為或。(參考【例】)5.【解析】若直線和均與圓相切,必有,故等價(jià)于證明。設(shè)點(diǎn)且直線的方程為,故出現(xiàn)了兩根之和與兩根之積,直線與拋物線聯(lián)立可得,消去變量得,由韋達(dá)定理得,可得,即軸為的角平分線,則以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓,必與直線相切。(參考【例5.23】)5.3切線問(wèn)題同步練習(xí)11.【解析】雙曲線的一條漸近線為,與拋物線方程聯(lián)立,整理化簡(jiǎn)得。因?yàn)閽佄锞€與漸近線相切,所以,即,故,故選。2.【解析】設(shè)點(diǎn),由題意,所以,則切線的方程為。又點(diǎn)到的距離為等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,解得,即當(dāng)時(shí)取最小值。所以點(diǎn)到距離的最小值為2。(參考【例】).【解析】設(shè)點(diǎn),因?yàn)?所以,設(shè)圓M的圓心為Q,則的斜率,因?yàn)?所以,解得,因此點(diǎn),故。4.【解析】設(shè)點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,,故切線方程為,因此點(diǎn),所以圓心,半徑.所以.【解析】設(shè)點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的切線方程為聯(lián)立直線與橢圓,消去變量并整理得由韋達(dá)定理得。因?yàn)镈是線段的中點(diǎn),所以,因此所在直線方程為又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線為,所以聯(lián)立,解得。故點(diǎn)在定直線上。(參考【例】)6.【解析】根據(jù)題意可知點(diǎn),設(shè)切線的方程為,根據(jù)題意知直線與圓相切,則,即。假設(shè)兩切線的斜率分別為,由韋達(dá)定理可得。由于直線與拋物線相交,則不妨假設(shè)四點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為,則由韋達(dá)定理可得,|同理可得,于是(參考【例例】)同步練習(xí)21.【解析】設(shè)直線方程為,根據(jù)題意可知,直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得,因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn),故,結(jié)合題意可知,故,因?yàn)橄嗲?所以方程只有一個(gè)解,解得,代入直線方程可得,故點(diǎn)。2.【解析】拋物線焦點(diǎn)為,雙曲線的焦點(diǎn)為,漸近線方程。設(shè)在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線的方程為,聯(lián)立直線與拋物線整理得,則,解得。所以點(diǎn)。又點(diǎn)在直線上,即,解得。故選D。3.【解析】當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為,根據(jù)直線與圓相切,圓心到直線的距離等于半徑1,可以得到,直線與圓方程的聯(lián)立可以得到切點(diǎn)的坐標(biāo)當(dāng)斜率不存在時(shí),直線方程為,根據(jù)兩點(diǎn)可以得到直線,則直線與軸的交點(diǎn)即為上頂點(diǎn),故,與軸的交點(diǎn)即為焦點(diǎn),故,根據(jù)公式,解得,故橢圓方程為。4.【解析】直線關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)直線為,該直線與拋物線聯(lián)立可得,,故當(dāng)吋,直線與拋物線相切;當(dāng)時(shí),拋物線與直線不相切。5.【解析】由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線聯(lián)立直線與橢圓,消去變量并整理可得由題意可知,即.聯(lián)立直線與拋物線,消去變量y并整理可得由題意可得,即,則,解得,,故或.因此直線的方程為或。第6章斜率之積為6.1中點(diǎn)弦同步練習(xí)11.【解析】拋物線方程為,設(shè)點(diǎn),則,兩式相減得,因此直線的方程為。故填。2.【解析】由中點(diǎn)弦定理即,則的方程為。因此且點(diǎn)到直線的距離。故，故填2。3.【解析】因?yàn)榍?即,解得。故填。(參考【例】)4.【解析】根據(jù)題意可知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為。然后取的中點(diǎn)為。由,所以。由拋物線的定義可得,所以為直角梯形的中位線,可知平行于軸,可得(中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值,考慮點(diǎn)差法)。設(shè)點(diǎn)為拋物線上兩點(diǎn),把點(diǎn)代入拋物線方程可得由題意可知,可得。故選。5.【解析】設(shè)點(diǎn),根據(jù)題意知。由點(diǎn)在橢圓上,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得于是,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為2。6.【解析】設(shè)點(diǎn),直線的方程為,線段的中點(diǎn)在直線上,設(shè)點(diǎn),則,即直線所在方程為。聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去變量并整理可得由題意,解得。由韋達(dá)定理可得,則18又點(diǎn)到的距離為,則令,則。所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即，所以面積的最大值為。(參考【例6.1】)斜率之積為的問(wèn)題同步練習(xí)11.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上,所以,因?yàn)橹本€的斜率之積為,所以,兩方程聯(lián)立可得,故離心率。2.【解析】因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,故,整理化簡(jiǎn)可得。3.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為,則點(diǎn).因?yàn)?即。又,,所以,即雙曲線的方程為。故選。4.【解析】,解得。故橢圓方程為。故選。5.【解析】設(shè)點(diǎn),因?yàn)槿c(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,所以,即,故。根據(jù)題意可知,點(diǎn)的縱坐標(biāo)異號(hào),設(shè),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故的最小值為。6.【解析】由題意可知,解得。故橢圓與曲線的方方程分別為。設(shè)點(diǎn),由點(diǎn)在雙曲線上,則,所以,則。(參考【例】)7.【解析】(I)設(shè)直線,聯(lián)立直線與栯圓方程,消去變量并整理得設(shè)點(diǎn),則。于是直線的斜率,所以,即直線的斜率與的斜率的乘積為定值。(II)四邊形可以為平行四邊形。因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),所以不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是。由(I)得的方程為,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。聯(lián)立直線的方程與橢圓方程,解得將點(diǎn)代入直線的方程得,因此。當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分時(shí),四邊形為平行四邊形,即,于是,解得。因?yàn)?。所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形。第7章斜率之積為直角頂點(diǎn)在曲線中心同步練習(xí)11.【解析】設(shè)點(diǎn)直線方程與栯圓方程聯(lián)立可得根據(jù)韋達(dá)定理可得,因?yàn)?所以,即,解得。2.【解析】當(dāng)與坐標(biāo)軸重合時(shí),,則。(2)當(dāng)與坐標(biāo)軸不重合時(shí),。設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去變量并整理可得則。聯(lián)立直線與,解得點(diǎn),則又因?yàn)樗跃C上所述,的最小值為。(（參考【例例】）3.【解析】假設(shè)存在直線,使得,則。因?yàn)?所以。因此故不存在直線使得。(參考【例】)4.【解析】(I)將過(guò)橢圓的兩點(diǎn)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，解得,所以,故橢圓的方程為。(II)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與栯圓恒有兩個(gè)交點(diǎn),且(1)若切線的斜率存在,則可設(shè)該圓的切線方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去變量并整理可得則,即。設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理知。要使,即使化簡(jiǎn)可得.又因?yàn)樗?解得或.因?yàn)橹本€是圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以故所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或。(2)當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),此時(shí)切線為,線與橢為的兩個(gè)交點(diǎn)為或,滿足.綜上所述,存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與樓圓恒有兩個(gè)交點(diǎn),且.直角頂點(diǎn)在曲線上.同步練習(xí)11.【解析】設(shè)直線AB的方程為,點(diǎn),直線與拋物線聯(lián)立得由韋達(dá)定理可得,由可得以O(shè)E為直徑的圓且除去原點(diǎn)0,所以可得圓的方程為且除去點(diǎn).(參考【例7.8~7.9】)2.【解析】設(shè)點(diǎn)聯(lián)立直線與栯圓方程，消去變量y整理得由得。由韋達(dá)定理得,則。因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),所以,即,代入整理得,解得或當(dāng)時(shí),的方程為,此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn),與已知矛盾;當(dāng)時(shí),的方程為,此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)。綜上所述,直線過(guò)定點(diǎn)。(參考【例】)3.【解析】(II)因?yàn)橹本€AB的斜率顯然存在，所以直線AB方程為y=kx+b，聯(lián)立直線方程與拋物線的方程,消去變量并整理可得設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理可得,故即,解得,即或舍。故直線的方程為。設(shè)的重心為,則故的重心的軌跡方程為。(II)設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則。另一方面,由弦長(zhǎng)公式得故。因此當(dāng)時(shí),有最小值,且最小值是1。第8章拋物線中的有關(guān)問(wèn)題直線與拋物線同步練習(xí)11.【解析】過(guò)點(diǎn)B作BM垂直軸于x軸于與軸交于點(diǎn),由點(diǎn)F（1，0）,可知。因?yàn)?故,即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為代入橢圓方程求得縱坐標(biāo)為,故,根據(jù)相似比可得AN=1,在直角三角形AFN中,由勾股定理可得,故選A.2.【解析】設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為,因?yàn)榈男甭蕿闉橹苯侨切?則,則.又且,所以為等邊三角形,所以,故選。(參考【例8.11】)3.【解析】設(shè)點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線為.聯(lián)立直線與地物線,消去變量y并整理可得由韋達(dá)定理得,則。則。故填2(參考【例8.41】)4.【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線。直線的方程為,將直線方程代入可得。又,故選。(參考【例5.【解析】如右圖所示,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可得,即。設(shè)點(diǎn),由得.,即.又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,,令,可得,解得。故,即,解得或。所以的方程為或故選6.【解析】根據(jù)題意可知,取點(diǎn)在軸上方,則坐標(biāo)為,因?yàn)?所以,即,解得,故填(參考【例】)7.【解析】設(shè)點(diǎn),直線方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得,由韋達(dá)定理可得,直線的方程為所在直線的方程為所在直線的方程與所在直線的方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)為。因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以,故點(diǎn)在這條直線上。8.【解析】設(shè)點(diǎn),直線的方程為。聯(lián)立直線方程與拋物線方程,消去變量并整理可得由韋達(dá)定理得。又,所以設(shè)的方程為。因?yàn)槠叫杏谳S,所以,則。又三點(diǎn)共線,由,則。整理得。又,所以。因?yàn)?所以。則或。故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為。(參考【例】)8.2切線模型同步練習(xí)11.【解析】根據(jù)已知條件可知點(diǎn),設(shè)點(diǎn),直線方程為,直線與拋物線聯(lián)立可得,由韋達(dá)定理可知,故,當(dāng)時(shí)面積最小,最小面積為.2.【解析】已知點(diǎn)M（-1,1）在拋物線的準(zhǔn)線上,且,則可知線段AB是切點(diǎn)弦,所以可得所在的直線方程為,則。故填2。3.【解析】設(shè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則點(diǎn)。又點(diǎn)在準(zhǔn)線上,則所以直線的方程為。因?yàn)?所以。又與只有一個(gè)公共點(diǎn),即直線與相切,設(shè)切點(diǎn).又,則,故點(diǎn),所以直線的方程為。故原點(diǎn)到直線和直線的距離分別為,所以,即坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為3。(參考【例例】)4.【解析】點(diǎn)。設(shè)為圓上.的任意一點(diǎn),則,即令,可得對(duì)任意的恒成立,即,解得,由此可知以為直徑的圓恒過(guò)軸上定點(diǎn)。(參考【例】)5.【解析】韋達(dá)定理得,由于所在直線垂直于軸,故,所以,設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式,切線方程為,與拋物線方程聯(lián)立可得,因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的切線與拋物線相切,所以,解得,故扡物線在點(diǎn)處的切線與平行。(II)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使得為直角三角形,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),根據(jù)直角三角形的有關(guān)性質(zhì)可知,,由可知,,由弦長(zhǎng)公式可知。又因?yàn)?所以,解得,故存在這樣的實(shí)數(shù),使得同步練習(xí)21.【解析】把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入拋物線方程,可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為8,2,由,則,所以,故過(guò)點(diǎn)所作切線的斜率分別為,故過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程分別為,聯(lián)立兩方程解得,故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,故填(參考【例例】)2.【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,根據(jù)題意可得切線斜率為,由直線方程的點(diǎn)斜式可知切線方程為,整理化簡(jiǎn)為,直線與軸交,當(dāng)且儀當(dāng)時(shí)面積最小,故點(diǎn)的坐標(biāo)為。3.【解析】(I)設(shè)點(diǎn),點(diǎn),對(duì)拋物線方程求導(dǎo)可得,根掂尋數(shù)的幾何意義可知,故直線的方程為,直線的方程為,把兩點(diǎn)坐柆分別代入直線方程可得,解得,故三點(diǎn)的坐標(biāo)成等差數(shù)列。(II)由(I)可知,代入直線方程整理化簡(jiǎn)為,根據(jù)一元二次方程的理論可知,是的兩個(gè)根,由書(shū)達(dá)定理可得,,故,由弦長(zhǎng)公式,代入數(shù)據(jù)求得或,故拋物線方程為或。4.【解析】因?yàn)檩S,所以點(diǎn),則的方程為。又因?yàn)榕c橢圓的方程,,以及點(diǎn)在橢圓上,則,可得,則,故直線與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)。5.【解析】(I)點(diǎn)的坐標(biāo)為,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則過(guò)點(diǎn)的切線方程為①,過(guò)點(diǎn)的切線方程為②,聯(lián)立①和②可求得點(diǎn),故 由可得,即,解得,故,即為定值。(II)由可得的面積。因?yàn)?所以 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。第9章定點(diǎn)與定值9.1特殊到一般同步練習(xí)11.【解析】如右圖所示，設(shè)點(diǎn)，則拋物線的切線方程可設(shè)為,聯(lián)立切線方程與拋物線方程,消去變量并整理可得由于相切,所以。當(dāng)時(shí),,可得切點(diǎn)為,則AB過(guò)定點(diǎn)。下面就點(diǎn),證明成立即可。設(shè)點(diǎn)，，則有，。故綜上可知,直線AB過(guò)定點(diǎn)。(參考【例例9.2】)2.【解析】當(dāng)直線的斜率時(shí)，可知直線方程為，可得，所以，由此可知點(diǎn)或點(diǎn)。當(dāng)直線為軸時(shí),則直線為,可得,所以,由此可得點(diǎn)或點(diǎn)。由以上可知點(diǎn),下面對(duì)一般直線,點(diǎn)滿足進(jìn)行論證。顯然我們只需證明。設(shè)點(diǎn),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,消去變量并整理可得由韋達(dá)定理可得,故綜上可知,在軸上存在點(diǎn),使得。(參考【例9.1例9.2】)9.2大格局同步練習(xí)11.【解析】設(shè)直線的方程為，由中點(diǎn)弦定理知，即。因?yàn)镺,E,D三點(diǎn)共線,所以,解得,故直線OE的方程為。將與聯(lián)立可解得。聯(lián)立與,消去變量并整理可得解得。又,所以故直線的方程為,因此直線過(guò)定點(diǎn)。(參考【例例9.11】)2.【解析】設(shè)點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)的切線方程為,故,因此,故。因此 故為定值。(參考【例9.12】)3.【解析】（Ⅰ）如右圖所示，設(shè)點(diǎn)為動(dòng)圓圓心，點(diǎn)記為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,由題意知,即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等,由拋物線的定義知,點(diǎn)的軌跡為拋物線,其中點(diǎn)為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線,所以軌跡方程為;(II)設(shè)點(diǎn)且,顯然,,由可得①顯然我們需要聯(lián)立直線AB和拋物線的方程，因?yàn)橹本€OA，OB的傾斜角滿足,故,所以直線AB的斜率存在。否則直線OA,OB的傾斜角之和為。從而可設(shè)AB的方程為,聯(lián)立直線AB和拋物線的方程,消去變量并整理可得 由韋達(dá)定理知,代入①并整理化簡(jiǎn)可得,即,此時(shí)直線AB的方程可表示為,即,所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)。第10章綜合練習(xí)綜合練習(xí)11.【解析】由題意,圓心到漸近線的距離為,即,則。又,所以。所以雙曲線的方程為。故選。2.【解析】方程的兩根為，。又，是方程的兩根,不妨設(shè),則直線的方程為.雙曲線的漸近線方程為,即直線AB與雙曲線的一支漸近線重合,所以設(shè)直線,聯(lián)立直線與拋物線方程并整理可得 因?yàn)橹本€與拋物線有公共點(diǎn),所以,解得。故選.4.【解析】設(shè)點(diǎn),由焦點(diǎn)三角形面積公式得,解得,則,所以,因此,整理得,則,所以漸近線方程為。故選。5.【解析】設(shè)直線AB的方程為,直線與拋物線的方程聯(lián)立,消去變量并整理可得,設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理可得。由,得。不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方,點(diǎn)在軸下方,即。又因?yàn)辄c(diǎn)A,B在該拋物線上,故,即,解得（舍）。比較可得。故與的面積之和為 故選B。(參考【例3.22例3.23】)6.【解析】設(shè)點(diǎn)，，由，則，可得。由,可得,化簡(jiǎn)可得。故填。(參考【例2.9】)7.【解析】設(shè)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去變量并整理可得 由韋達(dá)定理得,即線段的中點(diǎn)橫坐標(biāo),則。故填。8.【解析】由角平分線定理知 又因?yàn)?所以 解得。故填。(參考【變式1.15.2】)9.【解析】設(shè)點(diǎn),聯(lián)立與橢圓方程,消去變量并整理可得由韋達(dá)定理得①,。又因?yàn)?所以 ②由于點(diǎn)均落在直線上,且由①可知,代入到②并整理得,即,解得故橢圓方程為。(參考【例2.9】)10.【解析】(I)聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去變量并整理可得 設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理得。又點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,即。(II)設(shè)直線MA的方程為。因?yàn)?所以直線MB的方程為。由弦長(zhǎng)公式可得 故 直線與拋物線的方程聯(lián)立,消去變量并整理可得,解得,同理。聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去變單量并整理可得 同理。所以 解得或,即或。因此 故存在直線,其方程為。(參考【例4.6】)綜合練習(xí)21.【解析】由于的周長(zhǎng)為,可得,即。又因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,即,故。故選。2.【解析】根據(jù)題意焦點(diǎn)為,因?yàn)檩S,所以解得點(diǎn),則,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得距離為。故選。3.【解析】由定義知,又,所以。又,所以,則.故選。4.【解析】雙曲線的漸近線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓得,則四邊形的面積為。又,則,所以,,所以?圓方程為。故選。5.【解析】由題意,所以.又的兩個(gè)實(shí)根分別為和,所以,則,即點(diǎn)在圓內(nèi)。故選.6.【解析】由拋物線傾斜角式焦半徑公式知,則。故填。7.【解析】設(shè)軸于,拋物線焦點(diǎn),由題意（當(dāng)且僅當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值）。故填.8.【解析】設(shè)PF的中點(diǎn)為,橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)是兩焦點(diǎn)的天然中點(diǎn),故OE為的中位線,故,由橢圓的定義可得,則,在中,可得,故,故填.(原題,見(jiàn)【變式1.22.1】)9.【解析】設(shè)點(diǎn)。因?yàn)橹本€與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑,即 聯(lián)立直線與橢圓,消去變量并整理可得 由韋達(dá)定理得,則 把代入得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)|AB|取得最大值。所以|AB|的最大值。(參考【例3.14】)10.【解析】設(shè)拋物線上任意一點(diǎn),設(shè)直線的方程為,直線過(guò)點(diǎn),所以可得,根據(jù)題意知直線與圓相切,則 由,可得關(guān)于的一元二次方程 假設(shè)兩直線的斜率分別為,由韋達(dá)定理可得 ①由于直線與相交,則 又由過(guò)拋物線上的點(diǎn)的切線方程為,與直線相交,設(shè)其交點(diǎn)為,可得,解得點(diǎn)。根據(jù)題意可得 把①及代入可得,解得,由此可得,解得。故點(diǎn)的坐標(biāo)為。綜合練習(xí)31.【解析】設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，由題意是直角三角形，且。又是底角為的等腰三角形,所以,即。故選。2.【解析】,所以。故選。3.【解析】由題知雙曲線的漸近線方程為,圓的方程為,漸近線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則四邊形的面積為解得,所以雙曲線的方程為。故選。(參考【例1.11】)4.【解析】(1)當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí),有。假設(shè)上頂點(diǎn)為,設(shè),要使橢圓上存在點(diǎn)滿足,只形,所以,可得,解得,所以。(2)當(dāng)?圓焦點(diǎn)在軸上時(shí),有。假設(shè)右頂點(diǎn)為,設(shè),要使橢圓上存在點(diǎn)滿足,只需,所以,可得,解得。綜上可得,的取值范圍是,故選。(原題,見(jiàn)【例1.36】)5.【解析】根據(jù)題意可知點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的漸近線是關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的，不妨選漸近線為,所以點(diǎn)到漸近線的距離為,在直角三角形中,可得,由可得,在中,可得,在中 所以 整理可得。故選。(原題,見(jiàn)【例1.38】)6.【解析】由題意,又是等邊三角形,所以。由雙曲線的定義知,即。則漸近線方程為。故填。7.【解析】可知漸近線方程為，直線與漸近線的交點(diǎn)，的坐標(biāo)為所以,則。故填.8.【解析】設(shè)直線AB與軸正半軸的夾角為，由橢圓焦半徑公式知 又,即,則。因?yàn)檩S,所以,整理得。又,所以。即橢圓的方程為。故填。(參考【例3.43】)9.【解析】(I)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,即。在直角三角形中,,故橢圓的半焦距,從而,所以橢圓的方程為。(II)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為,已知圓的方程為,所以圓心的坐標(biāo)為,從而可設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線和?圓,消去變量并整理可得 因?yàn)辄c(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以,解得,故直線的方程為,為。(參考【例5.18】)10.【解析】設(shè)直線,聯(lián)立直線與拋物線,消去變量并整理可得 設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理可知和。故聯(lián)立直線與橢圓,消去變量并整理可得 設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理可知和。故 因?yàn)?所以,即。故直線的斜率為。(原題,見(jiàn)【例5.1】)綜合練習(xí)41.【解析】由題意，，則，于是。故選(參考【例1.7】)2.【解析】不妨設(shè)，則。再由可得，由橢圓的定義可得,即,解得。故,可得點(diǎn),則點(diǎn),由點(diǎn)在橢圓上,代入橢圓方程可得,解得,則的方程為。故選。(參考【變式1.13.2】)3.【解析】如右圖所示,畫(huà)出拋物線的準(zhǔn)線,過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,交軸于點(diǎn),而 根據(jù)拋物線的定義可得,即。故選。(原題,見(jiàn)【例1.27】)4.【解析】如右圖所示,設(shè)圓的圓心為,點(diǎn)為圓上的點(diǎn),則。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則。又因?yàn)闉?圓上的點(diǎn),所以.故。因?yàn)?所以,當(dāng)時(shí)取得最大,因此。故選.(參考【變式1.30.1】)5.【解析】設(shè)雙曲線的方程為（，），由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性知，直線與關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng),否則不會(huì)有,設(shè)雙曲線的兩條漸近線的夾角為,由題意知,否則,若,則不存在滿足題意的直線對(duì),若,則直線對(duì)不唯一。因此雙曲線漸近線的斜率滿足關(guān)系式,即,平方得,解得。故選。6.【解析】在中,由正弦定理可知。故填。7.【解析】設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)。又點(diǎn)在雙曲線上，則。所以.又,所以。故填。8.【解析】假設(shè)AB的中點(diǎn)為。已知,可知,則直線PE的方程為,兩直線聯(lián)立可得 則點(diǎn),由,解得。(原題,見(jiàn)【例6.13】)9.【解析】聯(lián)立直線和橢圓,消去變量并整理得,設(shè)直線和橢圓交點(diǎn)為,由韋達(dá)定理可得和。故 圓心到直線的距離為,所以。因?yàn)?所以,解得。故直線的方程為。(參考【例3.13】)10.【解析】(I)由題知,從而,所以橢圓方程為。（1）易知點(diǎn),設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),所以AF與BN的方程分別為,解得交點(diǎn),代入橢圓方程中,,等式恒成立,故點(diǎn)恒在橢圓上；（2）設(shè)AM的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程,消去變量并整理可得設(shè)點(diǎn),由韋達(dá)定理有,則。令,則。因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),有最大值為,此時(shí)AM過(guò)點(diǎn)。所以有最大值。綜合練習(xí)51.【解析】由題意，雙曲線的離心率，即，所以，所以雙曲線的漸近線方程為。故選(參考【例1.7】)2.【解析】由題意,又,則。所以的方程為。故選。3.【解析】設(shè)方程為,由題意可知。又因?yàn)闉榈妊切?所以。由點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則,即。故選。(原題,見(jiàn)【例6.12】)4.【解析】由雙曲線焦半徑公式知又,則,即,所以。故選。5.【解析】由題意,點(diǎn),設(shè)。易知點(diǎn)在軸上,則,解得,所以或舍)。所以漸近線斜率的取值范圍為。故選。6.【解析】由題意,所以。故填8。(參考【例1.12】)7.【解析】由題意,設(shè),點(diǎn),則點(diǎn)。所以,即的漸進(jìn)線方程為。故填。8.【解析】設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線與軸正半軸的夾角為,由橢圓傾斜角式焦半徑公式知，。又因?yàn)?所以,即①。又,即②。由①和②可得故填。9.【解析】因?yàn)榈拿娣e為為單位圓上的點(diǎn),則,故,要使得面積最大值,只需,即,所以點(diǎn)到直線AB的距離等于,即,即。又因?yàn)辄c(diǎn)在上,所以,此時(shí)。所以當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),的面積的最大值為。10.【解析】(I)由題意可得直線,故過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線方程為,聯(lián)立這兩條直線可得。因?yàn)闄E圓中心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線上,所以。又因?yàn)橹本€過(guò)橢圓焦點(diǎn),所以該焦點(diǎn)坐標(biāo)為,即,故橢圓的方程為。(II)我們分直線的斜率存在和不存在兩種情形討論。當(dāng)直線不垂直軸時(shí),如右圖所示,聯(lián)立直線與橢圓方程,并消去變量可得設(shè)點(diǎn),則由韋達(dá)定理可得,故 因?yàn)辄c(diǎn)到直線MN的距離,所以,故因此,即,故,即 解得,即。此時(shí)直線的方程為或。（2）當(dāng)直線垂直軸時(shí),如右圖所示,經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)也滿足.故此時(shí)直線的方程為。綜上所述,所求直線方程為或或.綜合練習(xí)61.解析設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)且斜率為2的直線為。則點(diǎn)。所以,解得。故拋物線的方程為。故選。2.解析雙曲線的漸近線方程為,拋物線的準(zhǔn)線為,則A,B的坐標(biāo)為,所以。所以。又,所以,所以,即。故選。。由A,B,M三點(diǎn)共線有,即,故。所以故選4.解析】設(shè)點(diǎn),直線為,直線與兩漸近線的交點(diǎn)為,,則。因?yàn)?所以,故選。5.|解折】由橢圓的定義知,則。則,即。故填。由是右支上