第七章復(fù)數(shù)全章綜合測(cè)試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)2-i和3-i的輻角主值分別為α和β，則α+A．135° B．315° C．675° D．585°【解題思路】依題意可得cosα=255，sinα=-【解答過(guò)程】解：依題意復(fù)數(shù)2-i和3-i的輻角主值分別為α和所以cosα=255，sin所以cosα因?yàn)?70°<α<360°，270°<β所以α+故選：C.2．（5分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=3+i，z2=-1+2i，z3在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若四邊形OABCA．17 B．17 C．15 D．15【解題思路】令z3=a+bi，結(jié)合已知有OA【解答過(guò)程】若z3=a+b由四邊形OABC為平行四邊形（O為復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)），所以O(shè)A=CB=OB-所以|z故選：A.3．（5分）（2022秋·廣西·高二階段練習(xí)）設(shè)z∈C，滿足2≤z+i≤3，其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A．1 B．5 C．π D．5【解題思路】復(fù)數(shù)z=x+yi【解答過(guò)程】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yix則2≤x+y+1i所以復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Zx,y表示復(fù)平面上以0,-1為圓心，以2，3故選：D.4．（5分）（2023秋·江西贛州·高三期末）若復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R，z為其共軛復(fù)數(shù)），定義：z_=-a+bi.則對(duì)任意的復(fù)數(shù)z=a+bi，有下列命題：p1：|A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】A選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式計(jì)算出|zB選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)加法法則計(jì)算得到z+C選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)乘法法則計(jì)算得到z?D選項(xiàng)，利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算得到zz_=-a2【解答過(guò)程】z=a+bi則|z|=a2+故|z|=|zz+z_z?z?則z?z≠zz若b≠0，且a=0，此時(shí)故p4故選：B.5．（5分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?z=4且z+zA．-21976 B．-23952 C．【解題思路】首先根據(jù)條件求得復(fù)數(shù)z，再利用三角函數(shù)表示復(fù)數(shù)，以及結(jié)合歐拉公式，計(jì)算復(fù)數(shù)的值.【解答過(guò)程】設(shè)z=z?z=z+z+∵x2+當(dāng)z=-z=2則z1931+2021=2=2當(dāng)z=-z=-2則z1931+2021=2=2故選：D.6．（5分）（2022春·湖北武漢·高一期中）已知a∈R，“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+94=0的兩根都是虛數(shù)”是“存在復(fù)數(shù)zA．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【解題思路】分別求出實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+94=0的兩根都是虛數(shù)，存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿足【解答過(guò)程】∵實(shí)系數(shù)一元二次方程x2∴Δ=a2-設(shè)z=由z=2可得x2+y2由z+a=1可得x+a2由題意可知復(fù)平面上的圓x2+y2所以2-1≤(-a-所以，實(shí)數(shù)a∈因?yàn)?3<a<3不能推出a∈-所以“實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+ax+94=0的兩根都是虛數(shù)”是“存在復(fù)數(shù)z故選：D.7．（5分）（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ（其中eA．eiπ的實(shí)部為0 B．C．eiθ=1 D．【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)部定義、復(fù)數(shù)的幾何意義、模長(zhǎng)的計(jì)算和共軛復(fù)數(shù)定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，eiπ=cosπ對(duì)于B，e2i=∵cos2<0，sin2>0，∴對(duì)于C，eiθ=對(duì)于D，eiπ=cosπ+故選：C.8．（5分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2B．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，若z1C．若z-1=z+1，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D．已知復(fù)數(shù)-1+2i，1-i，3-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若OC=xOA+yOB【解題思路】結(jié)合一元二次方程的復(fù)數(shù)根、復(fù)數(shù)模、復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)、向量運(yùn)算等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】對(duì)于A：復(fù)數(shù)1+i是關(guān)于x的方程x2-2i-m對(duì)于B：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z即這兩個(gè)向量的模長(zhǎng)相等，但是OZ1與OZ對(duì)于C：若z-1=z+1，設(shè)z=x+y對(duì)于D：已知復(fù)數(shù)-1+2i，1-i，3-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，若OC=xOA3,-2=y-解得：x=1，y=4，故x+故選：C．二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高一階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)z滿足zB．z1，z2∈C，z1zC．復(fù)數(shù)z滿足z-i=1，則D．2-i2+3【解題思路】對(duì)于A：取特殊值復(fù)數(shù)z=i，否定結(jié)論；對(duì)于B：設(shè)z1=a+bi,z2=c+【解答過(guò)程】對(duì)于A：取復(fù)數(shù)z=i，則z2=-1,z2=1，不滿足對(duì)于B：設(shè)z1則z1所以ac-bd=0ad+所以z1，z2中至少一個(gè)為0.故對(duì)于C：設(shè)復(fù)數(shù)z=x+由z-i=1可得：x2+y-1z+1表示點(diǎn)Z到B-由圓的性質(zhì)可得：AB-因?yàn)锳B=1+1=2，所以BZ≤2+1.即對(duì)于D：因?yàn)?-i所以2-i2+3i的虛部為-813故選：BC.10．（5分）（2022秋·江蘇泰州·高三期中）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若z=3-2B．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±iC．若點(diǎn)Z坐標(biāo)為（－1，3），且z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，則p＋q＝12D．若1≤z-2i【解題思路】A選項(xiàng)：根據(jù)虛部的概念判斷即可；B選項(xiàng)：根據(jù)模的公式判斷即可；C選項(xiàng)：根據(jù)Z的坐標(biāo)得到z=-1+3i，然后代入x2D選項(xiàng)：設(shè)z=a+bi，根據(jù)【解答過(guò)程】A選項(xiàng)：因?yàn)閦=3-2i，所以zB選項(xiàng)：設(shè)z=a+bi，則z=1可以得到a2+b2=1C選項(xiàng)：若Z的坐標(biāo)為-1,3，則z=-1+3i，又z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0的一個(gè)根，所以-D選項(xiàng)：設(shè)z=a+bi，則1≤所以面積為π2-1=π，故故選：CD.11．（5分）（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三開(kāi)學(xué)考試）18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如z=OZ，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離.下列說(shuō)法正確的是（A．若z=1，則z=±1B．復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別對(duì)應(yīng)向量OA與OB，則向量C．若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為-1,1，則zD．若復(fù)數(shù)z滿足1≤z≤2，則復(fù)數(shù)【解題思路】由復(fù)數(shù)的幾何意義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可．【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)z=a+對(duì)于選項(xiàng)B，∵復(fù)數(shù)6+5i與-3+4i分別表示向量OA∴表示向量BA的復(fù)數(shù)為6+5i對(duì)于選項(xiàng)C，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為-1,1，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為-對(duì)于選項(xiàng)D，若復(fù)數(shù)z滿足1?|z|?2，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，內(nèi)圓半徑為故選：BCD．12．（5分）（2022春·江蘇宿遷·高一期末）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫(xiě)出以下公式eix=cosx+isinx（e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，已知復(fù)數(shù)z1=eix1，zA．cosB．e2C．eD．若Z1，Z2為兩個(gè)不同的定點(diǎn)，Z3為線段【解題思路】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的幾何意義，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.【解答過(guò)程】解：對(duì)于A選項(xiàng)，∵eix=cos∴ei則cosx=e對(duì)于B選項(xiàng)，e2i∵π2<2<π，∴cos∴e2i表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于第二象限，選項(xiàng)對(duì)于C選項(xiàng)，eix則eix1∵eix1+∴eix1對(duì)于D選項(xiàng)，z1-z3可轉(zhuǎn)化為Z1與Z3兩點(diǎn)間距離，由于Z3為線段Z根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知Z1與Z3兩點(diǎn)間距離等于Z2則z1-z3故選：ACD.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）滿足z+z=2+i的復(fù)數(shù)z為【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的模計(jì)算即可.【解答過(guò)程】設(shè)z=因?yàn)閦+z=2+i可得a+可得a2+1=2-a計(jì)算可得a=所以z=故答案為:3414．（5分）（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若1+i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+【解題思路】根據(jù)給定條件，利用方程根的意義結(jié)合復(fù)數(shù)相等求出b，c，再解方程作答.【解答過(guò)程】因?yàn)?+i是方程x2+bx+而b,c∈R，于是得方程x2+bx+c=0為：x2所以方程的另一個(gè)根為1-i故答案為：1-i15．（5分）（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，等腰直角三角形OZ1Z2以O(shè)Z2為斜邊（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若Z2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z2=1+3【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義由z2=1+3i，得到z2=2，點(diǎn)Z2的坐標(biāo)為1,3，設(shè)點(diǎn)Z1的坐標(biāo)為【解答過(guò)程】因?yàn)閦2所以z2=2，點(diǎn)Z2設(shè)點(diǎn)Z1的坐標(biāo)為x則Z2由題意得，OZ所以x2解得x=1+3所以復(fù)數(shù)z1=1+故答案為：z1=1+16．（5分）（2022春·浙江寧波·高一期末）設(shè)復(fù)平面內(nèi)的不同三點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為z1,z2,z3【解題思路】設(shè)z1=a1+b1i,z2【解答過(guò)程】設(shè)z1=a1+即z1-z即a3則a3-a2=2則BC=OC-則BC=BC?則BC⊥AC，則AB=故答案為：55四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足(z+1)z+1（1）求z+（2）求z的輻角主值.【解題思路】（1）由復(fù)數(shù)乘法法則和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)計(jì)算．（2）由z-1z+1是純虛數(shù).得z-1z【解答過(guò)程】（1）由(z+1)z因?yàn)閦z=|z|2（2）由z-1z所以z-所以z所以2zz=2于是z，z是方程x2+x所以z當(dāng)z=-12+3當(dāng)z=-12-318．（12分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算：32-（2）若復(fù)數(shù)z滿足|z-1z|=1【解題思路】（1）由22(1+i)=cosπ4+isinπ4，【解答過(guò)程】（1）32而-∴原式=-i（2）由題意知：z-1z=12∴3219．（12分）（2022春·浙江金華·高一期中）已知復(fù)數(shù)z1=1(1)若復(fù)數(shù)z1-z(2)若虛數(shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x2-【解題思路】（1）求出z1（2）z1也是方程的根，根據(jù)韋達(dá)定理先求得a，再求得m【解答過(guò)程】（1）由已知得到z1-z解得-2<a（2）因?yàn)樘摂?shù)z1是實(shí)系數(shù)一元二次方程4x2-4x+所以z1所以z1?z20．（12分）（2022春·全國(guó)·高一期中）已知復(fù)數(shù)z=m2（I）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求m的取值范圍；（II）若z滿足z?z-【解題思路】（I）由實(shí)部小于0且虛部大于0，聯(lián)立不等式組求解即可；（II）設(shè)出z=x+yix,【解答過(guò)程】解：（I）∵復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，∴m2+2所以m的取值范圍是-2<（II）設(shè)z=∵z∴x即x∴x∴x=3y∴z=3或∵z∴當(dāng)z=3時(shí)，m當(dāng)z=3-4i時(shí)，m2綜上可知：m=121．（12分）（2022春·福建福州·高一期中）在復(fù)平面內(nèi)，已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+i(1)求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)若________，求TA+在以下①、②中選擇一個(gè)，補(bǔ)在（2）中的橫線上，并加以解答，如果①、②都做，則按①給分．①點(diǎn)T是△ABC②點(diǎn)T是△ABC【解題思路】（1）設(shè)Dx,y，表示出AB（2）選①：判斷出△ABC的垂心為B,求出T2,-3,利用向量的加法得到TA選②：判斷出△ABC的外心為斜邊AC的中點(diǎn),求出T72,-【解答過(guò)程】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+i所以A1,1,B2,-3,C6,-2,設(shè)Dx,y因?yàn)锳BCD為正方形，所以AB=DC，所以6-x所以D5,2，即點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)5+2(2)選①：因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，且B所以△ABC的垂心為B,即T所以TA所以TA+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+5i選②：因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，且B所以△ABC的外心為斜邊AC的中點(diǎn),即T所以TA所以TA+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-322．（12分）（2022春·上海普陀·高一期末）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量OZ1，它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量(1)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程2x2+4x+k=0(2)若z=1+2i，且P點(diǎn)滿足Z1P=2PZ(3)若z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π)，可知θ在變化時(shí)會(huì)對(duì)