含彈簧的機(jī)械能守恒問(wèn)題目標(biāo)要求知道彈簧的彈性勢(shì)能與哪些因素有關(guān)，會(huì)分析含彈簧的機(jī)械能守恒問(wèn)題。1.由于彈簧發(fā)生形變時(shí)會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)除重力、彈簧彈力以外的其他力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。2.彈簧兩端的物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能有最大值。*3.對(duì)同一彈簧，彈性勢(shì)能的大小為Ep＝12kx2例1如圖所示，質(zhì)量為m的小球從靜止下落，落在與A點(diǎn)等高處、豎直放置、靜止的輕彈簧上，到達(dá)與B點(diǎn)等高處時(shí)小球重力與彈簧的彈力大小相等，圖中與C點(diǎn)等高處是小球到達(dá)的最低點(diǎn)。不計(jì)空氣阻力，下列說(shuō)法正確的是()A.從O到C，小球重力勢(shì)能一直減小、動(dòng)能一直增大，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B.從A到C，小球重力勢(shì)能一直減小、動(dòng)能先增大后減小，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C.到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能最大，彈性勢(shì)能最小D.從O到A，小球重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，小球、地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒例2(多選)(2025·甘肅、青海、寧夏部分學(xué)校聯(lián)考)如圖所示，輕彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端與一質(zhì)量為m的小球相連，小球套在固定的豎直光滑桿上，P點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，OP與桿垂直，桿上M、N兩點(diǎn)與O點(diǎn)的距離均為2L。已知彈簧原長(zhǎng)為54L，重力加速度為g?，F(xiàn)讓小球從M處由靜止釋放，下列說(shuō)法正確的是()A.小球從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，有三個(gè)位置小球受到的合力等于重力B.小球從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，小球的機(jī)械能守恒C.小球從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能先減小后增大D.小球通過(guò)N點(diǎn)時(shí)速率為23例3(2024·湖北省鄂南省級(jí)示范聯(lián)盟校一模)如圖所示，一頂角為直角的“”形光滑細(xì)桿豎直放置。質(zhì)量均為m的兩金屬環(huán)套在細(xì)桿上，高度相同，用一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，此時(shí)彈簧為原長(zhǎng)l0。兩金屬環(huán)同時(shí)由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧的伸長(zhǎng)量在彈性限度內(nèi)，且彈簧始終保持水平，已知彈簧的長(zhǎng)度為l時(shí)，彈性勢(shì)能為12k(l－l0)2，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是()A.金屬環(huán)在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)加速度大小相等B.左邊金屬環(huán)下滑過(guò)程機(jī)械能守恒C.彈簧的最大拉力為3mgD.金屬環(huán)的最大速度為2gm例4(2025·江蘇揚(yáng)州市質(zhì)檢)如圖所示，在傾角為30°的光滑固定斜面上，一勁度系數(shù)為k＝200N/m的與斜面平行的輕質(zhì)彈簧一端連接在固定擋板C上，另一端連接一質(zhì)量為m＝4kg的物體A，一輕細(xì)繩繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪，一端系在物體A上，另一端與質(zhì)量也為m的小球B相連，細(xì)繩與斜面平行，斜面足夠長(zhǎng)。用手托住小球B使細(xì)繩伸直且剛好沒(méi)有拉力，然后由靜止釋放，不計(jì)一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求：(1)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)細(xì)繩上的拉力大??；(2)物體A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)多遠(yuǎn)時(shí)獲得最大速度；(3)物體A的最大速度的大小。1.(多選)(2024·廣東省六校聯(lián)考模擬)“蹦極”被稱為“勇敢者的游戲”。將一根自然長(zhǎng)度為OA的彈性輕繩一端系在人身上，另一端固定在跳臺(tái)邊緣。人從跳臺(tái)由靜止下落開(kāi)始計(jì)時(shí)，下落過(guò)程中速度隨時(shí)間的變化如圖所示，圖中tA、tB、tC三個(gè)時(shí)刻分別對(duì)應(yīng)A、B、C三個(gè)點(diǎn)，tB時(shí)刻是圖像最高點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力。下列說(shuō)法正確的是()A.重力加速度大小為vB.人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)這一過(guò)程中，人的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能C.人在下落過(guò)程中，彈性繩對(duì)人先做正功再做負(fù)功D.人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)這一過(guò)程中，人的機(jī)械能一直減少2.如圖，圓心為O1的光滑半圓環(huán)固定于豎直面，輕彈簧上端固定在O1正上方的O2點(diǎn)，c是O1O2和圓環(huán)的交點(diǎn)；將系于彈簧下端且套在圓環(huán)上的小球從a點(diǎn)靜止釋放，此后小球在a、b間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。若小球在a點(diǎn)時(shí)彈簧被拉長(zhǎng)，在c點(diǎn)時(shí)彈簧被壓縮，aO1⊥aO2。則下列說(shuō)法正確的是()A.小球在b點(diǎn)受到的合力為零B.彈簧在a點(diǎn)的伸長(zhǎng)量可能小于彈簧在c點(diǎn)的壓縮量C.彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，小球的速度最大D.在a、b之間，小球機(jī)械能最大的位置有兩處3.如圖所示，傾角為θ的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂直擋板，勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定在擋板上，另一端連接質(zhì)量為m的小球A，當(dāng)小球A處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能大小為E?，F(xiàn)將另一個(gè)大小相等，質(zhì)量相同的小球B(圖中未畫(huà)出)緊挨小球A右側(cè)輕放在斜面上，已知重力加速度大小為g，彈簧一直處在彈性限度內(nèi)，則彈簧的最大彈性勢(shì)能為()A.E B.4m2C.2m2g2sin4.(2024·湖北省部分高中聯(lián)考)如圖所示，A、B兩小球由繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪的細(xì)線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過(guò)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上?，F(xiàn)用手控制住A，并使細(xì)線剛剛拉直但無(wú)拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細(xì)線豎直、右側(cè)細(xì)線與斜面平行。已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細(xì)線與滑輪之間的摩擦不計(jì)。開(kāi)始時(shí)整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時(shí)，C恰好離開(kāi)地面。求：(1)斜面的傾角α；(2)A球獲得的最大速度vm的大小。

答案精析例1D[到達(dá)與B點(diǎn)等高處時(shí)小球重力與彈簧的彈力大小相等，此時(shí)加速度為0，速度達(dá)到最大，所以從O到C，小球重力勢(shì)能一直減小、動(dòng)能先增大后減小，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；從A到C，小球重力勢(shì)能一直減小、動(dòng)能先增大后減小，小球、地球、彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故B錯(cuò)誤；到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，小球的動(dòng)能最大，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)彈性勢(shì)能最小，故C錯(cuò)誤；從O到A，只有重力做功，小球重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增大，小球、地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故D正確。]例2AD[OM＝ON＝2L，OP＝L，彈簧的原長(zhǎng)為54L，所以小球在MP之間某個(gè)位置時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，彈簧彈力為0，小球受到的合力等于重力，同理小球在PN之間某個(gè)位置時(shí)彈簧處于原長(zhǎng)，彈簧彈力為0，小球受到的合力等于重力，當(dāng)小球經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)小球受到的合力等于重力，故A正確；小球從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但小球的機(jī)械能并不守恒，故B錯(cuò)誤；小球從M運(yùn)動(dòng)到N的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能先減小后增大，再減小又增大，故C錯(cuò)誤；小球在M、N兩個(gè)位置時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度相等，所以彈簧的彈性勢(shì)能相等，在整個(gè)過(guò)程中小球的重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，有mg×23L＝12mv2，解得v＝23gL，故例3A[左邊金屬環(huán)下滑過(guò)程，除重力以外，還有彈簧的彈力對(duì)它做功，故金屬環(huán)下滑過(guò)程中機(jī)械能不守恒，故B錯(cuò)誤；金屬環(huán)下降h'達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)，速度減小為0，彈簧形變量最大為2h'，根據(jù)兩金屬環(huán)與彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒有2mgh'＝12k(2h')2，解得h'＝mgk，彈簧的最大伸長(zhǎng)量Δx＝2h'彈簧的最大拉力為FT＝kΔx＝2mg，故C錯(cuò)誤；在最高點(diǎn)時(shí)金屬環(huán)只受重力和支持力作用，此時(shí)重力沿桿方向的分力提供加速度，有a1＝gsin45°在最低點(diǎn)，由上述知FT＝2mg根據(jù)牛頓第二定律可知FTcos45°－mgsin45°＝ma2，解得a2＝gsin45°，則a1＝a2金屬環(huán)在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)加速度大小相等，故A正確；當(dāng)金屬環(huán)的加速度為0時(shí)，速度最大，金屬環(huán)受力如圖所示，金屬環(huán)受到重力、桿的彈力和彈簧的彈力，沿桿方向加速度為0，即合力為0，有mgsin45°＝Fcos45°，又F＝kΔx，解得形變量Δx＝mgk，根據(jù)幾何知識(shí)，兩個(gè)小球下降的高度為h＝mg2k，對(duì)兩個(gè)金屬環(huán)和彈簧根據(jù)機(jī)械能守恒，有2mgh＝12k(Δx)2+12×2mv2，解得v＝]例4(1)30N(2)0.2m(3)1m/s解析(1)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)B有mg－FT＝ma對(duì)A有FT－mgsin30°＝ma，解得FT＝30N。(2)初態(tài)彈簧壓縮量x1＝mgsin30°k＝0.1當(dāng)A速度最大時(shí)，A的加速度為0，則有mg＝kx2+mgsin30°彈簧伸長(zhǎng)量x2＝0.1m所以A沿斜面上升x1+x2＝0.2m。(3)因x1＝x2，故彈簧彈性勢(shì)能改變量ΔEp＝0，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒有：mg(x1+x2)－mg(x1+x2)sin30°＝12×2mv解得v＝1m/s。跟蹤訓(xùn)練1.AD[由題圖可知，人從跳臺(tái)下落到A點(diǎn)的過(guò)程，人做自由落體運(yùn)動(dòng)，可得重力加速度大小為g＝vAtA，故A正確；人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)這一過(guò)程中，人的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為人的動(dòng)能和彈性繩的彈性勢(shì)能，故B錯(cuò)誤；人在下落過(guò)程中，彈性繩的形變量一直增大，彈性勢(shì)能一直增大，故彈性繩對(duì)人一直做負(fù)功，故C錯(cuò)誤；人從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)這一過(guò)程中，人與彈性繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，由于從A點(diǎn)到C點(diǎn)過(guò)程中，彈性繩彈性勢(shì)能一直增大，故人的機(jī)械能一直減少，故2.D[套在圓環(huán)上的小球從a點(diǎn)靜止釋放，此后小球在a、b間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，表明小球在a點(diǎn)受到的合力不等于零，合力的方向沿著a點(diǎn)的切線向上；因?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒，a點(diǎn)和b點(diǎn)關(guān)于O1O2對(duì)稱，所以小球在b點(diǎn)受到的合力不等于零，合力的方向沿b點(diǎn)的切線向上，A錯(cuò)誤；小球從a點(diǎn)到c點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，小球在a點(diǎn)時(shí)動(dòng)能最小，等于零，小球在a點(diǎn)時(shí)位置最低，小球在a點(diǎn)時(shí)的重力勢(shì)能最小，即小球在a點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最小；又因?yàn)樾∏蚝蛷椈山M成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以小球在a點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大，那么，小球在a點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量最大，所以彈簧在a點(diǎn)的伸長(zhǎng)量一定大于彈簧在c點(diǎn)的壓縮量，B錯(cuò)誤；小球受到重力、彈簧的彈力、圓環(huán)的支持力，這三個(gè)力的合力為零時(shí)，小球的速度最大，此時(shí)彈簧不處于原長(zhǎng)狀態(tài)，C錯(cuò)誤；因?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，小球的機(jī)械能最大；在a、b之間，彈簧處于原長(zhǎng)的位置有兩處，D正確。]3.B[初始時(shí)A、B兩小球的加速度最大，以A、B兩小球?yàn)檎w，根據(jù)牛頓第二定律有2mgsinθ－kx1＝2ma，kx1＝mgsinθ，解得a＝g當(dāng)兩小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，其速度為零，彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大，根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，有kx2－2mgsinθ＝2ma解得x2＝3mgsinθk，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒有Epmax＝2mgsinθ·(x2－x1)+E＝4m24.(1)30°(2)2gm解析(1)